第4章參數(shù)估計

1、 主講：孟麗麗主講：孟麗麗機械工程學院工業(yè)工程系機械工程學院工業(yè)工程系E_mail：Applied Statistics第一章第一章 數(shù)據(jù)與統(tǒng)計學數(shù)據(jù)與統(tǒng)計學第二章第二章 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的描述第三章第三章 概率、概率分布與概率、概率分布與抽樣分布抽樣分布第五章第五章 假設檢驗假設檢驗第六章第六章 方差分析與試驗設計方差分析與試驗設計第七章第七章 相關與回歸分析相關與回歸分析第四章第四章 參數(shù)估計參數(shù)估計第八章第八章 時間序列分析時間序列分析與預測與預測第四章第四章 緒緒 論論4.1 參數(shù)估計的一般問題參數(shù)估計的一般問題 4.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3 兩個總

2、體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.4 樣本容量的確定樣本容量的確定學習目標學習目標估計量與估計值的概念估計量與估計值的概念點估計與區(qū)間估計的區(qū)別點估計與區(qū)間估計的區(qū)別評價估計量優(yōu)良性的標準評價估計量優(yōu)良性的標準一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法樣本容量的確定方法樣本容量的確定方法4.1參數(shù)估計一般問題參數(shù)估計一般問題 參數(shù)估計是用參數(shù)估計是用樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量去估計去估計總體參數(shù)總體參數(shù)。比。比如，用樣本均值估計總體均值，用樣本方差估計總?cè)?，用樣本均值估計總體均值，用樣本方差估計總體方差，用樣本比例估計總體比例等。

3、體方差，用樣本比例估計總體比例等。4.1參數(shù)估計一般問題參數(shù)估計一般問題4.1.1 估計量與估計值估計量與估計值n 估計量：用于估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量估計量：用于估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量 如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值，樣本比率、樣本方差等 例如例如: : 樣本均值就是總體均值樣本均值就是總體均值u u的一個估計量的一個估計量n 參數(shù)用參數(shù)用 表示，估計量表示，估計量用用 表示表示n 估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值例如例如：如果樣本均值：如果樣本均值 x =80 x =80，則，則8080就是就是u的估計值。的估計值。4.1參數(shù)估計一

4、般問題參數(shù)估計一般問題4.1.2 點估計與區(qū)間估計點估計與區(qū)間估計n 點估計：用樣本的估計量作為總體參數(shù)的估計值點估計：用樣本的估計量作為總體參數(shù)的估計值 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計 例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計差的估計n 沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息以樣本統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的一個估計值以樣本統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的一個估計值)(xg例：例：xxni1222)(11sxxni樣本觀測值樣本觀測值點估計舉例點估計舉例4.1參數(shù)估計一般問題參數(shù)估

5、計一般問題4.1.2 點估計與區(qū)間估計點估計與區(qū)間估計n 區(qū)間估計：以一定的置信度對參數(shù)可能取值范圍的估計區(qū)間估計：以一定的置信度對參數(shù)可能取值范圍的估計n 在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量加減加減誤差范圍誤差范圍而得到的。而得到的。區(qū)間估計區(qū)間估計 以一定的置信度對參數(shù)可能取值范圍的估計以一定的置信度對參數(shù)可能取值范圍的估計ttP-1=)(211 - ：置信度（置信水平）：置信度（置信水平）t1, t2：置信區(qū)間：置信區(qū)間t1、t2：置信限（置信下限、置信上限）：置信限（置信下限、置信上限

6、）求統(tǒng)計量求統(tǒng)計量 t1和和 t2 ，使得對于給定的，使得對于給定的 (0 1，常用，常用 =0.05或或 =0.01)，有，有a/2a/22t1t1-a4.1參數(shù)估計一般問題參數(shù)估計一般問題4.1.2 點估計與區(qū)間估計點估計與區(qū)間估計n 區(qū)間估計區(qū)間估計例如：某班級平均分數(shù)在例如：某班級平均分數(shù)在75758585之間，置信水平是之間，置信水平是95% 95% 正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計nzxnzP-1=)+(22),(2nNxznxzPa-1=)(22當當 2已知已知標準正態(tài)分布兩標準正態(tài)分布兩尾概率分位點尾概率分位點)1 , 0(Nxx -區(qū)間估計區(qū)間估計a/2a/2

