離散數(shù)學課后習題答案_(左孝凌版)

1、習題 1-5（1） 證明：a) (P(PQ)Q(P(PQ)Q(PP)(PQ)Q(PQ)Q(PQ)QPQQPTTb) P(PQ)P(PQ) (PP)QTQTc) (PQ)(QR)(PR)因為(PQ)(QR)(PR)所以(PQ)(QR)為重言式。d) (ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca)因為(ab)(bc)(ca)(ac)b)(ca)(ac)(ca)(b(ca)(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 為重言式。（2） 證明：a)(PQ)P(PQ)解法1：設PQ為T（1）若P為T，則Q為T，所以PQ為T，故P(PQ)為T（2）若P為F，則Q為F，

2、所以PQ為F，P(PQ)為T命題得證解法2：設P(PQ)為F，則P為T，(PQ)為F，故必有P為T，Q為F，所以PQ為F。解法3：(PQ) (P(PQ)(PQ)(P(PQ)(PQ)(PP)(PQ)T所以(PQ)P(PQ)b)(PQ)QPQ設PQ為F，則P為F，且Q為F，故PQ為T，(PQ)Q為F，所以(PQ)QPQ。c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ設RQ為F，則R為T，且Q為F，又PP為F所以Q(PP)為T，R(PP)為F所以R(R(PP)為F，所以(Q(PP)(R(R(PP)為F即(Q(PP)(R(R(PP)RQ成立。（3） 解：a) PQ表示命題“如果8是偶數(shù)，那么糖果是甜的”。b)

3、a)的逆換式QP表示命題“如果糖果是甜的，那么8是偶數(shù)”。c) a)的反換式PQ表示命題“如果8不是偶數(shù)，那么糖果不是甜的”。d) a)的逆反式QP表示命題“如果糖果不是甜的，那么8不是偶數(shù)”。（4） 解：a) 如果天下雨，我不去。設P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆換式QP表示命題:如果我不去，則天下雨。逆反式QP表示命題:如果我去，則天不下雨b) 僅當你走我將留下。設S：你走了。R：我將留下。RS逆換式SR表示命題：如果你走了則我將留下。逆反式SR表示命題：如果你不走，則我不留下。c) 如果我不能獲得更多幫助，我不能完成個任務。設E：我不能獲得更多幫助。H：我不能完成這個任務。EH逆換式HE

4、表示命題：我不能完成這個任務，則我不能獲得更多幫助。逆反式HE表示命題：我完成這個任務，則我能獲得更多幫助（5） 試證明PQ，Q邏輯蘊含P。證明：解法1：本題要求證明(PQ) QP, 設(PQ) Q為T，則(PQ)為T，Q為T，故由的定義，必有P為T。所以(PQ) QP解法2：由體題可知，即證(PQ)Q)P是永真式。 (PQ)Q)P (PQ) (PQ) Q)P (PQ) (PQ) Q) P (PQ) (PQ) Q) P (QPQ) (QPQ) P (QP) T) PQPPQT T（6） 解：P：我學習 Q：我數(shù)學不及格 R：我熱衷于玩撲克。如果我學習，那么我數(shù)學不會不及格： PQ如果我不熱衷于

5、玩撲克，那么我將學習: RP 但我數(shù)學不及格: Q因此我熱衷于玩撲克。 R即本題符號化為：(PQ)(RP)QR證：證法1：(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T所以，論證有效。證法2：設(PQ)(RP)Q為T，則因Q為T，(PQ) 為T，可得P為F，由(RP)為T，得到R為T。故本題論證有效。（7） 解：P：6是偶數(shù) Q：7被2除盡 R：5是素數(shù)如果6是偶數(shù)，則7被2除不盡 PQ或5不是素數(shù)，或7被2除盡 RQ5是素數(shù) R所以6是奇數(shù) P即本題符號化為：（PQ）（RQ）R P證：證法1：(PQ)(RQ)R)P (P

6、Q) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ)T所以，論證有效，但實際上他不符合實際意義。證法2：(PQ)(RQ)R為T，則有R為T，且RQ 為T，故Q為T，再由PQ為T，得到P為T。（8） 證明：a) P(PQ)設P為T，則P為F，故PQ為Tb) ABCC假定ABC為T，則C為T。c) CABB因為ABB為永真，所以CABB成立。d) (AB) AB 設(AB)為T，則AB為F。若A為T，B為F，則A為F，B為T，故AB為T。若A為F，B為T，則A為T，B為F，故AB為T。若A為F，B為F，則A為T，B為T，故AB為T。命題

