第9講高等數(shù)學

1、第九講 向量代數(shù)與空間解析幾何及多元微分學在幾何上的應用(數(shù)學一)§9.1 向量代數(shù)考試要求：理解向量、方向角、方向余弦的概念;掌握向量的表示及運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積）；了解兩個向量垂直、平行的條件.一.向量：（1）向量的坐標表示式：設，則的坐標表示式為.（2）向量的模：(3)方向角:向量與坐標軸正向的夾角(方向余弦).， .(4)單位向量:.與非零向量同方向的單位向量:.二.向量的運算（1）向量的線性運算:，則1); 2).（2）數(shù)量積:1)定義：= ()(數(shù))2)坐標表示式：設，則 .3)兩向量的夾角:（3）向量積:1)定義：一個向量：大?。海较?,構(gòu)成右手法則

2、 結(jié)論：要找既垂直于又垂直于的向量可取為2)運算律：（不符合交換律）3)的幾何意義：以,為鄰邊的平行四邊形的面積.4)向量積的坐標表示式：，則 .（4）向量的混合積：，則.三.向量的關系:（1)平行:.（2)垂直: .（3）共面的.?？碱}型與典型例題題型一向量運算【例1】設，則.解=【例2】.給定兩點和，求的坐標表示式，模，方向余弦，三個坐標軸正向的夾角及與平行的單位向量.解，,.【例3】已知，,且，(A)2(B)2(C)(D)1解由于，而，則= ,從而=.故.選(A).題型二向量運算的應用及向量的位置關系【例4】.已知，（1），則;（2），則;（3）共面，則.解： .【例5】.已知向量，若，

3、求的坐標表示式.解：取.，.§9.2空間平面與直線考試要求：掌握平面方程和直線方程及其求法，直線和平面之間的位置關系.一.平面方程（1）點法式方程:過點,且法向量為的平面方程為.（2）一般式方程：(3) 截距式二.直線方程（1）對稱式:（2）參數(shù)方程：（）（3）一般方程：三、直線與直線的位置關系：直線與直線的夾角:兩直線的方向向量的銳夾角稱為這兩條直線的夾角.設兩條直線的方向向量為 ，.注1)兩直線平行和兩直線垂直的充要條件是什么? 2)如何判斷兩直線相交?四、直線與平面的位置關系直線與平面的夾角：直線和它在平面上投影直線的夾角（）。設直線的方向向量是 ，平面的法向量，注：平面與直線

4、平行； 直線與平面垂直.五、點到平面的距離:空間一點到平面的距離 -公式六、點到直線的距離點(,)到直線的距離為題型三建立直線方程【例6】求過點(-1,-4,3)且與下面兩直線和都垂直的直線.解法1設,解法2解法3過點(-1,-4,3)且與垂直的平面3x-y-10z=-29,過點(-1,-4,3)且與垂直的平面4x-y+2z=6.所求直線方程為【例7】過點(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又與直線相交的直線方程.解法1設所求直線L的方程為，,由于該直線與平面3x-4y+z=10平行，則又因為所求直線與直線相交，則將，代入得由式和式可得,.令n=28,則l=16,m=19,則所求

5、直線方程為解法2過點(-1,0,4)且與平面3x-4y+z=10平行的平面的方程為3(x+1)-4y+(z-4)=0,即3x-4y+z=1,為求平面:3x-4y+z=1和直線的交點，解方程組由所求直線上點(-1,0,4)和(15,19,32)知其方程為解法3過點(-1,0,4)且與平面3x-4y+z=10的平面方程為3(x+1)-4y+(z-4)=0,即3x-4y+z=1.過直線的平面束方程為將點(-1,0,4),的坐標代入上式得.將代入上式得過點(-1.0.4)和直線的平面方程為10x-4y-3z=-22則所求直線方程為題型四建立平面方程【例8】求過原點且與兩直線，及都平行的平面方程.解法1

6、顯然，及的方向向量分別為和.則所求平面的法向量為.平面過原點,則所求平面的法向量為,即解法2由題設知，兩條已知直線的方向向量分別為和.設Px,y,z為所求平面上任一點，由題設知向量與共面，則【例9】求過直線且垂直于平面的平面方程.解法1，解法2平面束題型五與平面和直線位置關系有關的問題【例10】直線和直線是否相交?如果相交求其交點,如果不相交求兩直線間距離.解直線的方向向量，直線的方向向量為.上的點,則=-2，2，-1，與直線和共面的充要條件是向量混合積為零，即.故當時，直線和相交, 時，直線和不相交,1) 當時，為求得直線與的交點,令，則2) 當時,為求得直線和之間距離，考慮直線和的方向向量