7、2z2z-1-a0總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為nzx 2 正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計當當 2未知，且為小樣本時未知，且為小樣本時區(qū)間估計區(qū)間估計)1 , 0(Nxx -)1()1(222-nsn)1( t=)1()1(22-nsxnsxnsnxxxtsxtPx-1=)(22t t分布兩尾概分布兩尾概率分位點率分位點stxstxP-nn-1=)+(22 正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計區(qū)間估計區(qū)間估計當當 2未知，且為小樣本時未知，且為小樣本時 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計正態(tài)總體方差的區(qū)間估計)1()1(222-nsn

8、snP-1=)1(2222221-1) 1-() 1-(22122222snsnP 2分布上尾概分布上尾概率分位點率分位點 /2 /21 - 22221 -4.1 參數(shù)估計一般問題參數(shù)估計一般問題4.1.3 置信水平與置信區(qū)間置信水平與置信區(qū)間n 置信水平置信水平 定義：將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信區(qū)間定義：將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平，包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平，表示為表示為(1-a)%(1-a)%。 a a是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比率，也稱為顯著性水平是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比率，也稱為顯著性水平。 常用的置信水

9、平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%99%, 95%, 90% 相應的相應的a a為為0.010.01，0.050.05，0.100.10。4.1參數(shù)估計一般問題參數(shù)估計一般問題4.1.3 置信水平與置信區(qū)間置信水平與置信區(qū)間n 置信區(qū)間置信區(qū)間 定義：由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱定義：由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間為置信區(qū)間 統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間影響區(qū)間寬度影響區(qū)間寬度 的因素的因素1.總體數(shù)據(jù)的離散程度，用總體數(shù)

10、據(jù)的離散程度，用 來測度來測度樣本容量樣本容量n，2.置信水平置信水平 (1 -)，影響，影響 z 的大小的大小nxnZZx2222關于區(qū)間估計的說法關于區(qū)間估計的說法 比如，為了估計某電視節(jié)目在觀眾中的支持率（即總體比如，為了估計某電視節(jié)目在觀眾中的支持率（即總體比例比例p），某調(diào)查結(jié)果會顯示，該節(jié)目的），某調(diào)查結(jié)果會顯示，該節(jié)目的“收視率為收視率為90%，誤差是誤差是3%，置信度為，置信度為95%” 。這這種說法意味著什么？。這這種說法意味著什么？ 1. 樣本中的支持率為樣本中的支持率為90%，即用樣本比例作為對總體比例的，即用樣本比例作為對總體比例的點估計。點估計。 2. 估計范圍為估計

11、范圍為90%3%(3%的誤差的誤差)，即區(qū)間，即區(qū)間(93%，87 %)。 3. 如用類似的方式，重復抽取大量（樣本量相同的）樣本時，如用類似的方式，重復抽取大量（樣本量相同的）樣本時，產(chǎn)生的大量類似區(qū)間中有些會覆蓋真正的產(chǎn)生的大量類似區(qū)間中有些會覆蓋真正的p，而有些不會；但，而有些不會；但其中大約有其中大約有95%會覆蓋真正的總體比例。會覆蓋真正的總體比例。關于區(qū)間估計的說法關于區(qū)間估計的說法 因此說因此說“我們目前得到的區(qū)間（比如上面的我們目前得到的區(qū)間（比如上面的90%3%）以概）以概率率0.95覆蓋真正的比例覆蓋真正的比例p”是個錯誤的說法。是個錯誤的說法。 這里的區(qū)間這里的區(qū)間(93

12、%，87%)是固定的，而總體比例是固定的，而總體比例p也是固定的也是固定的值。因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例，或者不包值。因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例，或者不包含；在固定數(shù)值之間沒有任何概率可言。含；在固定數(shù)值之間沒有任何概率可言。關于區(qū)間估計的說法關于區(qū)間估計的說法關于置信區(qū)間的注意點關于置信區(qū)間的注意點 前面提到，不要認為由前面提到，不要認為由某一樣本某一樣本數(shù)據(jù)得到總體參數(shù)的數(shù)據(jù)得到總體參數(shù)的某一某一個個95%置信區(qū)間，就以為置信區(qū)間，就以為該該區(qū)間以區(qū)間以0.95的概率覆蓋總體參數(shù)。的概率覆蓋總體參數(shù)。 置信度置信度95%僅僅描述用來構(gòu)造該區(qū)間上下界的僅僅描述用來