7、得證。e) A(BC)，DE，(DE)ABC設A(BC)，DE，(DE)A為T，則DE為T，(DE)A為T，所以A為T又A(BC)為T，所以BC為T。命題得證。f) (AB)C，D，CDAB設(AB)C，D，CD為T，則D為T，CD為T，所以C為F又(AB)C為T，所以AB為F，所以AB為T。命題得證。（9）解：a) 如果他有勇氣，他將得勝。P：他有勇氣 Q：他將得勝 原命題：PQ 逆反式：QP 表示：如果他失敗了，說明他沒勇氣。b) 僅當他不累他將得勝。P：他不累 Q：他得勝 原命題：QP 逆反式：PQ 表示：如果他累，他將失敗。習題 1-6(1)解：a) (PQ)P(PP)Q(TQ)b)

8、(P(QR) PQ (P(QR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PRQ)PQ(PQ)c) PQ(RP)PQ(RP) (PQR)(PQP)(PQR)FPQR(PQR)(2) 解：a)P PPb)PQ(PQ) (PQ)(PQ)c)PQPQ (PP)(QQ)(3)解：P(PQ)P(PQ)TPP (PP)(PP)P(PP) P(PQ)P(PQ)TPP(PP)(PP)P)(PP)P)(PP)P)(4)解：PQ(PQ)(PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)證明：(BC)(BC) BC(BC)(BC)BC(6)解：聯(lián)結詞“”和“”不滿足結合律。舉例如下：a)給出一組指派

9、：P為T，Q為F，R為F，則(PQ)R為T，P(QR)為F故 (PQ)R P(QR).b)給出一組指派：P為T，Q為F，R為F，則(PQ) R為T，P(QR)為F故(PQ)R P(QR).(7)證明：設變元P，Q，用連結詞,作用于P，Q得到：P，Q，P，Q，PQ，PP，QQ，QP。但PQQP，PPQQ，故實際有：P，Q，P，Q，PQ，PP（T） （A）用作用于（A）類，得到擴大的公式類（包括原公式類）：P，Q，P，Q，（PQ）， T，F(xiàn)， PQ （B）用作用于（A）類，得到：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，P（PP）P，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ, PQPQ，P（PQ

10、）Q，PTP, Q（PQ）P，QTQ,（PQ）（PQ）PQ.因此，（A）類使用運算后，仍在（B）類中。對（B）類使用運算得：P，Q，P，Q， PQ， F，T，（PQ）， 仍在（B）類中。對（B）類使用運算得：PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，PTP，PFP，P（PQ）Q， QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ, QFQ， Q（PQ）P， PQPQ，P（PQ）Q，PTP, PFP,P（PQ）Q， Q（PQ）P，QTQ, QTQ,Q（PQ）P，（PQ）T（PQ），（PQ）FPQ，（PQ）（PQ）FTFF，T（PQ） PQF（PQ） （PQ）（PQ）（PQ）PQ.故由（B）類使用運算后

11、，結果仍在（B）中。由上證明：用,兩個連結詞，反復作用在兩個變元的公式中，結果只能產生（B）類中的公式，總共僅八個不同的公式，故,不是功能完備的，更不能是最小聯(lián)結詞組。已證,不是最小聯(lián)結詞組，又因為P Q （PQ），故任何命題公式中的聯(lián)結詞，如僅用 , 表達，則必可用,表達，其逆亦真。故 , 也必不是最小聯(lián)結詞組。(8)證明，和不是最小聯(lián)結詞組。證明：若，和是最小聯(lián)結詞，則 P（PP） P（PP） PP(P(P)對所有命題變元指派T，則等價式左邊為F，右邊為T，與等價表達式矛盾。c所以，和不是最小聯(lián)結詞。(9)證明,和, 是最小聯(lián)結詞組。證明：因為,為最小聯(lián)結詞組，且PQPQ所以,是功能完備的

