等效重力場法運(yùn)用

1、將等效重力場法運(yùn)用到底物體僅在重力場中的運(yùn)動是最常見、最基本的運(yùn)動，但是對處在勻強(qiáng)電場中的宏觀物體而言，它的周圍不僅有重力場，還有勻強(qiáng)電場，同時(shí)研究這兩種場對物體運(yùn)動的影響，問題就會變得復(fù)雜一些。此時(shí)，若能將重力場與電場合二為一，用一個(gè)全新的“復(fù)合場”（可形象稱之為“等效重力場”）來代替，不僅能起到“柳暗花明”的效果，同時(shí)也是一種思想的體現(xiàn)。那么，如何實(shí)現(xiàn)這一思想方法呢？一、概念的全面類比為了方便后續(xù)處理方法的遷移，必須首先搞清“等效重力場”中的部分概念與復(fù)合之前的相關(guān)概念之間關(guān)系。具體對應(yīng)如下：等效重力場重力場、電場疊加而成的復(fù)合場 等效重力重力、電場力的合力等效重力加速度等效重力與物體質(zhì)量

2、的比值等效“最低點(diǎn)”物體自由時(shí)能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的位置等效“最高點(diǎn)”物體圓周運(yùn)動時(shí)與等效“最低點(diǎn)”關(guān)于圓心對稱的位置等效重力勢能等效重力大小與物體沿等效重力場方向“高度”的乘積二、處理方法的遷移例1 如圖所示，傾角的光滑絕緣斜面處于水平向右的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度，有一個(gè)質(zhì)量為的帶電小球，以速度沿斜面勻速下滑，求：（1）小球帶何種電荷？電荷量為多少？（2）在小球勻速下滑的某一時(shí)刻突然撤去斜面，此后經(jīng)內(nèi)小球的位移是多大？（取） 解析：（1）由于小球勻速運(yùn)動，所受重力與電場力的合力和斜面對小球的支持力平衡，如圖可知，小球必帶正電，且，所以；從“等效重力場”觀點(diǎn)看，實(shí)際上就是小球所受等效重力與斜面對小

3、球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分別表示為、。（2）撤去斜面后，小球僅受等效重力作用，且具有與等效重力方向垂直的初速度，所以小球做“平拋運(yùn)動”（嚴(yán)格地講是類平拋運(yùn)動，這里只是為了方便說明和處理，以下帶引號的名稱意義同樣如此。），基本處理的方法是運(yùn)動的分解。如圖，小球在軸方向做勻速直線運(yùn)動，在軸方向做“自由落體運(yùn)動”，則有，其中，解得：，所以內(nèi)的總位移大小為考慮到分析習(xí)慣，實(shí)際處理時(shí)可將上述示意圖順時(shí)針轉(zhuǎn)過角，讓小球的運(yùn)動和重力場中的平拋運(yùn)動更接近。例3 光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為，在其最低點(diǎn)處放一質(zhì)量為的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場，小球受到的的電場力大小為，方向

4、水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度，使小球沿軌道向上運(yùn)動，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動，求大小。解析：小球同時(shí)受到重力和電場力作用，可認(rèn)為小球處在等效重力場中。小球所受的等效重力大小為，其中，且如圖又有，即，也就是等效重力的方向與豎直方向成。故圖中為等效“最低點(diǎn)”，為等效“最高點(diǎn)”。小球能做完整圓周運(yùn)動的臨界條件是恰能通過等效“最高點(diǎn)”，在點(diǎn)等效重力提供向心力，即，可得對小球從運(yùn)動到的過程應(yīng)用動能定理代入相關(guān)物理量解得：此處，借助等效重力勢能的概念使用等效機(jī)械能守恒定律也可以求解，不過需要準(zhǔn)確理解等效重力場中“參考面”和“高度”的含義。例4 如圖，水平放置的平行金屬板間有勻強(qiáng)電場，一根長的

5、絕緣細(xì)繩一端固定在點(diǎn)，另一端系有質(zhì)量為的帶電小球，小球原來靜止在點(diǎn)，當(dāng)給小球一個(gè)水平速度后，它可以在豎直面內(nèi)繞點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。若將兩板間的電壓增大為原來的3倍，求：要使小球從點(diǎn)開始在豎直面內(nèi)繞點(diǎn)做圓周運(yùn)動，至少要給小球多大的水平速度？在這種情況下，在小球運(yùn)動過程中細(xì)繩所受的最大拉力是多大？ 解析：只有當(dāng)小球所受的合外力始終沿半徑指向圓心時(shí)，它才可以在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，對小球經(jīng)過最右端瞬間分析可知，小球所受電場力必須和重力平衡，即，方向豎直向上。金屬板間的電壓增大為原來的3倍時(shí)，有，方向仍豎直向上，則小球的等效重力大小為，方向豎直向上，其中。小球自由時(shí)只有在最高點(diǎn)才可能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，

6、因此為等效“最低點(diǎn)”，相應(yīng)地為等效“最高點(diǎn)”。小球要完成豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動，應(yīng)有對小球從運(yùn)動到的過程應(yīng)用動能定理解得：小球運(yùn)動到等效“最低點(diǎn)”時(shí)，繩中拉力最大。由向心力公式可得：所以等效“最低點(diǎn)”不一定是幾何最低點(diǎn)，相反甚至可以出現(xiàn)在幾何最高點(diǎn)，解題過程中一定要細(xì)心分析、仔細(xì)辨別。等效重力場法實(shí)際上是等效轉(zhuǎn)化思想在電場部分的一種應(yīng)用，利用等效轉(zhuǎn)化思想可將較為復(fù)雜的實(shí)際問題變換為簡單的熟悉問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律。深入理解和體會這種思想，并將其推廣應(yīng)用到其它物理學(xué)領(lǐng)域，可以為自己的學(xué)習(xí)、研究帶來極大的方便。解答勻強(qiáng)電場問題利器建立“等效重力場”在解答質(zhì)量不可忽略的帶電物

