第1章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

1、廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1狀態(tài)空間的線性變換狀態(tài)空間的線性變換2離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式3時變和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式時變和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式4 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型1 在經(jīng)典控制理論中，對一個線性定常系統(tǒng)的，可在經(jīng)典控制理論中，對一個線性定常系統(tǒng)的，可用常微分方程或傳遞函數(shù)加以描述。將某個變量作為用常微分方程或傳遞函

2、數(shù)加以描述。將某個變量作為輸出，和輸出聯(lián)系起來。輸出，和輸出聯(lián)系起來。 在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)的動態(tài)特性由狀態(tài)變量在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)的動態(tài)特性由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述，能同時給出系統(tǒng)全部構(gòu)成的一階微分方程組來描述，能同時給出系統(tǒng)全部獨立變量的響應(yīng)，因而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運獨立變量的響應(yīng)，因而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài)。動狀態(tài)。buxaxaxax012 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型2如圖所示如圖所示R-L-C電路，其中電壓電路，其中電壓u(t)為電路的輸入量，電容為電路的輸入量，

3、電容上的電壓上的電壓uc(t)為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的關(guān)系。的關(guān)系。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)輸入輸出:( )( )( )Ri( )( )( )( )( )ccci tutdi ttLUtu tdtdUtCi tdt解 以、作為中間變量， 列寫該回路的微分方程，則選)(,21tuxixc212211)()(xtuxxCtuxxLxRc 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型3)(1)(11212211tuxyxCxtuLxLxLRxc21212

4、110)(01011-xxytuLxxCLLRxx向量的形式為：寫成矩陣整理得到：整理得到：x)(xxCytBuA 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型4例例1 設(shè)有一質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。設(shè)有一質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。F(t)為輸入力，為輸入力， y(t)為質(zhì)量為質(zhì)量塊的輸出位移。塊的輸出位移。)()()(.)()(.)()(2tFtkytyftymdtydmtyftkytF 解：解：)()()(.)()(.)()(2tFtkytyftymdtydmtyftkytF 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機

5、電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型5)()(1txty選)()(2txty)2).(1)()()() 1.(.).()(21tFmtymktymftxtytx121221)(1xytFmxmfxmkxxx則有： 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型621212101)(1010 xxytFmxxmfmkxx寫成矩陣的形式：x)(xxCytBuA 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型7x)(xxCytBu

6、A輸入方程: 系統(tǒng)的輸入量與中間變量之間的函數(shù)關(guān)系系統(tǒng)的輸入量與中間變量之間的函數(shù)關(guān)系輸出方程: 系統(tǒng)的輸出量與中間變量之間的函數(shù)關(guān)系系統(tǒng)的輸出量與中間變量之間的函數(shù)關(guān)系 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型8狀態(tài)空間表示法的基本概念狀態(tài)變量狀態(tài)變量狀態(tài)向量狀態(tài)向量狀態(tài)空間狀態(tài)空間狀態(tài)方程狀態(tài)方程l狀態(tài)：表征系統(tǒng)運動的信息和行為l狀態(tài)變量：能完全表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量由狀態(tài)變量構(gòu)成的向量x1(t)x2(t) :xn(t)以各狀態(tài)變量x1(t), x2(t), , xn(t)為坐標(biāo)軸組成的幾維空間。由

7、系統(tǒng)的狀態(tài)變量與輸入變量之間的關(guān)系構(gòu)成的一階微分方程組。T123( )( ),( ),( ). ( )nXtx tx tx tx t 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型9狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程和輸出方程的總和即稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。它構(gòu)成對一個系統(tǒng)動態(tài)行為的完整描述。DuCxyBuAxtx)( y : 輸出向量 u : 輸入向量 A : 系數(shù)矩陣 B : 控制矩陣（輸入矩陣） C : 輸出矩陣D : 直接矩陣 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)

8、空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型10rmrrmmrnrrnnnmnnmmnnnnnnrmndbddbddddDcccccccccCbbbbbbbbbBaaaaaaaaaAyyyyuuuuxxxx211222111211211222111211211222111211211222111211212121, 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型11狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖一、模擬結(jié)構(gòu)圖一、模擬結(jié)構(gòu)圖 用來反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，用來反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，對建立系

9、統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式很有幫助。對建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式很有幫助。 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型12二、繪制步驟二、繪制步驟1、根據(jù)所給的輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器、比例器和狀態(tài)變、根據(jù)所給的輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器、比例器和狀態(tài)變量；量；2、積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量個數(shù)，將他們畫在適當(dāng)?shù)奈恢?，、積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量個數(shù)，將他們畫在適當(dāng)?shù)奈恢?，每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量3、最后根據(jù)所給的狀態(tài)方程用箭頭將這些元件連接起來。、最后根據(jù)所給的狀態(tài)方程用箭

