第六章期權(quán)定價理論

1、第六章期權(quán)定價理論第一節(jié)期權(quán)價格的特性一、期權(quán)價格的構(gòu)成期權(quán)的內(nèi)在價值是期權(quán)多頭在行使期權(quán)時可以獲得的收益的現(xiàn)值。我們在第五章已經(jīng)介紹。下面我們介紹期權(quán)的時間價值。期權(quán)的價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加是時間價值。期權(quán)的時間價值是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動性越高，期權(quán)的時間價值越大。此外，期權(quán)的時間價值還受期權(quán)內(nèi)在價值的影響，以無收益看漲期權(quán)為例，當(dāng)時，期權(quán)的時間價值最大，當(dāng)?shù)慕^對值增大時，期權(quán)的時間價值是遞減的。我們用例子來說明期權(quán)內(nèi)在價值與時間價值之間的關(guān)系。假設(shè)A股票（無紅利）的市價為9.05元，A股票有兩種看漲期權(quán)，其協(xié)議

2、價格分別為元，元，它們的有效期都是1年，1年期權(quán)無風(fēng)險利率為10%（連續(xù)復(fù)利）。這兩種期權(quán)的內(nèi)在價值分別為0和1.81（）元，那么這兩種看漲期權(quán)的時間價值誰高？假設(shè)這兩種看漲期權(quán)的時間價值相同，都是2元，那么第一種期權(quán)的價格為2元，第二種期權(quán)的價格為3.81元，此時投資者愿意買哪一種呢？我們比較這兩種期權(quán)，假定一年后出現(xiàn)如下三種情況：情況一：，那么期權(quán)持有者可從期權(quán)1中獲利：元，從期權(quán)2中獲利：元，獲利金額相等；情況二：，那么期權(quán)持有者在期權(quán)1上虧損：元，期權(quán)2也虧：元；情況三：，期權(quán)1的虧損仍為2.21元，而期權(quán)2的虧損則為元，期權(quán)1的虧損小于期權(quán)2。由此可見，無論未來A股票的漲是跌還是平，

3、期權(quán)1均優(yōu)于期權(quán)2，因此期權(quán)1的時間價值不應(yīng)該等于期權(quán)2，而應(yīng)該大于期權(quán)2。我們還可以比較下列兩個期權(quán)：和，顯然這兩種期權(quán)都是內(nèi)在價值為零的看漲期權(quán)，通過分析可以得到，期權(quán)1的時間價值應(yīng)高于期權(quán)2的時間價值。時間價值S圖1 無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的時間價值與內(nèi)在價值的關(guān)系二、期權(quán)價格的影響因素期權(quán)價格的影響因素有六個，他們通過影響期權(quán)的內(nèi)在價值和時間價值來影響期權(quán)的價格。（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)協(xié)議價格由于看漲期權(quán)在執(zhí)行時，其收益等于標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時的價格與協(xié)議價格之差，因此，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越高，協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格就越高；對看跌期權(quán)面而言，其收益等于協(xié)議價格與標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時的價格之差，標(biāo)

4、的資產(chǎn)的價格越低，協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格就越高。（二）期權(quán)的有效期對于美式期權(quán)而言，期限越長獲利機會就越多，因此期權(quán)的價格會越高。對于歐式期權(quán)，由于其只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權(quán)不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機會，如標(biāo)的資產(chǎn)在期限長的有效期內(nèi)有紅利支付（在知短的期限內(nèi)沒有），那么期限長的期權(quán)的價格就會低于期限短的期權(quán)。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)的價格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。如果剔除了標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況，由于有效期長，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險就越大，空頭的虧損風(fēng)險就大，因此有效期長，其期權(quán)的價格就越高。（三）標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風(fēng)險利率（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益標(biāo)的資產(chǎn)分紅付

5、息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進(jìn)行調(diào)整，因此在期權(quán)的有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)的價格下降，并使看跌期權(quán)價格上漲。三、期權(quán)價格的上、下限1、無套利定價法套利就是在某項金融資產(chǎn)的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下獲取無風(fēng)險報酬。即套利就是一投資組合。例：假定市場條件如下：貨幣市場上美元利率是6%，馬克利率是10%；外匯市場上美元與馬克的即期匯率是1USD1.8DEM（1：1.8），問題是一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還可以是1：1.8呢？如果是，是否存在套利機會？答案是否定的，因為在此情況下會產(chǎn)生無風(fēng)險的套利活動。套利者可以從貨幣市場借入1美元（一年后歸還1.06美元）；