12、聯(lián)結詞組，又,都不是功能完備的聯(lián)結詞組。ccc所以,是最小聯(lián)結詞組。c又因為PQ(P Q)，所以, 是功能完備的聯(lián)結詞組，又, 不是功能完備的聯(lián)結詞組，所以, 是最小聯(lián)結詞組。習題 1-7(1)解：P(PQ)P(PQ) (PP)(PQ)P(PQ) (P(QQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(2)解：a) (PQ)R(PQ)R PQR(PQ)(PQ)(QR)(QR)(RP)(RP)b) P(QR)S)P(QR)S)PQRS(PQ)(PQ)(QR)(QR)(RS)(RS)(SP)(SP)c) (PQ)(ST)(PQ)(ST)(PQS)(PQT)d) (PQ)R(PQ)R(PQ)R(PR)(QR

13、)e) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP)(3) 解：a) P(PQR)(PP)(PQ)(PR)(PQ)(PR)b) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PPQ)(QPQ)c) (PQ)(PQ) PQ(PQ)(PQ)(QP)d) (PQ)R(PQ)R (PQ)R (PR)(QR)e) (PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ)(PQ)(QP)(4) 解：a) (PQ)(PQ)(PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(PQ) 1，2，3PQ=P0b) Q(PQ) (PQ)(QQ) PQ =3P0，1，2 (PQ)(PQ) (PQ)

14、c) P(P(Q(QR)P(P(Q(QR) PQR=P01，2，3,4,5,6,7=(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)(PQR)d) (P(QR) )(P(QR) (P(QR) (P(QR) (PP) (P(QR) (QR) P) (QR) (QR) (PQR) (PQR) =0,7P1，2，3,4,5,6 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)e) P(P(QP) P(P(QP)(PP)(PQP) T(TQ) T0,1,2,3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)f) (QP) (PQ) (QP) PQ (QP) (PQ

15、) FP0,1，2，3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(5) 證明：a)(AB) (AC) (AB) (AC)A(BC) A(BC) (AB) (AC)b)(AB) (AB)(AB) (AB) (AB) (AB)A(BB)ATA(AB) (BA) (AB) (BA)A(BB) AFAc)AB(AB) (AA)(AB)B ABB FAB(AB) (AA)(AB)BABBFd)A(A(AB)AA(AB)TAB(AB)(AB) (AB)T (6)解：AR(Q(RP),則A* R(Q(RP)AR(Q(RP)(R(Q(RP) RQ(RP)(RQ) (RP)A*R(Q(RP)(R(Q(RP) R

16、Q(RP)(RQ) (RP)(7) 解：設A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若A去則C和D中要去一個。 A(CD)B和C不能都去。 (BC)C去則D要留下。 CD按題意應有：A(CD)，(BC)，CD必須同時成立。因為CD (CD) (DC)故(A(CD)(BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (BD) (CD) C) (ABC) (ABD) (ACD) (AC) (BCD) (CDBD) (CDCD) (CDC) (DCBC) (DCBD) (DCCD) (DCC)在上

17、述的析取范式中，有些（畫線的）不符合題意，舍棄，得(AC) (BCD) （CD）(DCB)故分派的方法為：BD,或 DA,或 CA。(8)解：設P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。 由題意得 (PQ) (RS) (ES) (PQ) (PQ) (RS) (RS) (ES) (ES) (PQRS) (PQRS) (PQRS) (PQRS)(ES)(ES) 因為 (PQRS)與(PQRS)不合題意，所以原式可化為(PQRS) (PQRS)(ES) (ES) (PQRSES) (PQRSES) (PQRSES)(PQRSES) (PQRSE) (PQRSE)因R與E矛

18、盾，故PQRSE為真，即A不是第一，B是第二，C不是第二，D為第四，A不是第二。于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。習題1-8(1)證明：a)(PQ)，QR，RP(1) RP(2) QR P(3) Q (1)(2)T,I(4) (PQ) P(5) PQ (4)T,E(6) P (3)(5)T,Ib)J(MN)，(HG)J，HGMN(1) (HG) J P(2) (HG) P(3) J (1)(2)T,I(4) J(MN) P(5) MN (3)(4)T,Ic)BC，(BC)(HG) GH(1) BC P (2) B(1)T,I(3) C (1)T,I(4) BC(2)T,I(5)