10、頭將這些元件連接起來。 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型13例：畫出一階標(biāo)量微分方程 的系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)框圖：buaxx 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型14例1-3：畫出三階微分方程 的模擬框圖：上式可改成： xaxaxabux012 其模擬結(jié)構(gòu)圖如下：buxaxaxax012 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型15同樣，已知狀態(tài)空間表達(dá)式，也

11、可畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，下圖是下列三階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型16狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（系統(tǒng)的實現(xiàn)）狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（系統(tǒng)的實現(xiàn)） 用狀態(tài)空間分析系統(tǒng)時，首先要建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。建立表達(dá)式的三個方法如下：1由系統(tǒng)框圖（傳遞函數(shù)方塊圖）來建立；2從系統(tǒng)的物理或化學(xué)的機理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；3由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型17（一）

12、從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式（一）從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 3 3、根據(jù)、根據(jù)系統(tǒng)的實系統(tǒng)的實際連結(jié)，際連結(jié)，寫出相應(yīng)寫出相應(yīng)的狀態(tài)空的狀態(tài)空間表達(dá)式間表達(dá)式2.把每個把每個積分器的積分器的輸出選作輸出選作為一個狀為一個狀態(tài)變量態(tài)變量xi1.1.將系統(tǒng)將系統(tǒng)框圖的各框圖的各個環(huán)節(jié)變個環(huán)節(jié)變換成相應(yīng)換成相應(yīng)的模擬結(jié)的模擬結(jié)構(gòu)圖構(gòu)圖 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型18例例1-4 系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖所示，輸入為系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖所示，輸入為u，輸，輸出為出為y。試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。試求其

13、狀態(tài)空間表達(dá)式。 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型19從圖可知1111141313322222233111xyuTKxTKKxTxxTKxTxxTKx狀態(tài)方程輸出方程 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型20 xyuTKxTTKKTKTTKx0010010100011114122233 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型21 建立小車-倒立擺系統(tǒng)

14、的狀態(tài)空間模型。假設(shè)小車和擺僅在一個平面內(nèi)運動，忽略磨擦及空氣阻力。解：建立小車水平方向上建立平衡方程ulydtdmdtydM)sin(2222）（1sincos)(2umlmlymM 在垂直方向上，建立小球的平衡方程sincosmgma)2(sincossincoscos22mgmlmlym （二）從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式（二）從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型22mgmlymumlymM )(假設(shè) 很小， 。因此，上面兩個式子可化簡為：和1cos,0sinuMl

15、MlgMmuMMmgy1)(1 選擇狀態(tài)變量：4321,xxyxyx建立狀態(tài)空間表達(dá)式 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型234321432143210001/10/100/)(0010000/000010 xxxxyuMlMxxxxMlgMmMmgxxxx4321432143210001101001100100001000010 xxxxyuxxxxxxxx設(shè) M = 1，m = 0.1，l = 1 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)

16、空間模型（三）高階微分方程出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式（三）高階微分方程出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式ubububyayayaymmmmnnn0) 1(1)(01) 1(1)(.（以輸入函數(shù)不含有導(dǎo)數(shù)項情況為例）ubyayayaynnn001)1(1)(.1. 選狀態(tài)變量 x 選各階導(dǎo)數(shù))1(21.,nnyxyxyx 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型2、建立關(guān)于 x 的方程方程ubxxxxaaaaxxxxnnnnnn01211210121000100000000010ubxaxaxaubyayayayyxxxxxxxnnn

17、nnnnnn0121100)1(110)()(12121, 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型CXxxxyn.0.01213、系統(tǒng)輸出方程 1210100000000010nnaaaaA0000bB0001C0000D 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型能控標(biāo)準(zhǔn)型A的對角線上方的元素均為1，最后一行為微分方程各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，其余為0，這樣的矩陣叫做友陣。B陣的特征：最下邊一行元素為單位陣，其余為0。系統(tǒng)的A B具有上述特征時，系

18、統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)型。122111010000001000000000, 0000101nnnnnAbaaaaac 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 系統(tǒng)的方程為 ，求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。uyyyy616116 能控標(biāo)準(zhǔn)型 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖能控性：是控制作用u(t)支配系統(tǒng)x(t)的能力 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)