7、體在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動、能量問題時(shí)，我們常采用的方法是：把物體的運(yùn)動分解成沿重力和電場力方向的兩個(gè)分運(yùn)動，然后根據(jù)要求解答有關(guān)的問題。用該種方法處理一些電場問題時(shí)，顯的煩瑣。根據(jù)勻強(qiáng)電場和重力場的等效性，如果把重力場和勻強(qiáng)電場兩場的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)場的問題建立“等效重力場”來處理該類有些題目，就會顯得簡潔，而且便于理解。“等效重力場”建立方法當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q的物體同時(shí)處在重力場和場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中，可將兩場疊加為一個(gè)等效的重力場。等效重力場的“重力加速度”可表示為，的方向與重力和電場力合力的方向一致；若合力的方向與重力方向夾角為，則也可表示為。解題應(yīng)用1解直線運(yùn)動例1 如圖1所示，在離坡

8、頂為的山坡上的點(diǎn)樹直固定一根直桿，桿高也是。桿上端A到坡底B之間有一光滑細(xì)繩，一個(gè)帶電量為q、質(zhì)量為m的物體穿心于繩上，整個(gè)系統(tǒng)處在水平向右的勻強(qiáng)電場中，已知細(xì)線與豎直方向的夾角。若物體從A點(diǎn)由靜止開始沿繩無摩擦的滑下，設(shè)細(xì)繩始終沒有發(fā)生形變，求物體在細(xì)繩上滑行的時(shí)間。（，）解析 因細(xì)繩始終沒有發(fā)生形變，故知在垂直繩的方向上沒有壓力存在，即帶電小球受到的重力和電場力的合力方向沿繩的方向。建立“等效重力場”如圖2所示，“等效重力場”的“等效重力加速度”，EABC圖1方向：與豎直方向的夾角，大?。簬щ娦∏蜓乩K做初速度為零，加速度為的勻加速運(yùn)動 ABCg圖2由兩式解得2解拋類運(yùn)動例2 如圖3所示，在

9、電場強(qiáng)度為E的水平勻強(qiáng)電場中，以初速度為豎直向上發(fā)射一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電小球，求小球在運(yùn)動過程中具有的最小速度。解析 建立等效重力場如圖4所示，等效重力加速度設(shè)與豎直方向的夾角為，則v）E圖3圖4xygv）g其中則小球在“等效重力場”中做斜拋運(yùn)動 當(dāng)小球在y軸方向的速度減小到零，即時(shí)，兩者的合速度即為運(yùn)動過程中的最小速度4解圓周運(yùn)動例4 如圖7所示，在沿水平方向的勻強(qiáng)電場中有一固定點(diǎn)O，用一根長度的絕緣細(xì)繩把質(zhì)量為、帶有正電荷的金屬小球懸掛在O點(diǎn)，小球靜止在B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為?，F(xiàn)將小球拉至位置A使細(xì)線水平后由靜止釋放，求：OABCEL圖7+小球通過最低點(diǎn)C時(shí)的速度的大小；

10、小球通在擺動過程中細(xì)線對小球的最大拉力。（，）解析 建立“等效重力場”如圖8所示，“等效重力加速度”，gOABCAC圖8+方向：與豎直方向的夾角，大?。河葾、C點(diǎn)分別做繩OB的垂線，交點(diǎn)分別為A、C，由動能定理得帶電小球從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)等效重力做功代入數(shù)值得m/s （2）當(dāng)帶電小球擺到B點(diǎn)時(shí)，繩上的拉力最大，設(shè)該時(shí)小球的速度為，繩上的拉力為，則 聯(lián)立兩式子得N例5 如圖9所示的裝置是在豎直的平面內(nèi)放置光滑的絕緣軌道，一帶負(fù)電荷的小球從高h(yuǎn)的A處靜止開始下滑，進(jìn)入水平向右的勻強(qiáng)電場中，沿軌道ABC運(yùn)動后進(jìn)入圓環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動，已知小球受到的電場力是其重力的，圓環(huán)的半徑為R，小球得質(zhì)量為，斜面的傾角

11、為，若使小球在圓環(huán)內(nèi)能做完整的圓周運(yùn)動，h至少是多少？ABOCEhABCghOD圖9圖10解析 建立“等效重力場”如圖10所示，等效重力場加速度與豎直方向的夾角為，則等效重力場加速度的大小。圓環(huán)上的D點(diǎn)成為等效重力場中的最高點(diǎn)，要想小球在圓環(huán)內(nèi)完成圓周運(yùn)動，則小球通過D點(diǎn)的速度的最小值為 小球由A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)，由動能定理得 代入數(shù)值，由兩式解得圖11.B例6 半徑R=0.8m的光滑絕緣導(dǎo)軌固定于豎直面內(nèi)，加上某一方向的勻強(qiáng)電場后，帶電小球沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動，小球動能最大的位置在A點(diǎn)，圓心O與A點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為，如圖11所示.在A點(diǎn)時(shí)小球?qū)壍赖膲毫N=120N，若小球的最大動能比最小動能多32J，且小球能夠到達(dá)軌道上的任意一點(diǎn)（不計(jì)空氣阻力）.試求：（1）小球最小動能等于多少？(2)若小球在動能最小位置時(shí)突然撤去軌道，并保持其他量不變，則小球經(jīng)0.04s時(shí)間后，其動能與在A點(diǎn)時(shí)的動能相等，小球的質(zhì)量是多少？講析 （1）依題意：我們將帶電小球受到的重力和電場力的等效為一個(gè)力F（F即為重力和電場力