19、 CB (3)T,I(6) CB(4)T,E(7) BC (5)T,E(8) BC (6)(7)T,E(9) (BC) (HG) P(10) HG(8)(9)T,Id)PQ，(QR)R，(PS) S(1) (QR) R (2) QR (1)T,I(3) R (1)T,I(4) Q (2)(3)T,I(5) PQ P(6) P (4)(5)T,I(7) (PS) P(8) PS (7)T,E(9) S (6)(8)T,I(2) 證明：a)AB，CBAC(1) (AC) P (2) A (1)T,I(3) C (1)T,I(4) AB P(5) B (2)(4)T,I(6) CB P(7) B (

20、3)(6)T,I(8) BB 矛盾。(5),(7)b)A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF)(1) (A(BF) P(2) A (1)T,I(3) (BF) (1)T,I(4) B (3)T,I(5) F (3)T,(6) A(BC) P(7) BC (2)(6)T,I(8) C (4)(7)T,I(9) F(DE) P (10) DE (5)(9)T,I(11) D (10)T,I(12) CD (8)(11)T,I (13) (CD) E P(14) E (12)(13)T,I(15) E (10)T,I(16) EE 矛盾。(14),(15)c)ABCD，DEFAF(1) (AF

21、) P(2) A (1)T,I(3) F (1)T,I(4) AB (2)T,I(5) (AB) CD P(6) CD (4)(5)T,I(7) C (6)T,I(8) D (6)T,I(9) DE (8)T,I(10) DEF P(11) F(9)(10)T,I(12) FF矛盾。(3),(11)d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) BE(1) (BE) P(2) B (1)T,I(3) E (1)T,I(4) BD P(5) D (2)(4)T,I(6) (EF) D P (7) (EF) (5)(6)T,I(8) E (7)T,I(9) EE 矛盾e)(AB)(CD)，(BE)(

22、DF)，(EF)，ACA(1) (AB) (CD) P(2) AB (1)T,I(3) (BE) (DF) P(4) BE (3)T,I(5) AE (2)(4)T,I(6) (EF) P(7) EF (6)T,E(8) EF (7)T,E(9) AF (5)(8)T,I(10) CD (1)T,I(11) DF (3)T,I(12) CF (10)(10)T,I(13) AC P(14) AF (13)(12)T,I(15) FA (14)T,E(16) AA (9)(15)T,I(17) AA (16)T,E(18) A (17) T,E(3) 證明：a)AB，CBAC(1) A P(2)

23、 AB P(3) B (1)(2)T,I(4) CB P(5) C (3)(4)T,I(6) AC CPb)A(BC)，(CD)E，F(xiàn)(DE) A(BF)(1) A P(2) A(BC) P(3) BC (1)(2)T,I(4) B P(5) C (3)(4)T,I(6) (CD) E P(7) C(DE) (6)T,E(8) DE (5)(7)T,I(9) DE (8)T,E(10) (DE) (9)T,E(11) F(DE) P(12) F (10)(11)T,I(13) BF CP(14) A(BF) CPc)ABCD，DEFAF(1) A P(2) AB (1)T,I(3) ABCD

24、P(4) CD(2)(3)T,I(5) D(4)T,I(6) DE (5)T,I(7) DEF P(8) F(6)(7)T,I(9) AF CPd)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) BE(1) B P(附加前提)(2) BD P(3) D (1)(2)T,I(4) (EF)D P(5) (EF)(3)(4)T,I(6) E (5)T,I(7) BE CP(4)證明：a) RQ，RS，SQ，PQP(1) RQ P(2) RS P(3) SQ P(4) Q (1)(2)(3)T,I(5) PQ P(6) P (4)(5)T,Ib) SQ，SR，R，PQP證法一：(1) SR P(2) R

25、P(3) S (1)(2)T,I(4) SQ P(5) Q (3)(4)T,I(6) PQ P(7)(PQ)(QP) (6)T,E(8) PQ (7)T,I(9) P (5)(8)T,I證法二：（反證法）(1) P P（附加前提）(2) PQP(3)（PQ）（ QP） (2)T，E(4) PQ(3)T,I(5) Q (1)(4)T,I(6) SQ P(7) S (5)(6)T,I(8) SR P(9) R (7)(8)T,I(10) R P(11) RR 矛盾（9）（10）T，Ic)(PQ)(RS)，(QP)R)，RPQ(1) R P(2) (QP) R P(3) QP (1)(2)T,I(4

