近世代數(shù)期末試卷

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上近世代數(shù)復習思考題一、基本概念與基本常識的記憶（一）填空題1.剩余類加群Z12有_4_個生成元.2、設群G的元a的階是n，則ak的階是_.3. 6階循環(huán)群有_2_個子群.4、設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關系為mn。5. 模8的剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有_4_個.6.整數(shù)環(huán)Z的理想有_無窮多個_個. 7、n次對稱群Sn的階是n!。8、9-置換分解為互不相交的循環(huán)之積是。9.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S=0,2,4，則S的單位元是_.10. 中的所有可逆元是：1、5、7、11、13、17、19、23_.11、凱萊定理的內容是：任一個子群都同一個_變換群_同構。12. 設為循環(huán)

2、群，那么（1）若的階為無限，則同構于_整數(shù)加群_，（2）若的階為n，則同構于_單位根群_。13. 在整數(shù)環(huán)中，=_； 14、n次對稱群Sn的階是_.15. 設為群的子群，則是群的子群的充分必要條件為_。16、除環(huán)的理想共有_2_個。17. 剩余類環(huán)Z5的零因子個數(shù)等于_0_.18、在整數(shù)環(huán)Z中，由2，3生成的理想是_.19. 剩余類環(huán)Z7的可逆元有_6_個.20、設Z11是整數(shù)模11的剩余類環(huán)，則Z11的特征是_11_.21. 整環(huán)I=所有復數(shù)a+bi(a,b是整數(shù))，則I的單位是_.22. 剩余類環(huán)Zn是域n是_素數(shù)_.23、設Z7 =0，1，2，3，4，5，6是整數(shù)模7的剩余類環(huán)，在Z7

3、x中, (5x-4)(3x+2)=_.24. 設為群，若，則_3_。25、設群G=e，a1，a2，an-1，運算為乘法，e為G的單位元，則a1n =_e_.26. 設A=a,b,c，則A到A的一一映射共有_6_個.27、整數(shù)環(huán)Z的商域是_.28. 整數(shù)加群Z有_2_個生成元.29、若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個域當且僅當是。30. 已知為上的元素，則_。31. 每一個有限群都與一個_置換群_群同構。32、設I是唯一分解環(huán)，則Ix與唯一分解環(huán)的關系是。二、基本概念的理解與掌握。（二）選擇題1.設集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合A×B中

4、含有（ ）個元素。A.2 B.5 C.7 D.102.設ABR(實數(shù)集)，如果A到B的映射：xx2，xR，則是從A到B的（ ）A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射3.設Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（ ）個。A.2B.4C.6D.84、G是12階的有限群，H是G的子群，則H的階可能是( ) A 5； B 6； C 7； D 9.5、下面的集合與運算構成群的是 ( )A 0，1，運算為普通的乘法；B 0，1，運算為普通的加法;C -1，1，運算為普通的乘法； D -1，1，運算為普通的加法;6、關于整環(huán)的敘述，下列正確的是 ( )A 左、右消去

5、律都成立； B 左、右消去律都不成立;C 每個非零元都有逆元； D 每個非零元都沒有逆元;7、關于理想的敘述，下列不正確的是 ( )A 在環(huán)的同態(tài)滿射下，理想的象是理想;B 在環(huán)的同態(tài)滿射下，理想的逆象是理想;C 除環(huán)只有兩個理想，即零理想和單位理想D 環(huán)的最大理想就是該環(huán)本身.8.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是( )。A.1個B.2個C.4個D.無限個9. 設M2(R)= a,b,c,dR，R為實數(shù)域按矩陣的加法和乘法構成R上的二階方陣環(huán)，那么這個方陣環(huán)是( )。A. 有單位元的交換環(huán) B. 無單位元的交換環(huán) C. 無單位元的非交換環(huán) D. 有單位元的非交換環(huán)10. 設Z是整數(shù)集，(a)= ，則

6、是R的( ).A. 滿射變換 B. 單射變換 C. 一一變換 D. 不是R的變換11、設A=所有實數(shù)x，A的代數(shù)運算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個子集 的同態(tài)滿射的是(       ).A、x10x B、x2xC、x|x| D、x-x .12、設是正整數(shù)集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ ）A、不適合交換律 B、不適合結合律C、存在單位元 D、每個元都有逆元.13.設=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），則 中與元（1 2 3）不能交換的元的個數(shù)是( 

