第33講 圓錐曲線方程及性質(zhì)

1、第三十三講圓錐曲線方程及性質(zhì)一課標(biāo)要求：1了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)；3了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。二命題走向本講內(nèi)容是圓錐曲線的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考重點考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有23道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標(biāo)

2、準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法。對于本講內(nèi)容來講，預(yù)測2010年：（1）1至2道考察圓錐曲線概念和性質(zhì)客觀題，主要是求值問題；（2）可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應(yīng)用，結(jié)合三種形式的圓錐曲線的定義。三要點精講1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓；

3、當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同

4、時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。注意：（*）式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支（含的一支）；時為雙曲線的另一支（含的一支）；當(dāng)時，表示兩條射線；當(dāng)時，不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線

5、的焦點，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點注意：如何有方程確定焦點的位置?。?）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別

6、是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為：，當(dāng)時交點在軸，當(dāng)

7、時焦點在軸上。注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：

8、（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。四典例解析題型1：橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個焦點的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于；（2）兩個焦點的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過點；（3）焦點在軸上，；（4）焦點在軸上，且過點；（5）焦距為，；（6）橢圓經(jīng)過兩點，。解析：（1）橢圓的焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）橢圓焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓的

9、定義知，又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（3），又由代入得，又焦點在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（4）設(shè)橢圓方程為， 又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（5）焦距為，又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或（6）設(shè)橢圓方程為（）， 由得，所以，橢圓方程為點評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。例2（1）（06山東）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。（2）（06天津理，8）橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程為，則這個橢圓的方程是（）解析：（1）已知為所求；（2）橢圓的中心為點它的一個焦點為半焦距，相應(yīng)

10、于焦點F的準(zhǔn)線方程為，則這個橢圓的方程是，選D。點評：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎(chǔ)知識就可以。題型2：橢圓的性質(zhì)例3（1）（06山東理，7）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ）(A) (B) (C) (D)（2）（1999全國，15）設(shè)橢圓=1（ab0）的右焦點為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是。解析：（1）不妨設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e，選B。（2）；解析：由題意知過F1且垂直于x軸的弦長為，即e=。點評：本題重點考查了橢圓的基本性質(zhì)。例

11、4（1）（2000京皖春，9）橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是（ ）A.B.C.D.（2）（1998全國理，2）橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍解析：（1）D；由題意知a=2，b=1，c=，準(zhǔn)線方程為x=±，橢圓中心到準(zhǔn)線距離為（2）A；不妨設(shè)F1（3，0），F(xiàn)2（3，0）由條件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故選A。點評：本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想，具有較強的思辨性，是高考命題的方向

12、。題型3：雙曲線的方程例5（1）已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程；（3）已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，。所以所求雙曲線的方程為；（2）橢圓的焦點為，可以設(shè)雙曲線的方程為，則。又過點，。綜上得，所以。點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量之間的關(guān)系。（3）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；點在雙曲線上，點的坐標(biāo)適合方程。將分別代入方程中，得方程組：將和看著整體，解得，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點評：

13、本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。例6(06上海卷)已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解析：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標(biāo)為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；點評：本題主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識以及綜合運用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡捷。題型4：雙曲線的性質(zhì)例7（1）（06福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有

14、一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)（2）（06湖南卷）過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( )A. B. C. D.（3）(06陜西卷)已知雙曲線 =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為（ ）A.2 B. C. D.解析：（1）雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，離心率e2=， e2，選C。（2）過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為

15、1的直線：y=x1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯(lián)立方程組代入消元得，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，雙曲線的離心率e=，選A。（3）雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，a2=6，雙曲線的離心率為，選D。點評：高考題以離心率為考察點的題目較多，主要實現(xiàn)三元素之間的關(guān)系。例8（1）（06江西卷）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（）A. 6 B.7 C.8 D.9（2）（06全國卷I）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則A B C D（3）（06天津卷）如

16、果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（）A B C D解析：（1）設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F1（5，0）與F2（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大，此時|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故選B。（2）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍， m<0，且雙曲線方程為， m=，選A。（3）如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，解得，所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是，選C。點評：關(guān)于雙曲線漸近線、準(zhǔn)線及許多距離問題也是考察的重點。題型5：拋物線方程例9（1）)焦點到準(zhǔn)線的距離

17、是2；（2）已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F(0，2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；方程是x=8y。點評：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會有多解。題型6：拋物線的性質(zhì)例10（1）（06安徽卷）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）A B C D（2）（浙江卷）拋物線的準(zhǔn)線方程是（） (A) (B) (C) (D) （3）（06上海春）拋物線的焦

18、點坐標(biāo)為( )（A）. （B）. （C）. （D）解析：（1）橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D；（2）2p8，p4，故準(zhǔn)線方程為x2，選A；（3）（直接計算法）因為p=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為。應(yīng)選B。點評：考察拋物線幾何要素如焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的題目根據(jù)定義直接計算機即可。例11（1）（全國卷I）拋物線上的點到直線距離的最小值是（ ）A B C D（2）（2002全國文，16）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）。（3）（2001廣東、河南，1