6、在即期匯率市場上將1美元兌換成1.8馬克（存入銀行，一年到期可以得到1.98馬克），同時在遠(yuǎn)期市場上以匯率1：1.8賣出1.98馬克，期限為一年。那么一年后，套利者就可以在遠(yuǎn)期市場上換回1.1美元，在支付了原先借入1美元的本息1.06美元后，還有0.04美元的剩余，如果不計成本的話，這個剩余就是套利者獲得的無風(fēng)險的收益，顯然，1：1.8不應(yīng)該是遠(yuǎn)期匯率的價格，上述組合就是一套利機會。定義1若在整個交易時間0，T內(nèi)，投資人在決定投資投資后，沒有加入新的資金，也沒有資金被抽走或消耗，則稱投資策略是自融資的。定義2一個自融資策略被稱為在0，T內(nèi)存在套利機會（arbitrage opportunity

7、），如果存在時刻，使得當(dāng)而且定義3若對于任意的自融資策略在任意時段內(nèi)都不存在套利機會，那么稱市場在時段0，T內(nèi)是無套利的。定理1若市場在時段0，T內(nèi)是無套利機會的，則對于兩個投資組合和，如果且那么，對于任意的，必有證明：反證法。若不然，一定存在時刻，使得記。在時刻構(gòu)造新的投資策略那么可以證明是在時段內(nèi)存在套利機會。從而與定理的假設(shè)矛盾。推論若市場在時段0，T內(nèi)是無套利的，如果兩個投資組合和滿足，那么對于任意的，必有證明：考慮組合，則有。由定理1知：對于任意的，有即令知：同理可證：。無套利定價的基本的思路是：構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值期待，則其現(xiàn)值也一定相等；否則就會產(chǎn)生套利機會，即賣出現(xiàn)值較高

8、的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可獲取無風(fēng)險收益。2、期權(quán)價格的上、下限基本假設(shè)：1、市場不存在套利機會； 2、證券交易不付交易費用（市場無摩擦）； 3、無風(fēng)險利率是常數(shù)。定理3對于有效期內(nèi)無收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，以下的估計式成立（考慮復(fù)利率）：（2.1） (2.2)證明：在0時刻，構(gòu)造兩個投資組合：對于一張0時刻面值為的無風(fēng)險債券，若考慮復(fù)利率，有則有因此所以，且由定理1知：即且所以證得了期權(quán)的下界。再構(gòu)造一投資組合，則有且由定理1知：(2.1)證畢。（2.2）的證明作為作業(yè)。定理4對于有效期內(nèi)有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，以下的估計式成立（考慮復(fù)利率）：（2.3）

9、(2.4)其中D是期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值。四、期權(quán)價格曲線的形狀我們以無收益資產(chǎn)的情況為例。1、看漲期權(quán)的價格曲線實值期權(quán)虛值期權(quán)期權(quán)價格上限期權(quán)價格下限時間價值看漲期權(quán)價格2、看跌期權(quán)的價格曲線（略）五、歐式看漲、看跌期權(quán)的平價公式定理5看漲看跌平價公式（無收益資產(chǎn)）：定理6看漲看跌平價公式（有確定現(xiàn)金收益資產(chǎn)，收益的現(xiàn)值為D）：第二節(jié)期權(quán)定價的二叉樹模型基本假設(shè)：1、市場不存在套利機會； 2、證券交易不付交易費用（市場無摩擦）； 3、無風(fēng)險利率是常數(shù)。 4、股票是無限可分的。一、一個例子假定原生資產(chǎn)股票在時刻的價格為元，一個月后（），它有兩種可能性：上揚到45元或下跌到35元。那么在時

10、刻購買一張一個月到期，廟宇價格的平價期權(quán)，問應(yīng)該支付多少期權(quán)金？（假定一年期的存款利率為12%）。根據(jù)期權(quán)到期時的收益在時刻，期權(quán)的價值亦有兩種可能性：若股票上揚，元；若股票價格下跌，則元，即期權(quán)一文不值。在時刻，構(gòu)造一個投資組合：在到期日，該組合的價值也有兩種可能性：若股票價格上揚，若股票價格下跌即在到期日，該組合具有確定的值元。另外在時刻，構(gòu)造一個投資組合：（元）那么在到期日（即一個月后），組合的收益（元）因此有由無套利假設(shè)及其推論，知：即由此得：這表明投資者為了購買這張期權(quán)，在時刻應(yīng)該支付期權(quán)金元。這個例子的關(guān)鍵在于：（1） 由風(fēng)險資產(chǎn)股票的看漲期權(quán)限c構(gòu)造一個無風(fēng)險投資組合，這就是對沖