7、0;     )A、1  B、2   C、3 D、4.14、設為群，其中G是實數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ ）A、0和； B、1和0； C、和； D、和15、設是有限群的子群，且有左陪集分類。如果6,那么的階（ ）A、6 B、24 C、10 D、1216.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是(      ).A、1個 B、2個 C、4個  D、無限個。17、設是環(huán)同態(tài)滿射，那么下列錯誤的結論為（ ）A、若是零元，則是零元 B、

8、若是單位元，則是單位元C、若不是零因子，則不是零因子 D、若是不交換的，則不交換18、下列正確的命題是（ ）A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán) B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán) D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)19. 下列法則，哪個是集A的代數(shù)運算( ).A. A=N, ab=a+b-2 B. A=Z,ab= C. A=Q, ab= D. A=R, ab=a+b+ab20. 設A=所有非零實數(shù)x,A的代數(shù)運算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個子集的同態(tài)滿射的是( ).A. x-x B. x C. x D. x5x21. 在3次對稱群S3中，階為3的元有( ).A. 0個 B. 1個 C.

9、2個 D. 3個22剩余類環(huán)Z6的子環(huán)有( ).A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個23、設和都是群中的元素且，那么（ ）A.； B.； C.； D.。24、設是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（ ）A.的同態(tài)核是的不變子群; B.的不變子群的象是的不變子群。C.的子群的象是的子群；D.的不變子群的逆象是的不變子群；25、設是群的子群，且有左陪集分類。如果6，那么的階（ ）A.6； B.24； C.10； D.12。（三）判斷題（每小題2分，共12分）1、設、都是非空集合，則到的每個映射都叫作二元運算。（ ）2、除環(huán)中的每一個元都有逆元。（ ）（非零元）3、如果循環(huán)群中生成元的階

10、是無限的，則與整數(shù)加群同構。（ T ）4、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。（ ）5、域是交換的除環(huán)。（ T ）6、唯一分解環(huán)的兩個元和不一定會有最大公因子。（ ）7、設f：是群到群的同態(tài)滿射，a，則a與f (a)的階相同。（ ）8、一個集合上的全體一一變換作成一個變換群。（ F ）9、循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。（ T ）10、整環(huán)I中的兩個元素a，b滿足a整除b且b整除a，則ab。（ ）11、一個環(huán)若沒有左零因子，則它也沒有右零因子。（ F ）12、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（ T ）13、如果環(huán)的階，那么的單位元。（ ）14、指數(shù)為2的子群不是不變子群。（ F ）15、在

11、整數(shù)環(huán)中，只有±1才是單位，因此在整數(shù)環(huán)中兩個整數(shù)相伴當且僅當這兩數(shù)相等或只相差一個符號。（ ）16、兩個單位和的乘積也是一個單位。（ ）17、環(huán)中素元一定是不可約元；不可約元一定是素元。（ ）18、由于零元和單位都不能表示成不可約元之積，所以零元和單位都不能唯一分解。（ ）19、整環(huán)必是唯一分解環(huán)。（ ）20、在唯一分解環(huán)中，是中的素元當且僅當是中的不可約元。（ ）21、設是唯一分解環(huán)，則中任意二個元素的最大公因子都存在，且任意二個最大公因子相伴。（ ）22、整數(shù)環(huán)和環(huán)都是主理想環(huán)。（ ）23、是主理想環(huán)當且僅當是唯一分解環(huán)。（ ）24、整數(shù)環(huán)、數(shù)域上的一元多項式環(huán)和Gauss整環(huán)

12、都是歐氏環(huán)。（ ）25、歐氏環(huán)必是主理想環(huán)，因而是唯一分解環(huán)。反之亦然。（ ）26、歐氏環(huán)主理想環(huán)唯一分解環(huán)有單位元的整環(huán)。（ ）27、設環(huán)的加法群是循環(huán)群,那么環(huán)R必是交換環(huán). （ T ）28、對于環(huán)R,若是的左零因子,則必同時是的右零因子. （ F ）29、剩余類是無零因子環(huán)的充分必要條件是為素數(shù). （ T ）30、整數(shù)環(huán)是無零因子環(huán)，但它不是除環(huán)。（ T ）31、是的子域. （ ）32、在環(huán)同態(tài)下，零因子的象可能不是零因子。（ ）33、理想必是子環(huán),但子環(huán)未必是理想. （ ）34、群的一個子群元素個數(shù)與的每一個左陪集的個數(shù)相等. （ ）35、有限群中每個元素的階都整除群的階。（ T ）三