26、)(PQ) (RS) P(5) (RS) (PQ)(4)T,E(6) RS (1)T,I(7) PQ(5)(6)(8) (PQ) (QP)(3)(7)T,I(9) PQ (8)T,E(5) 解：a) 設P：我跑步。Q：我很疲勞。 前提為：PQ，Q (1) PQ P (2) Q P (3) P (1)(2)T,I結論為：P，我沒有跑步。b) 設S：他犯了錯誤。 R：他神色慌張。前提為：SR，R 因為（SR）R（SR）RR。故本題沒有確定的結論。實際上，若S R為真，R為真,則S可為真，S也可為假，故無有效結論。c) 設P：我的程序通過。 Q：我很快樂。R：陽光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一點

27、理解為陽光不好）前提為：PQ，QR，RS (1) PQ P (2) QR P (3) PR (1)(2)T,I (4) RS P (5) R (4)T,I (6) P (3)(5)T,I結論為： P，我的程序沒有通過習題2-1,2-2（1） 解：a) 設W（x）：x是工人。c：小張。則有 W（c）b) 設S（x）：x是田徑運動員。B（x）：x是球類運動員。h：他則有 S（h）B（h）c) 設C（x）：x是聰明的。B（x）：x是美麗的。l：小莉。則有 C（l） B（l）d）設O（x）：x是奇數(shù)。則有 O（m） O（2m）。e)設R（x）：x是實數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。則有 （x）（Q（x）R（

28、x）f) 設R（x）：x是實數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。則有 （$x）（R（x）Q（x） g) 設R（x）：x是實數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。則有 （x）（R（x）Q（x）h)設P（x，y）：直線x平行于直線yG（x，y）：直線x相交于直線y。則有 P（A，B）DG（A，B）（2） 解：a) 設J(x)：x是教練員。L(x)：x是運動員。則有 （x）（J（x）L（x）b) 設S(x)：x是大學生。L(x)：x是運動員。則有 （$x）（L（x）S（x）c) 設J(x)：x是教練員。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壯的。則有 （$x）（J（x）O（x）V（x）d) 設O(x)：x是年老的。V（x

29、）：x是健壯的。j：金教練則有 O（j）V（j）e) 設L(x)：x是運動員。J(x)：x是教練員。則 （x）（L（x）J（x）本題亦可理解為：某些運動員不是教練。故 （$x）（L（x）J（x）f) 設S（x）：x是大學生。L（x）：x是運動員。C（x）：x是國家選手。則有 （$x）（S（x）L（x）C（x）g) 設C（x）：x是國家選手。V（x）：x是健壯的。則有 （x）（C（x）V（x）或（$x）（C（x）V（x）h) 設C（x）：x是國家選手。O（x）：x是老的。L（x）：x 是運動員。則有 （x）（O（x）C（x）L（x）i) 設W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭婦女。C（x）：

30、x是國家選手。則有 （$x）（W（x）C（x）H（x）j） W（x）：x是女同志。J（x）：x是教練。C（x）：x是國家選手。則有（$x）（W（x）J（x）C（x）k） L（x）：x 是運動員。J（y）：y是教練。A(x,y)：x欽佩y。則有 （x）（L（x） （$y）（J（y）A（x，y）l） 設S（x）：x是大學生。L（x）：x 是運動員。A(x,y)：x欽佩y。則（$x）（S（x）（y）（L（y） A(x,y)）習題2-3（1）解：a）5是質數(shù)。b）2是偶數(shù)且2是質數(shù)。c）對所有的x，若x能被2除盡，則x是偶數(shù)。d）存在x，x是偶數(shù)，且x能除盡6。（即某些偶數(shù)能除盡6）e）對所有的x，若