11、的思想；（2） 求得的期權(quán)價格元與每個投資者對未來價的期望無關(guān)，因此所得的價格就是期權(quán)的風(fēng)險中性價格。二、 期權(quán)定價的一期模型關(guān)于風(fēng)險資產(chǎn)（股票、外匯等）的價格變化規(guī)律的研究，從最簡單的模型單時段雙狀態(tài)模型開始。以此為基礎(chǔ)，我們討論如何利用無套利原理，求出它的衍生物期權(quán)的價格。假設(shè)市場由兩個資產(chǎn)構(gòu)成：無風(fēng)險資產(chǎn)B和風(fēng)險資產(chǎn)S（股票）。單時段（one period）：是指交易只在時刻的初始時刻以及終止時刻進(jìn)行。雙狀態(tài)（two state）：是指風(fēng)險資產(chǎn)的價格在未來時刻只有兩種可能性：。我們的問題是：假如在時刻，風(fēng)險資產(chǎn)的價格為，預(yù)期在時，它的價格可能是：和這里?，F(xiàn)投資者在購買一張到期日為T，敲定

12、價格為X的看漲期權(quán)，如果在0，T時段無風(fēng)險利率為，那么該看漲期權(quán)的價格為多少？在時刻，期權(quán)的價格為即在到期日，期權(quán)的價格也有兩種可能性：和我們的思想是：構(gòu)造無風(fēng)險的投資組合。試想賣出一張看漲期權(quán)，出售方必然面臨風(fēng)險，為了回避這個風(fēng)險，出售方要采取適當(dāng)?shù)牟呗詫︼L(fēng)險進(jìn)行控制，即買進(jìn)適當(dāng)份額的股票與它對沖，使得組合為無風(fēng)險的。記這個份額為，這就是對沖的思想。構(gòu)成投資組合：購買一份股票，賣掉份看漲期，使得該組合是無風(fēng)險的，這稱為對沖（hedging）。利用對沖技巧，我們給出期權(quán)的定價公式。假定存在，使得是無風(fēng)險的，即有時刻，的價值是確定的，即無風(fēng)險的。既然是無風(fēng)險的，那么的投資增長率為無風(fēng)險利率(不計

13、復(fù)利)，即由此得：（3.1）由于在時刻股票價格有兩種可能性，所以在組合的價值也有兩種可能性，但由于構(gòu)造的無風(fēng)險組合，那么我們有（3.2）由（3.1）和（3.2），我們知：在這里，和是未知量。解之得：（3.3）那么（3.4）由無套利假設(shè)知：事實上，若，則用無風(fēng)險利率借入的資產(chǎn)，然后購買一支股票，在到期日時，股票的最少價格為，用賣出股票的錢還債則有無風(fēng)險收益（最少）：這個組合是一套利機會，與假設(shè)相矛盾。同理可得：。定義新的概率測度Q：易知：且從而（3.4）可以改寫為（3.5）這里的表示在概率測度Q下，隨機變量的數(shù)學(xué)期望。我們通常也將測度Q稱為風(fēng)險中性測度，（3。5）式告訴我們，看漲期權(quán)的價格也可以

14、解釋為在風(fēng)險中性概率條件下，期權(quán)價格是其收益期望值的折現(xiàn)。定理1在概率測度Q下，看漲期權(quán)在時刻的貼現(xiàn)價格是期權(quán)到期日價格貼現(xiàn)值的數(shù)學(xué)期望，即（3.6）注意：即這說明在概率測度Q下，風(fēng)險資產(chǎn)S在時刻的期望回報與無風(fēng)險資產(chǎn)的期望回報相同，我們把具有這個性質(zhì)的金融市場稱為風(fēng)險中性世界。在這樣的世界中，所有的投資者對風(fēng)險不要求補償，所有證券的預(yù)期收益率都是無風(fēng)險利率。由此，我們把以上定義的測度Q稱為風(fēng)險中性測度，在風(fēng)險中性測度下給出的期權(quán)定價公式稱為風(fēng)險中性價格。例1 設(shè)股票價格為，股票價格以的概率向上和向下波動，無風(fēng)險利率為15%，那么股票的變化情況為S=21uS=29.4dS=23.1試求協(xié)議價格