13、、基本方法與技能掌握。（四）計算題1設 為整數(shù)加群, ,求 解     在 Z中的陪集有:, , , , 所以, .2、找出的所有子群。解：S3顯然有以下子群： 本身；（1）=（1）；（12）=（12），（1）； （13）=（13），（1）；（23）=（23），（1）； （123）=（123），（132），（1） 若S3的一個子群H包含著兩個循環(huán)置換，那么H含有（12），（13）這兩個2-循環(huán)置換，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一個子群含有兩個循環(huán)置換（21），（23）或（31），（3

14、2）。這個子群也必然是S3。 用完全類似的方法，可以算出，若是S3的一個子群含有一個2-循環(huán)置換和一個3-循環(huán)置換，那么這個子群也必然是S3。3求 的所有子群。解 的子群有                                   

15、0;      .4 將 表為對換的乘積.解 .   容易驗證: (4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).5 設按順序排列的13張紅心紙牌A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K經(jīng)一次洗牌后牌的順序變?yōu)?, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9問: 再經(jīng)兩次同樣方式的洗牌后牌的順序是怎樣的?解 每洗一次牌, 就相當于對牌的順序進行一次新的置換. 由題意知, 第一次洗牌所對應的置換為則3次同樣方式的洗牌所對應的置換為

16、6 在 中, 計算:(1) ;(2) ; (3) ; (4) .解 (1) ;    (2) ;    (3) ;     (4) .7試求高斯整環(huán) 的單位。（可逆元）解 設 () 為 的單位, 則存在 , 使得 , 于是因為 , 所以 . 從而 , , 或 . 因此可能的單位只有顯然它們都是 的單位. 所以 恰有四個單位: 8 試求中的所有零因子與可逆元, 并確定每個可逆元的逆元素.解 由定理可知:    (1) 為 的全部零因子.   

17、60;(2) 為 的全部可逆元. 直接計算可知, 相應的逆元為,  ,  ,  .9、找出模6的剩余類環(huán)的所有理想。解：R=0，1，2，3，4，5。 若I是R的一個理想，那么I一定是加群R的一個子群。但加群R是循環(huán)群，所以它的子群一定也是循環(huán)群，我們有 G1=（0）=0 G2=（1）=（5）=R G3=（2）=（4）=0，2，4 G4=（3）=0，3 易見，G1，G2，G3，G4都是R的理想，因而是R的所有理想。10 在 中, 解下列線性方程組:解:即 , .11求 的所有子環(huán).解 設 為 的任一子環(huán), 則 是 的子加群, 且存在 , , 使得 . 的可能取值為1

18、, 2, 3, 6, 9, 12。相應的子加群為    ,    ,    ,    ,    ,    .直接驗證可知, 以上六個子加群都關于剩余類的乘法封閉, 所以它們都是 的子環(huán). 于是 恰有6個子環(huán): 12. 試求 的所有理想.解 設 為 的任意理想, 則 為 的子環(huán)， 則,  ,  且 .   &#

19、160;對任意的 , , 有,    從而由理想的定義知, 為 的理想. 由此知, 的全部理想為且 .13、數(shù)域上的多項式環(huán)的理想是怎樣的一個主理想。解 由于，所以，于是得。14、在 中, 求 的全部根.解 共有16個元素: , , , , 將它們分別代入 ,可知共有下列4個元素, , , 為 的根.15試舉例說明，環(huán)中的m次與n次多項式的乘積可能不是一個m+n次多項式.解 例如，環(huán)中多項式 與 的乘積就不是3+2次多項式.16.求出域上的所有2次不可約多項式.解 經(jīng)驗算得知，上的2次不可約多項式有三個，它們是： 17、指出下列哪些元素是給定的環(huán)的零因子.(1)