19、空間模型不能控系統(tǒng)不能控系統(tǒng) 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型31（三）高階微分方程出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式（三）高階微分方程出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 n 階常系數(shù)微分方程（單入單出）ubububyayayaymmmmnnn0) 1(1)(01) 1(1)(. 首先將n 階常系數(shù)微分方程通過拉氏變換轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)：微分方程拉氏變換傳遞函數(shù) G(s) 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型32110110,1()1()(.)()().(

20、)()nnnnnnnmnmZsUsSaSaSZsaSZsaZsUs設(shè)110110(.)( )( )( )( )/ ( )(.)( )( )mmmmnnnb Sb SbY sZ sG sY s U sSa SaZ s U s 110110(.)( )( )( )( )/ ( )(.)( )( )mmmmnnnbSb SbY s ZsGsY s UsSa SaZs Us 110110,1()1()(. . .)()(). . .()()nnnnnnnmnmZsUsSaSaSZsaSZsaZsUs設(shè))2(.)()(012211bSbSbSbsZsYnnnn(1)一、直接法一、直接法 1狀狀態(tài)態(tài)空空間

21、間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型33拉氏反變換拉氏反變換1210)1(1)(,.,.nnnnnzxzxzxuzazaz110110,1()1()(. . .)()(). . .()()nnnnnnnmnmZsUsSaSaSZsaSZsaZsUs設(shè)1210)1(1)(,.,.nnnnnzxzxzxuzazaz(1)uxxxaaaxxxnnn1001000102111021 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型34112,nnxz xz xz其 中

22、)2(.)()(012211bSbSbSbsZsYnnnn)()(.)()()(012211sZbsSZbsZSbsZSbsYnnnn拉氏反變換nnxxxbbbCxy21110zbzbzbzbynnnn01)2(2)1(1.1021121.xbxbxbxbynnnn所以由于 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型35nnxxxbbbCxy2111001021121)()()(asasbsbsbsUsYsGnnnnnnnuxxxaaaBuAxxnn10010001021110能控標(biāo)準(zhǔn)型 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4

23、廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型3610642231494)(2323SSSSSSsG解：解：（1）解決分母比分子高一階10642322)(232SSSSSsG將分母最高次冪變?yōu)?)(5322321)(2)()()(53223212)(232232suSSSSSsusYsusYSSSSSsG 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型37（2）直接應(yīng)用公式)(221123100235100010221321321tuxxxyuxxxxxx即 y = Cx + Du

24、D為直接矩陣，輸入對輸出的直接作用 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型38二、串聯(lián)法二、串聯(lián)法1219884)(23sssSsG已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)空間表達(dá)式。48431111219884)(23sssssssssG解：系統(tǒng)模擬框圖如下： 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型39分別寫出每個一階環(huán)節(jié)的狀態(tài)方程1111xyuxx 222223xyuxx 333333484uxyuxx 消去中間變量23233122114843x

25、xyxxxxxxuxx3221uyuy 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型40321321321840001410031001xxxyuxxxxxx則狀態(tài)空間表達(dá)式為：系統(tǒng)的模擬框圖為： 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型41二、并聯(lián)法二、并聯(lián)法)()()()()()(21nssssMsGsUsY), 2 , 1(niinnscscsc2211ci 可通過拉氏變換求留數(shù)niiisc1)()(1sUscsYniii)(limics

26、sGisi 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型42輸入與狀態(tài)變量的關(guān)系輸出與狀態(tài)變量的關(guān)系)2()()() 1 ()(1)(1sxcsYsUssxiniiii)()(1sUscsYniii將 拆分為2部分分別進(jìn)行拉氏逆變換，求解狀態(tài)空間表達(dá)式 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型43由) 1 ()(1)(sUssxii反變換：uxxuxxuxxuxxnnniii.222111得)()()(sUsxssxiii 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間

27、2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型44由) 1 ()(1)(sUssxii反變換：uxxuxxuxxuxxnnniii.222111得即：)()()(sUsxssxiiiuxxxxxxnnn111212121 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型45)2()()(1niiisxcsYnnniiixxxccctxcty21211,)()(輸出方程拉氏逆變換 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

28、控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型46)()()()()()(21nssssMsGsUsYnnniiixxxccctxcty21211,)()(uxxxxxxnnn111212121 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型47解耦系統(tǒng)圖形解耦系統(tǒng)圖形特點：n個子系統(tǒng)互不相關(guān)，都是獨立的，即解耦系統(tǒng) 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型4861166)(23ssssG3,6, 33,2, 1321321cccuxxxxxx1113000200013

29、21321321363xxxy33261361166)(23sssssssG 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型49多輸入、多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn)多輸入、多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn) 一雙輸入一雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微積分方程為：現(xiàn)采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項求解：對每一個方程積分： 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型50多輸入、多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn)多輸入、多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn) 1狀狀態(tài)態(tài)空空間間 2 3 4