15、為的看漲期權(quán)的價格（到期日就是T時刻）。解：由上面的分析，所以看漲期權(quán)的價格為說明：1、由此可知，構(gòu)造投資組合所需的投資為：，而在期末投資的總價值為：；2、此投資組合的回報率為：一期模型的期權(quán)定價公式有三人個有趣的性質(zhì)：1、期權(quán)的價格不依賴于股票價格上升或下降的概率；2、投資者對風(fēng)險的態(tài)度與期權(quán)定價公式無關(guān)，我們只假設(shè)投資者偏好更多的財富；3、股票價格是期權(quán)價值惟一依賴的隨機變量。3.3 期權(quán)定價的二期模型下面我們討論二期模型。無風(fēng)險債券B：無風(fēng)險利率為r為常數(shù)，且每期復(fù)利一次，即期初為的無風(fēng)險債券，到二期結(jié)束時的價值為。在本例中，設(shè)。股票S：經(jīng)歷兩期，每期都有兩個狀態(tài)：向上，向下。不妨假定：

16、，。根據(jù)假定，可知：由一期模型的討論知：風(fēng)險中性概率，我們考慮看漲期權(quán)：到期日為時刻，敲定價格為。那么在時刻，期權(quán)金從到，可以看作一期模型，因此可以得到：同理，從到仍可以看作一期模型，那么有得：如果期權(quán)的執(zhí)行價格為，則，則期權(quán)的價格為（元）第三節(jié) BS期權(quán)定價公式金融資產(chǎn)的定價問題是現(xiàn)代財務(wù)金融理論的一個基本問題。對于具有固定現(xiàn)金流的金融資產(chǎn)（如債券），其價格都是通過凈現(xiàn)值方法來確定的。運用凈現(xiàn)值方法需要事先確定一個適當(dāng)?shù)恼郜F(xiàn)率，即資本成本和未來現(xiàn)金流。按照財務(wù)理論，該折現(xiàn)率的大小應(yīng)該與投資風(fēng)險大小成正比，也就是它應(yīng)該由無風(fēng)險利率和風(fēng)險溢價組成。對于期權(quán)來講，其風(fēng)險究竟有多大？如何計算出相應(yīng)的

17、風(fēng)險溢價以及未來的現(xiàn)金流？這些都是較難解決的問題。一、基礎(chǔ)知識和基本假定定義1隨機過程被稱為Brown運動或Wiener過程，如果滿足：1） 軌道連續(xù)：，且是的連續(xù)函數(shù)；2） 增量正態(tài)分布：對固定的，以及對有3） 增量獨立：若，有與都是相互獨立的。定義2 若是非預(yù)測的隨機過程，在作一個剖分：作積：求和：如果極限存在，其中，且此極限與剖分無關(guān)，則稱此極限值為的Ito積分，記作：注意：這個積分定義與通常的Riemann積分的定義是有差別的。定理（Ito公式）設(shè)，其中是二元可微的。若隨機過程適合隨機微分方程則 Ito公式是隨機分析中復(fù)合函數(shù)求微分的法則。一、基本假設(shè)：1） 股票價格滿足隨機微分方程：

18、（4.1）其中，是常數(shù)。我們稱股票價格服從幾何布朗運動。2） 股票市場允許賣空；3） 沒有交易費用或稅收；4） 所有證券都是無限可分的；5） 證券在有效期內(nèi)沒有紅利支付；6） 不存在無風(fēng)險套利機會；7） 交易是連續(xù)進(jìn)行的；8） 無風(fēng)險利率是常數(shù)。二、BS期權(quán)定價公式設(shè)表示時刻的期權(quán)價格，它是時間和股票價格的函數(shù)，假定關(guān)于有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。（一）BS微分方程構(gòu)造組合：選取適當(dāng)?shù)模沟迷跁r段內(nèi)，是無風(fēng)險的。設(shè)在時刻形成投資組合，并在內(nèi)，不改變份額。那么由于是地風(fēng)險的，因此在時刻，投資組合的回報即由于是滿足（4.1）的隨機過程，而是的函數(shù)，所以即要使得是無風(fēng)險的，則應(yīng)取，由此可知：那么我們有：這就是著名的BS微分方程。（二）BS期權(quán)定價公式1973年，BS成功求解了他們的微分方程，從而獲得了看漲期權(quán)的定價公式。定理（BS公式）其中, 根據(jù)歐式看漲看跌的平價公式，對于無收益資產(chǎn)的看跌期權(quán)，其定價公式為：（三）有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式到現(xiàn)在為止，我們一直假定期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益，那么對于有收益資產(chǎn)，其定價公式又是怎樣的呢？當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）