20、在中.設.(2) 在中,它的全部零因子是哪些.(3) 中有零因子嗎?解 (1) 是零因子,但不是.(2) 中的零因子為(3) 中沒有零因子.19舉例說明，非零因子的象可能會是零因子.20.設R為偶數(shù)環(huán).證明： 問：是否成立？N是由哪個偶數(shù)生成的主理想？解： 1) ： 故N為子加群。 2)另外 故總之有 另方面，由于且而且實際上N是偶數(shù)環(huán)中由8生成的主理想，即，但是因此，.實際上是21、舉例說明，素理想不一定是極大理想。22、設,求關于的所有左陪集以及右陪集.解 ,的所有左陪集為:;的所有右陪集為:;.四、綜合應用能力。（五）證明題1在群 中, 對任意 , 方程 與 都有唯一解. 證明 令 ,

21、那么 , 故 為方程 的解。 又如 為 的任一解, 即 ,則.這就證明了唯一性.   同理可證另一方程也有唯一解.2全體可逆的  階方陣的集合 ()關于矩陣的乘法構成一個非交換群. 這個群的單位元是單位矩陣.每個元素(即可逆矩陣) 的逆元是 的逆矩陣 . 證明   (1) 設 都是 階可逆矩陣, 則 , , 從而 . 所以  也是 階可逆矩陣. 這說明矩陣的乘法是 的代數(shù)運算;    (2) 因為矩陣的乘法滿足結合律, 所以 的乘法也滿足結合律;   &#

22、160;(3) 設 為 階單位矩陣, 則 , 故 , 且對任意的 , 有 所以, 是 的單位元.     (4) 設 , 則 . 從而 可逆, 設 為 的逆矩陣, 則 , 故 , 且 . 所以 的逆矩陣 為 在 中的逆元. 因此, 構成群. 由矩陣的乘法易知, 當 時 是非交換群.3  ，。那么H是的一個子群。   證明  I.H對于G的乘法來說是閉的，        (1)(1)=(1)，(1)

23、(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)；    II.結合律對于所有G的元都對，對于H的元也對；    IV.；    V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。4一個群G的一個不空有限子集H作成G的一個子群的充分而且必要條件是： 證明 必要性。H是G的非空子集且H的每一個元素的階都有限。若H是子群，則由子群的條件必有充分性。由于H是G的非空子集，若又H的每一個元素的階都有限 ，綜上知H是G的子群。6群 的任何兩個子群的交集也是 的子

24、群. 證明     設 為   的兩個子群, 則    (1) , 所以 , 即 ;    (2) 任給 , 則 , 因此 ;    (3) 任給 , 那么 , 因此 , 所以 . 從而由定理2知, 是  的子群.7 設 為 的子群. 則 在 中左陪集的個數(shù)與右陪集的個數(shù)相同.證明 設 , 分別表示 在 中的左、右陪集所組成的集合. 令      

25、                                       ,  .則 是 到 的雙射.    事實上    (1) 如果

26、 , 那么 , 故 , 所以, . 于是, 為 到 的映射.     (2) 任給 , 有 , 因此, 為滿射.     (3) 如果 , 那么 , 因此 , 從而得 為雙射.即在 中左陪集的個數(shù)與右陪集的個數(shù)相同.8有限群 的任一元素的階都是群 的階數(shù)的因子.證明 設G的元a的階為n, 則a生成一個階是n的子群，由以上定理，n整除G的階。9 設 與 為群, 是 與 的同構映射, 則    (1) 如果 為 的單位元, 則 為 的單位元;

27、0;   (2) 任給 , 為 的逆元, 即 證明 (1) 因為 由消去律知, 為 的單位元.    (2) 任給 ,從而知 為 的逆元. 所以, .10如果 是交換群, 則 的每個子群 都是 的正規(guī)子群.    證明 因為 為交換群, 所以 的每個左陪集 也就是右陪集 .12 設 , , 則 .    證明 (1) , , , 則所以, 為 的子群.    (2) 任給 , , 則所以, , 從而 .13群 的任何兩個正規(guī)子群的交還是

28、 的正規(guī)子群.證明 設 與 為 的兩個正規(guī)子群, , 則 為 的子群. 又任給 , , 則因為 與 都是 的正規(guī)子群, 所以所以, . 故 .14 設 與 是群, 是 到 的同態(tài)映射.    (1) 如果 是 的單位元, 則 是 的單位元;    (2) 對于任意的 , 是 在 中的逆元. 即證明 (1) 因為 是 的單位元, 設 是 的單位元, 則從而有消去律得: .    (2) 因為 從而可知, .15  設 與 是群, 是 到 的滿同態(tài).