30、廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型51狀態(tài)空間表達(dá)式？狀態(tài)空間表達(dá)式？ 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型52傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間模型間的轉(zhuǎn)換)()()(sUsYsG現(xiàn)代控制理論：現(xiàn)代控制理論： 引入了狀態(tài)變量，采用狀態(tài)空間來表述系統(tǒng)的輸入引入了狀態(tài)變量，采用狀態(tài)空間來表述系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系。輸出之間的關(guān)系。G(s)ABCD?經(jīng)典控制理論：經(jīng)典控制理論： 傳遞函數(shù)為單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在零初始傳遞函數(shù)為單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，

31、在零初始條件下：條件下：狀態(tài)空間表狀態(tài)空間表達(dá)式唯一么達(dá)式唯一么? 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型53如圖所示如圖所示R-L-C電路，其中電壓電路，其中電壓u(t)為電路的輸入量，電容為電路的輸入量，電容上的電壓上的電壓uc(t)為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的關(guān)系。的關(guān)系。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)輸入輸出:( )( )( )Ri( )( )( )( )( )ccci tutdi ttLUtu tdtdUtCi tdt解

32、以、作為中間變量， 列寫該回路的微分方程，則選)(,21tuxixc21212110)(01011xxytuLxxCLLRxx 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型54如圖所示如圖所示R-L-C電路，其中電壓電路，其中電壓u(t)為電路的輸入量，電容為電路的輸入量，電容上的電壓上的電壓uc(t)為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間為電路的輸出量，求該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的關(guān)系。的關(guān)系。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)輸入輸出:( )( )( )Ri( )( )( )( )( )cc

33、ci tutdi ttLUtu tdtdUtCi tdt解 以、作為中間變量， 列寫該回路的微分方程uLCuLCdtduLRdtudccc1122將下式代入上式：uLCxLRxLCuxxxuxuxccc1-1-,2122121 則選擇 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型5521212101)(10-1-10 xxytuLxxLRLCxx為：因此，狀態(tài)空間表達(dá)式21212110)(01011xxytuLxxCLLRxxccuxux21,狀態(tài)變量選擇cuxix21,狀態(tài)變量選擇 2狀狀態(tài)態(tài)空空間

34、間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型56狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(s)DC,B,(A,)D,C,B,A(? A, B, C, Duxyxx 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型57xxxx1T,T則令uxxBA對于uxxuxxTuxxxBATBTATBATT111：同乘uxuxuxyDCDCTDC1DD CTC TBBTATA11，由此得到：)DC,B,(A,)D,C,B,A(T 2狀狀態(tài)態(tài)空空間

35、間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型58例題：考慮以下狀態(tài)空間模型xyuxx2110011321選變換矩陣1-1-11-T則1-11-1-21T1 -，通過變換得到：2/32/11-11-1-2121CTC1-1-11-10011-1-11-TBB21/12/32/72/11-11-1-1-3-211-1-11-21TATA11 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型這里的問題是如

36、何將 變換為：59有重根時無重根時 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型1.系統(tǒng)特征值系統(tǒng)預(yù)備知識系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程的根：方陣 A 且有 n 個特征值系統(tǒng)特征值的不變性60 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型一個 維矢量 ：經(jīng)過以 作為變換陣的變換，得到一個新的矢量矢量 經(jīng)過線性變換后，方向不變，僅長度變化 倍，則稱 為 的對應(yīng)于 （特征值）的特征向量，此時有系統(tǒng)

37、矩陣 A 的特征向量61P35 例1-9 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型62系統(tǒng)當(dāng) A 陣的特征值無重根時，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)換矩陣 T 由 A 的特征矢量 構(gòu)成，即 證明),(21nPPPAAT),(2211nnPPPnnPPP00),(2121nT0021nATT11有重根P38 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型63由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣 G(s)DuCxyBuAx

38、x 拉氏變換：)()()()()()()()()()()()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssxsDusCxsYsBusAxssxG(s)ABCD? 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型64)()()()()()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssx由上式得：由于)()()(1sDusBuAsICDuCxsY1( )( )( )Y sG sC sIABDu s意義：建立現(xiàn)代與經(jīng)典的關(guān)系，從現(xiàn)代的狀態(tài)方程的ABCD可求出傳遞函數(shù)G(s)則)()()()(

39、)()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssx)()()()()()()(1sBuAsIsxsBusxAsIsBusAxssx 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型651010 B=020110 001ACD例 1.7 已 知0101000202sssIAss 解：解：例求傳遞函數(shù) 2狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的線線性性變變換換 1 3 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型6611AsIAsIAsI201100102ssss102