7、和向量，由兩直線之間的距離公式知【例11】設直線，,求與直線都垂直且相交的直線方程.解由題設知,直線和的方向向量分別為則所求直線方向向量為.過直線且平行于s的平面的方程是.則所求直線方程為【例12】.求到直線的距離.解1：設直線上任一點， ， 解2：過于垂直的平面方程，再求交點§9.3 空間曲面與曲線 考試要求：了解曲面方程與空間曲線方程的概念;了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程;會求空間曲線在坐標平面上的投影線的方程.一、空間曲面的方程(1)一般方程 (2)參數(shù)方程 二、空間曲線的方程(1)參數(shù)方程 (2)一般方程 三、常見曲

8、面與曲線(1)母線平行于軸的柱面方程中缺哪個變量，方程就代表母線平行于那個軸的柱面.(2)旋轉(zhuǎn)面母線為 繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為(3)二次曲面橢球面 雙曲面單葉雙曲面 雙葉雙曲面 拋物面橢圓拋物面 雙曲拋物面 (4)螺旋線四、空間曲線在坐標平面上的投影曲線曲線消去z得關于平面的投影柱面，則在平面上的投影曲線為同理，可得關于其他兩個平面的投影曲線.題型六建立柱面方程【例13】求以曲線為準線，母線平行于軸的柱面.解將代入得，即為所要求的柱面.【例14】求以曲線為準線，母線平行于直線的柱面方程.解過曲線上點且平行于直線的直線方程為，消去方程組中的得，.化簡可得為所求柱面方程.題型七建立旋轉(zhuǎn)面方程【例1

9、5】求下列曲線繞指定的軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面的方程1)，分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn).2)，分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn).解1)繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：；繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：.2)繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：，即；繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：.【例16】求直線繞軸旋轉(zhuǎn)面方程.解設為旋轉(zhuǎn)面上任一點，它對應曲線上的點為，這里，則，又滿足，則，代入上式知，即.題型八求空間曲線的投影曲線方程【例17】求曲線在面和面上的投影曲線方程.解在面上的投影為，在面上的投影為.【例18】求直線在平面上的投影直線方程.解1.投影平面的法向量,投影平面方程為即.投影直線方程為.解2.將直線的方程寫成一般式,過的平面束方程為,則. 投影平面方程為【例19】曲線在三個坐標面上的投影曲

10、線的方程和投影柱面的方程. 解：關于平面的投影柱面方程：關于平面的投影線：. 關于平面？ 關于平面？【例20】.設直線L在OYZ平面上的投影直線為，在OXZ平面上的投影直線為，求直線L在OXY平面上的投影直線方程.解：直線的方程為： 消得：.§9.4方向?qū)?shù)、梯度、曲面的切平面、曲線的切線考試要求：1.了解空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的概念，會求它們的方程。2.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法一、空間曲面的切平面與法線設曲面的方程為，則曲面上點處的切平面方程為 該點的法線方程：注: 曲面方程為，轉(zhuǎn)化為二、 空間曲線的切線與法平面設曲線的方程為，在曲線上對應的

11、點處切線方程:.法平面方程為注:空間曲線的方程為，如何求任一點切線和法平面方程？ 切線方程： 法平面方程：空間曲線的方程為，在點處的切線方程和法平面方程如何求？三、方向?qū)?shù)與梯度1、方向?qū)?shù)的定義:注(1)表示在點沿方向的變化率,即表示函數(shù)在點沿著這個方向函數(shù)增長快慢. (2)的存在性及計算：若函數(shù)在點是可微的，那么函數(shù)在該點沿任一方向的方向?qū)?shù)存在且其中為方向的方向角. (3)設在點處可微, 那么函數(shù)在該點沿著方向的方向?qū)?shù)為. 其中為方向的方向角.2、梯度的定義：.注：函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值,梯度的模為.題型九建立曲面的切平面和法線方程【例21】求曲面在點處的切平面和法線方程.解令，則于是，或取故所求切平面方程為，即.法線方程為.【例22】設直線在平面上，而平面與曲面：相切于點，求之值.解法1曲面在點處的法線向量為于是切平面方程為即(1)由，得代入(1)式得因而有由此得出解法2由解法1知，的方程為，過的平面束為即令則.題型十建立空間曲線的切線和法平面方程【例23】求曲線在點處的切線方程和法平面方程解由于，在處切線向量為.則所求切線方程為法平面方程為即【例24】求曲線在點處的切線和法平面方程.解曲面在點處的法向