第05章不定積分

1、第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分1、 原函數(shù)：若,則稱為在上的一個原函數(shù).例如：，是的原函數(shù).、原函數(shù)性質(zhì)(1)原函數(shù)存在定理：設(shè),則存在上的原函數(shù).(2)若為在上的原函數(shù)，則都是的原函數(shù),其中為任意常數(shù).(3)若和都是的原函數(shù)，則,.證明：.(4) 設(shè)為在上的原函數(shù),則在上全體原函數(shù)為.3、不定積分：函數(shù)在上的全體原函數(shù)稱為在上的不定積分,記作.其中：(1)稱為積分號； (2)稱為被積函數(shù)； (3)稱為被積表達式. (4)稱為積分變量.顯然,若為在上的原函數(shù),則,為任意常數(shù).例1 求解: 例2 求解:例3 設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫

2、坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解:設(shè)曲線為根據(jù)題意知于是又所求曲線方程為4、積分曲線：函數(shù)原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線.注：的不定積分是一簇積分曲線.5、導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系(1) .(2) .(3) .(4) .可見：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.二、基本積分表1、問題提出例：啟示：能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論：既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.2、基本積分表 (為常數(shù))；證明：三、不定積分的性質(zhì)1、.證明：,.2、.（是常數(shù),）.證明：,.例4 例5 .例6 .例7 .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .第二節(jié)換元積分法一、第一類換元法1、問

3、題提出問題：如何求？分析：,.解法：令, 由于,而 ,.2、第一類換元法定理：設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式.證明：,.例1.例2 .例3.例4.例5.例6 , .例7 .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .例13. 其中：.例14.例15.注意到：.二、第二類換元法1、問題提出問題：如何求？解法：如果令,那么.2、第二類換元法(1) 定理：設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式.其中是的反函數(shù).證明：.(2)三角代換一般規(guī)律：當(dāng)被積函數(shù)中含有, 可令 ；, 可令 ；, 可令 .例16. () 其中：.例17. () 其中：.同時：. () 其中：.總之：. (

4、)(3)倒代換當(dāng)分母的階較高時,可采用倒代換:.例18三、基本積分表(續(xù))；.例19.例20.例21.第三節(jié)分部積分法一、分部積分法1、問題提出由于,那么,從而.2、分部積分公式 或 證明：,.例1.例2.3、與的選擇要求(1) 易求出；(2) 比容易積出. 一般地：被積函數(shù)為、與時,選擇.例如：(1) .而(2). 顯然,比更難積出. 例3 .例4 .例4 .二、間接計算方法例5 .例6 .例7 , , .解：(1) ;(2) 由于, 那么 , .例8 .第四節(jié)有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分1、有理函數(shù)的化簡(1) 有理函數(shù)：, 其中,都是非負(fù)整數(shù),及都是實數(shù), 并且,.(2) 假定分子與

5、分母之間沒有公因式若, 稱為真分式；若, 稱為假分式.(3) 利用多項式除法, 假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例如2、真分式()的化簡(可以證明)(1) 在實數(shù)范圍內(nèi), 多項式可分解為 其中 .(2) 例如.，那么 ?。蝗?；取.，即.3、有理函數(shù)的積分(1) 有理函數(shù)積分可以化成一個多項式的積分和一個真分式的積分；(2) 真分式的積分可歸結(jié)為以下四種類型的積分：；, ；其中：，., . (3) 定理：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).例1.例2 .例3.例4.二、可化為有理函數(shù)的積分1、三角函數(shù)有理式的積分, 其中：為的有理式. 而 稱為萬能代換.證明：由于 , 那么 , 從而, 且,那么.例5 2、簡單無理函數(shù)有理式的積分, 其中：為