40、011011(1)(2)02ssssss 1100101011( )0110110022ssG sss多輸入多輸多輸入多輸出系統(tǒng)的傳出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)遞函數(shù) P44 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型67狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(s)DC,B,(A,)D,C,B,A(T 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型68等價的狀態(tài)空間模型是否有相同的傳遞函數(shù)？)DC,B,(A,)D,C,B,

41、A(T假設(shè)：DBAsICsG1)(則：DTBTATsICTsG111)(根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系：DBTTATsITC111)(DBAsIC1)(sG 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型69系統(tǒng)的特征方程和特征根1( ) G sC SIABDsIACBDsIAC sIA BsIA DsIA系統(tǒng)的特征方程為 | sI - A | = 0 傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)矩陣A的特征值。系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換（線性變換），特征值不變 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第

42、一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式對比連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)用微分方程來表示，采用拉普拉斯變換傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)用差分方程來描述，用Z變換脈沖傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式可離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式可通過差分方程或脈沖傳遞函數(shù)通過差分方程或脈沖傳遞函數(shù) 70 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 離散系統(tǒng)的信號采用數(shù)字形式，輸入和輸出都是脈沖序列或數(shù)字序列。計算機控制系統(tǒng)屬離散系統(tǒng)。71 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1

43、2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型差分方程和脈沖傳遞函數(shù)線性定常離散系統(tǒng)可用 n 次差分方程表示：01110111)()()(azazazbzbzbzbzuzYzGnnnmmmm脈沖傳遞函數(shù)：)()(),()(1TzxkxZzxzmkxZm ，由設(shè));, 1 , 0()() 1()()() 1()(0101mnnkkTubTnkubTmkubkTyaTnkyaTnkymmn72 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)方程的建立1、由

44、差分方程設(shè) T = 1, 輸入僅有 u( kT )項，b0=1, 則整個方程可以寫為： y(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k) = u(k) 設(shè) x1(k) = y(k), x2(k) = y(k+1) , x3(k) = y(k+2). xn(k) = y(k+n-1) x1(k+1) = y(k+1) = x2(k) x2(k+1) = y(k+2) = x3(k) xn-1(k+1)= y(k+n-1)= xn(k) xn(k+1) = y(k+n) = -a0 x1(k)-a1 x2(k)-an-1xn(k)+u(k)73 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2

45、4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型) 1() 1() 1() 1(121kxkxkxkxnn)(1000)()()()(100001000010121110kukxkxkxkxaaannn)()()(001)()(211kxkxkxkxkyn)()()()()()()()()() 1(kukDkxkCkykukHkxkGkx向量矩陣形式74 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型離散系統(tǒng)方塊圖離散系統(tǒng)方塊圖75 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)

46、態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為：式中 的求法，類似于1.4節(jié)中式(34)求 的計算公式，即：76 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型例1.9：已知離散系統(tǒng)的差分方程為試寫出其狀態(tài)方程和輸出方程 。112233(1)( )0100(1)001( )0( )6521(1)( )x kx kx kx ku kx kx k 解：)()()(001)()(321kxkxkxkxky)()(

47、6)1(5)2(2)3(kukykykyky77 3離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間 1 2 4廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型例1.10 已知輸入如下123( )( )( )623( )( )x ky kx kx kx k則，輸出為：)(6)1(2)2(3)(6)1(5)2(2)3(kukukukykykyky78 4時時變變非非線線性性系系統(tǒng)統(tǒng) 1 2 3廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 線性定常系統(tǒng)，其特征是它的狀態(tài)空間表達(dá)式中的A、B、C、D 等矩陣的元素固定不變，與輸入

48、、輸出或者時間無關(guān)。線性時變系統(tǒng)有：時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式79 4時時變變非非線線性性系系統(tǒng)統(tǒng) 1 2 3廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型非線性系統(tǒng) 非線性的動態(tài)特性是用如下的n個一階微分方程組描述的：用矢量矩陣表示，則為：80式中， 為矢量函數(shù)； 4時時變變非非線線性性系系統(tǒng)統(tǒng) 1 2 3廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 如果我們只局限于考察輸入 偏離 為 時，對應(yīng)于它， 也偏離 也偏離 時的行為，則可以通過對系統(tǒng)的一次近似而予以線性化。為此，將 附近作泰勒級數(shù)展開： 4時時變變非非線線性性系系統(tǒng)統(tǒng) 1 2 3廈門大學(xué)機電系廈門大學(xué)機電系 第一章第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型它們分