31、x不是偶數(shù)，則x不能被2除盡。f）對所有的x，若x是偶數(shù)，則對所有的y，若x能除盡y，則y也是偶數(shù)。g）對所有的x，若x是質數(shù)，則存在y，y是偶數(shù)且x能除盡y（即所有質數(shù)能除盡某些偶數(shù)）。h）對所有的x，若x是奇數(shù)，則對所有y，y是質數(shù)，則x不能除盡y（即任何奇數(shù)不能除盡任何質數(shù)）。（2）解：（x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)($!z)(L(z)R(x,y,z)或 （x）(y)(P(x)P(y)E(x,y)($z)(L(z)R(x,y,z) ($u)(E(z,u) L(u)R(x,y,u)（3）解：a) 設N(x):x是有限個數(shù)的乘積。 z(y):y為0。 P(x):x的乘積為零。 F

32、(y):y是乘積中的一個因子。 則有 (x)(N(x)P(x)($y)(F(y)z(y)b) 設R(x):x是實數(shù)。Q(x,y):y大于x。 故 (x)(R(x)($y)(Q(x,y)R(y)c) R(x):x是實數(shù)。G(x,y):x大于y。 則 ($x)($y)($z)(R(x)R(y)R(z)G(x+y,xz)（4）解：設G(x,y):x大于y。則有 (x)(y)(z)(G(y,x) G(0,z)G(xz,yz)（5）解：設N(x):x是一個數(shù)。 S(x,y):y是x的后繼數(shù)。E(x,y)：x=y.則a) (x)(N(x)($!y)(N(y)S(x,y)或(x)(N(x)($y)(N(y)

33、S(x,y) ($z)(E(y,z) N(z)S(x,z) b)($x)(N(x)S(x,1)c) (x)(N(x)S(x,2)($!y)(N(y) S(y,x)或(x)(N(x)S(x,2)($y)(N(y) S(y,x) ($z)(E(y,z) N(z)S(z,x)（6）解：設S(x):x是大學生。 E(x):x是戴眼睛的。F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:這本。 b:那位。則有 E(b)F(b)S(b)R(b,a)G(a)K(a)J(a)（7）解：設P(x,y):x在y連續(xù)。 Q(x,y):xy。則 P(

34、f,a)D()($)(x)(Q(,0)(Q(,0)Q(,|x-a|)Q(,|f(x)-f(a)|)習題2-4(1) 解：a) x是約束變元，y是自由變元。 b) x是約束變元，P(x)Q(x)中的x受全稱量詞的約束，S(x)中的x受存在量詞$的約束。 c) x，y都是約束變元,P(x)中的x受$的約束，R(x)中的x受的約束。 d) x，y是約束變元，z是自由變元。(2) 解：a) P(a)P(b)P(c) b) R(a)R(b)R(c)S(a)S(b)S(c) c) (P(a)Q(a)(P(b)Q(b)(P(c)Q(c) d) (P(a)P(b)P(c)(P(z)P(b)P(c) e) (R

35、(a)R(b)R(c)(S(a)S(b)S(c)(3) 解：a) (x)(P(x)Q(x)(P(1)Q(1)(P(2)Q(2)，但P(1)為T，Q(1)為F，P(2)為F，Q(2)為T,所以(x)(P(x)Q(x)(TF)(FT) T。b) (x)(PQ(x)R(a) (PQ(-2)(PQ(3)(PQ(6)R(a)因為P 為T，Q(-2)為T，Q(3)為T，Q(6)為F，R(5)為F，所以(x)(PQ(x)R(a) (TT)(TT)(TF)F F(4) 解：a) (u)($v)(P(u，z)Q(v)DS(x，y) b) (u)(P(u) (R(u)Q(u)($v)R(v)($z)S(x,z)(

36、5) 解：a) ($y)A(u，y)(x)B(x，v)($x)(z)C(x，t，z) b) (y)P(u，y)($z)Q(u，z)(x)R(x，t)習題2-5（1）解： a) P(a,f(a)P(b,f(b)P(1,f(1)P(2,f(2)P(1,2)P(2,1) TFFb)(x)($y)P(y,x)(x) (P(1,x)P(2,x) (P(1,1)P(2,1)(P(1,2)P(2,2) (TF)(TF) Tc)(x)( y)(P(x,y)P(f(x),f(y) (x) (P(x,1)P(f(x),f(1)(P(x,2) P(f(x)f(2) (P(1,1)P(f(1),f(1)(P(1,2)P(f(1),f(2)(P(2,1)P(f(2),f(1)(P(2,2) P(f(2),f(2) (P(1,1)P(2,2)(P(1,2)P(2,1)(P(2,1)