29、如果 是 的正規(guī)子群, 則 是 的正規(guī)子群.證明 由定理知, 是 的子群. 又對任意的 , 因為 是滿同態(tài), 所以存在 , 使得 . 從而所以, 是 的正規(guī)子群.16  設，的階為，證明的階是，其中。 17 設是循環(huán)群，G與同態(tài)，證明是循環(huán)群。18  證明循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。 19 假定和是一個群G的兩個元，并且，又假定的階是，的階是，證明：的階是。    證明：一方面，；    另一方面，若，則 ；  

30、;  同理，；于是由   ，有，故，的階是。20假定H是G的子群，N是G的不變子群，證明HN是G的子群    證明：，    ，    。21設 是一個環(huán), 如果 有單位元, 則 的單位元是唯一的. 的單位元常記作 .      證明    設 都是 的單位元, 則所以, .22、設為實數(shù)集，令，將的所有這樣的變換構成一個集合，試證明：對

31、于變換普通的乘法，作成一個群。證明 (1)(封閉性) 我們有: 由于 中元素是封閉的.(2)(結合律)凡是映射的合成都滿足結合律.故中的元素也滿足結合律.(3)(單位元)顯然是的恒等變換,由定義2知必是的單位元.(4)(左逆元) 那么 故 并且 . (這個等式可以驗證)故知.由上述是一個的變換群.23全體偶數(shù) 關于通常的數(shù)的加法與乘法構成一個沒有單位元的交換環(huán).證明：(1) 先證關于加法做成一個群 A: 任給 , 則 所以, 數(shù)的加法與乘法是 的代數(shù)運算.B: 因為數(shù)的加法滿足結合律，所以全體偶數(shù)關于加法也滿足結合律    C: 因為 , 且對任意的 ,

32、 有 所以數(shù)零是 的加法零元.    D: 任給 , , 所以 的每個元都有負元, 且 .（2） 因為數(shù)的乘法滿足結合律，所以全體偶數(shù)關于乘法也滿足結合律，交換律（3） 數(shù)的乘法對加法顯然滿足分配律。 從而由環(huán)的定義知, 構成交換環(huán), 顯然 無單位元.    事實上， 如果 有單位元 , 則 , , 且對任意的 , 有 ，即 , 所以 , , 矛盾.（重點）24、設群G的每個元素x都適合方程x2= e，這里e是G的單位元，求證：G是交換群。證明：任意x、yG，由x2= e，y2= e有x-1= x，y-1

33、= y。又由(xy)2= e有(xy)-1= xy。從而yx= y-1 x-1= (xy)-1= xy即G是交換群25 證明數(shù)集 關于數(shù)的加法與乘法構成一個有單位元的交換環(huán).證明： (1) 先證關于加法做成一個群 A:任給 , , 則 所以, 數(shù)的加法與乘法是 的代數(shù)運算.B:因為數(shù)的加法滿足結合律，所以關于數(shù)的加法也滿足結合律，C:因為 , 且對任意的 , 有所以數(shù)零為 的零元.D:任給 , , 且所以, 的負元為 .(2）數(shù)的乘法滿足結合律，交換律，所以關于數(shù)的乘法滿足結合律，交換律 （3）乘法對加法顯然滿足左右分配律，所以的乘法對加法也滿足分配律所以做成一個交換環(huán)因為 , 且對任意的 , 有所以數(shù)1為 的單位元.26 在一個無零因子環(huán)中, 兩個消去律成立. 即設 , , 如果 , 或 , 則 .證明 設 , 則 . 因為 無零因子, 且 , 所以 , 從而 . 同理可證另一個消去律成立.27、群G的兩個子群的交集還是G的子群。證明：設H1、H2為G之子群，a、bH1H2，則a、bH1，且a、bH2又H1、H2為子