算兩次在證明組合恒等式中的應(yīng)用

1、“算兩次”思想在證明組合恒等式中的應(yīng)用1.，取走和剩下的一一對(duì)應(yīng)；2.我們可令等式中的x等于1，得到該式。另外，我們可考察集合的子集的個(gè)數(shù)：一方面，采取加法原理，根據(jù)子集中元素個(gè)數(shù)分類：；另一方面，采取乘法原理，設(shè)其子集為S，我們逐一考察是否在S內(nèi)，每個(gè)元素都有兩種可能，考察完畢，子集S確定，或者我沒把子集看成一個(gè)排列，如；。共。所以得證。3.，從取m個(gè)有種：一類含a：，一類不含a：。推廣： 從取m個(gè)排成一排：一類含a：，一類不含a：。推廣：解釋：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1個(gè)，白球n個(gè)。從中選取n+1個(gè)小球，選法共：種，考慮另外一種算法：若有黑1則在剩余小球中選n個(gè)，即，若無黑1，則

2、考慮是否有黑2，若有則從剩余n+m-1個(gè)小球中取n個(gè)，即，依次考慮下去，到考慮是否有黑m，若有，則在剩余n個(gè)小球取n個(gè)，即，若無黑m。則必有黑m+1，最后剩下的m個(gè)白球全取?？偣?。所以得證。本公式另一種表現(xiàn)形式：。本公式也可從楊輝三角觀察可得。還可考察等式兩端的系數(shù)相同。推廣： 從取個(gè)元素：從這個(gè)元素中取個(gè)a系，r-k個(gè)b系的方法種，所以。（Vandermonde恒等式）特例，當(dāng)時(shí)，即。 當(dāng)時(shí)，。（人教B選修2-3教材P35T17，此題還可以通過考察等式左右兩邊含項(xiàng)的系數(shù)相等得到；同樣考察左右兩邊含項(xiàng)的系數(shù)相等得到Vandermonde恒等式）推廣：。證明：由，令結(jié)合可得。得證。解釋：a系選一

3、個(gè)作為主元素，從剩余的2n-1中再選n-1個(gè)；再有對(duì)于k=1，2,3，n從n個(gè)a系中選k個(gè)，再?gòu)闹羞x一主元素，再?gòu)膎個(gè)b系中選n-k個(gè)（不做主元素），即。另一種證明方法：因?yàn)椋?，兩展開式右邊乘積中的常數(shù)項(xiàng)恰好等于，而，中含的系數(shù)是。推廣：，當(dāng)時(shí)，即是上式。4.，（可直接用組合數(shù)公式證明）解釋：從n個(gè)元素中選出r個(gè)元素并把其中之一作為主元素，另一方法，先從n個(gè)元素中選出一個(gè)主元素，再?gòu)氖Ｓ嗟膎-1個(gè)元素中選取r-1個(gè)元素。用之可證明人教B版選修2-3P32T6：。（證明一：倒序相加；證明二：從左往右結(jié)合；證明三：兩端求導(dǎo)并令）的推廣：時(shí)，。解釋：考慮從n人中選出m名正式代表及若干名列席代表的選法（列席代表不限人數(shù)，可以為0）.一方面，先選定正式代表，有種方法，然后從個(gè)人選列席代表，有種方法，共有種。另一方面，可以先選出人（），然后再?gòu)闹羞x出m名正式代表，其余的k人為列席代表。對(duì)于每個(gè)k,這樣的選法有種，從