13、構(gòu)造該區(qū)間上下界的統(tǒng)計量統(tǒng)計量(是隨是隨機的機的)覆蓋總體參數(shù)的概率；覆蓋總體參數(shù)的概率； 也就是說，無窮次重復抽樣所得到的所有區(qū)間中有也就是說，無窮次重復抽樣所得到的所有區(qū)間中有95%包包含參數(shù)。含參數(shù)。4.1參數(shù)估計一般問題參數(shù)估計一般問題4.1.4 評價估計量的標準評價估計量的標準n 無偏性無偏性n 有效性有效性n 一致性一致性無偏性無偏性(unbiasedness)無偏性：無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù)估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù) 有效性有效性(efficiency)有效性：有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小標準對同一總體參數(shù)的兩個無

14、偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效差的估計量更有效 12一致性一致性(consistency)一致性：一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)被估計的總體參數(shù) 樣本均值樣本均值、樣本比例、樣本標準差樣本比例、樣本標準差： 無偏、有效、一致無偏、有效、一致 3、一致性、一致性(Consistency):當樣本容量增大時，估計量依概率收斂當樣本容量增大時，估計量依概率收斂于總體參數(shù)的真值。于總體參數(shù)的真值。 1、無偏性（、無偏性（Unbiasedness)：樣本估計量的均值等于被估總體樣本估計量的均值等于被估總體參數(shù)的真值；參數(shù)的

15、真值； 2、有效性、有效性(Efficiency):好的點估計量應具有較小的方差；好的點估計量應具有較小的方差；注：注：樣本二階中心矩樣本二階中心矩： 不具有無偏性不具有無偏性抽樣分布的性質(zhì)抽樣分布的性質(zhì) 無偏性與最小方差無偏性與最小方差nxxSii12*)(4.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示符號表示樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量均值均值比率比率方差方差2xp2s4.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.2.1 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計n 大樣本法（大樣本法（n=30n=30） 假定：總體服從正態(tài)分布或總體為大樣本假定：總體服從正態(tài)分布

16、或總體為大樣本 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z z)1 ,0(=Nnxz- 總體均值總體均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為)(22未未知知或或nszxnzx4.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.2.1 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計n 小樣本法小樣本法(n30)(n30) 假定：總體服從正態(tài)分布假定：總體服從正態(tài)分布, ,方差未知方差未知 使用使用t t分布統(tǒng)計量分布統(tǒng)計量 總體均值總體均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為)1(=-ntnsxtnstx 2t 分布分布 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分

17、布，它通常要比正態(tài)分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計( (例題分析例題分析) )【 例例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了量是否符合要求?，F(xiàn)

18、從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間

19、估計( (例題分析例題分析) )28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計( (例題分析例題分析) )3636個投保人年齡的數(shù)據(jù)個投保人年齡的數(shù)據(jù) 232335353939272736364444363642424646434331313333424253534545545447472424343428283939363644444040393949493838343448485050343439394545484845453232()63.41,37.37=13.25 .39=3677.7645.15

20、.39=2nszx5 .39=x77. 7=s總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計( (例題分析例題分析) )【例例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取中隨機抽取1616只，測得其使用壽命只，測得其使用壽命( (小時小時) )如下。建立該批如下。建立該批燈泡平均使用壽命燈泡平均使用壽命95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計( (例題分析例題分析) )總

21、體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計( (例題分析例題分析) )()2 .1503,8 .1476=2 .131490=1677.24131.21490=2nstx1490=x77.24=s4.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.2.2 總體比例的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計n 假定：總體服從二項分布假定：總體服從二項分布n 使用正態(tài)分布使用正態(tài)分布Z Z統(tǒng)計量統(tǒng)計量n 總體均值總體均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為)1 , 0()1(=Nnpz-)()-1()1(22未未知知時時或或nppzpnzp-總體比率的區(qū)間估計總體比率的區(qū)間估計( (例題分析

22、例題分析) )()%35.74%,65.55=%35.9%65=100%)651%(6596.1%65=)1(2-nppzp4.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.2.3 總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計n 假定：總體服從正態(tài)分布假定：總體服從正態(tài)分布n 使用樣本方差使用樣本方差S S2 2估計總體方差估計總體方差2 2n 總體方差總體方差 S2 2 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為()()11222-nsn()()()()111122122222-nsnnsn總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計( (圖示圖示) ) 2 2 2 21-1- 2 2

23、 總體方差總體方差1-1- 的置信區(qū)間的置信區(qū)間自由度為自由度為n n-1-1的的 2 2分布分布總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計( (例題分析例題分析) )【例例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了2525袋，測得每袋重量如下表所示袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%95%的置信水平建立的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間。該種食品重量方差的置信區(qū)間。2525袋食品的重量袋食品的重量 112.5112.5101.

24、0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.0 95.0108.8108.8115.6115.6100.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.4 95.4 97.8 97.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.4 98.4 93.3 93.3總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計( (例題分析例題分析) )解解: :已知已知n n2525，1-1- 95% ,95% ,

25、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 s s2 2 =93.21=93.21 2 2置信度為置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標準差的的置信區(qū)間為間為7.54g13.43g總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示符號表示樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量均值之差均值之差比率之差比率之差方差比方差比2121222121xx 21pp 2221ss4.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計

26、兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n 假定條件（獨立，大樣本）假定條件（獨立，大樣本） 兩個兩個總體都服從正態(tài)分布，總體都服從正態(tài)分布， 1 1、 2 2已知已知 若不是正態(tài)分布若不是正態(tài)分布, , 可以用正態(tài)分布來近似可以用正態(tài)分布來近似(n(n1 1 3030和和n n2 2 30)30) 兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個樣本是獨立的隨機樣本n 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z z)1 , 0(+)()(=2221212121Nnnxxz-兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計

27、 (大樣本大樣本)222121221+)(nnzxx-222121221+)(nsnszxx-兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析) )【例例】某地區(qū)教育委某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學員會想估計兩所中學的學生高考時的英語的學生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此平均分數(shù)之差，為此在兩所中學獨立抽取在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關兩個隨機樣本，有關數(shù)據(jù)如右表數(shù)據(jù)如右表 。建立。建立兩所中學高考英語平兩所中學高考英語平均分數(shù)之差均分數(shù)之差95%95%的置的置信區(qū)間信區(qū)間 兩個樣本的有關數(shù)據(jù)兩個樣本的有關數(shù)據(jù) 中學中學1 1中學中學2 2n1=46n1=33S1=5.8

28、 S2=7.2861x782x兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析) )97.10,03.5(=97.28=332.7+468.596.1)7886(=+)(22222121221-nsnszxx4.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n 假定條件（獨立，小樣本，假定條件（獨立，小樣本， 1= 2 ） 兩個兩個總體都服從正態(tài)分布總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知但相等：兩個總體方差未知但相等： 1= 2) ) 兩個獨立的小樣本兩個獨立的小樣本(n130和和n230)n 總體方差的合并估計

29、量總體方差的合并估計量2) 1() 1(212222112nnsnsnsp4.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n估計量估計量 x1- x2的抽樣標準差的抽樣標準差21221211nnsnsnspppn兩個樣本均值之差的標準化兩個樣本均值之差的標準化)2(11)()(21212121nntnnsxxtp4.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n兩個總體均值之差兩個總體均值之差 1- 2在在1- 置信水置信水平下的置信區(qū)間為平下的置信區(qū)間為21221221112nnsnntxxp兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析)

30、 )兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析) )解解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 合并估計量為：合并估計量為：兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.14分鐘分鐘7.26分鐘分鐘5 .321x996.1521s8 .282x358.1922s

31、677.1721212358.19) 112(996.15) 112(2ps56. 37 . 3121121677.170739. 2) 8 .285 .32(4.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n 假定條件（小樣本假定條件（小樣本, , 1 2 ） 兩個兩個總體都服從正態(tài)分布總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知且不相等：兩個總體方差未知且不相等： 1 12 2 兩個獨立的小樣本兩個獨立的小樣本(n30)(n30)n 使用統(tǒng)計量使用統(tǒng)計量)()()(2221212121vtnsnsxxt4.3.1 兩個總體均值之差

32、的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n兩個總體均值之差兩個總體均值之差 1- 2在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv自由度自由度兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析) )沿用前例。假定第一種方法隨機安排沿用前例。假定第一種方法隨機安排1212名工人，第二種方名工人，第二種方法隨機安排名工人，即法隨機安排名工人，即n n1 1=12=12，n n2 2=8 =8 ，所得的有關數(shù)據(jù)如表。假定，所得的有關數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且

33、方差不相等。以兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%95%的的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間 兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析) )解解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 自由度為：自由度為：兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置

34、信區(qū)間為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.192分鐘分鐘9.058分鐘分鐘5 .321x996.1521s875.272x014.2322s13188.13188014.2311212996.158014.2312996.15222v433. 4625. 48014.2312996.151604. 2)875.275 .32(4.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n 假定條件（匹配大樣本）假定條件（匹配大樣本） 兩個匹配的大樣本兩個匹配的大樣本(n1(n1 3030和和n2 n2 3030） 兩個總體各

35、觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布n 兩個總體均值之差兩個總體均值之差 d =d = 1-1- 2 2在在1-1- 置信水平下的置信區(qū)置信水平下的置信區(qū)間為間為nzdd2對應差值的均值對應差值的均值對應差值的標準差對應差值的標準差4.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計n 假定條件（匹配小樣本）假定條件（匹配小樣本） 兩個匹配的小樣本兩個匹配的小樣本(n1(n1 3030和和n2 n2 30 30 ） 兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布n 兩個總體均值之

36、差兩個總體均值之差 d =d = 1-1- 2 2在在1-1- 置信水平下的置信區(qū)置信水平下的置信區(qū)間為間為對應差值的均值對應差值的均值對應差值的標準差對應差值的標準差nsntdd) 1(2兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析) )由由10名學名學生組成一個隨機樣生組成一個隨機樣本，讓他們分別采本，讓他們分別采用用A和和B兩套試卷兩套試卷進行測試，結(jié)果如進行測試，結(jié)果如下表下表 。試建立兩。試建立兩種試卷分數(shù)之差種試卷分數(shù)之差 d= 1- 2 95%的置的置信區(qū)間信區(qū)間 10名學生兩套試卷的得分名學生兩套試卷的得分 學生編號學生編號試卷試卷A試卷試卷B差值差值d1

37、7871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計( (例題分析例題分析) )解解: : 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為6.33分分15.67分分11101101dniindd53. 61)(12dniidndds67. 4111053. 62622. 211) 1(2nsntdd4.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3.2 兩個總體比例之差的區(qū)間估計兩個總體比例之差的區(qū)間

38、估計n 假定條件（大樣本）假定條件（大樣本） 兩個兩個總體服從二項分布，可以用正態(tài)分布來近似總體服從二項分布，可以用正態(tài)分布來近似 兩個樣本是獨立的兩個樣本是獨立的n 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z z 兩個總體比率之差兩個總體比率之差 - - 在在1-1- 置信水平下的置信區(qū)間置信水平下的置信區(qū)間()222111221)1 (+)1 (nppnppzpp-兩個總體比率之差的估計兩個總體比率之差的估計( (例題分析例題分析) )【例例】在某個電視節(jié)在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機調(diào)查了農(nóng)村隨機調(diào)查了400400人人，有，有32%32%的人收看了該的人收看了該節(jié)目

39、；城市隨機調(diào)查節(jié)目；城市隨機調(diào)查了了500500人，有人，有45%45%的人的人收看了該節(jié)目。試以收看了該節(jié)目。試以90%90%的置信水平估計城的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間的置信區(qū)間 兩個總體比率之差的估計兩個總體比率之差的估計 ( (例題分析例題分析) )解解: : 已知已知 n n1 1=500 =500 ，n n2 2=400=400， p p1 1=45%=45%， p p2 2=32%=32%， 1-1- =95%=95%， z z /2/2=1.96=1.96 1 1- - 2 2置信度為置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率

40、差值的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.3%6.68%19.3%32.19,%68. 6%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%454.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4.3.3 兩個總體方差比的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計212221222122221FssFss-),(1=),(1222121nnFnnF-n比較兩個總體的方差比比較兩個總體的方差比n用兩個樣本的方差比來判斷用兩個樣本的方差比來判斷 如果如果S12/ S22接近于接近于1，兩個總體方差很接近，兩個總體方差很接近 如果如果S12/ S22遠離遠離1，兩個總體方差之間存在差異，兩個總體方差之間存在差異n總體方差比在總體方差比在1- 置信水平下的置信區(qū)間為置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體方差比的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計( (圖示圖示) )