第5章 桿系結(jié)構(gòu)單元

1、第四章第四章 桿系結(jié)構(gòu)單元桿系結(jié)構(gòu)單元 本章主要內(nèi)容是：本章主要內(nèi)容是： 結(jié)構(gòu)離散為單元的有關問題結(jié)構(gòu)離散為單元的有關問題 單元（局部）坐標系和結(jié)構(gòu)（整體）坐標系單元（局部）坐標系和結(jié)構(gòu)（整體）坐標系 單元坐標系中各類桿件單元的特性：單元剛度單元坐標系中各類桿件單元的特性：單元剛度 矩陣、等價節(jié)點力矩陣等。矩陣、等價節(jié)點力矩陣等。 結(jié)構(gòu)坐標系中的單元特性及坐標變換矩陣。結(jié)構(gòu)坐標系中的單元特性及坐標變換矩陣。 桿系結(jié)構(gòu)是由一些桿件單元組成。主要結(jié)構(gòu)類桿系結(jié)構(gòu)是由一些桿件單元組成。主要結(jié)構(gòu)類型有：梁、拱、框架、桁架等，如圖（型有：梁、拱、框架、桁架等，如圖（4-1）所示。）所示。 圖（圖（4-1）

2、梁梁拱拱框架框架桁架桁架 2、編號、編號 （1）節(jié)點編號）節(jié)點編號 節(jié)點編號應按正整數(shù)不間斷逐點編號。編號時節(jié)點編號應按正整數(shù)不間斷逐點編號。編號時應力求單元兩端點號差最小，以便使結(jié)構(gòu)剛度矩陣應力求單元兩端點號差最小，以便使結(jié)構(gòu)剛度矩陣元素集中在主對角線附近，后面結(jié)構(gòu)剛度矩陣組集元素集中在主對角線附近，后面結(jié)構(gòu)剛度矩陣組集中有詳細說明。中有詳細說明。4.1 結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散 1、離散方法、離散方法 取桿件與桿件交點、集中力作用點、桿件與支取桿件與桿件交點、集中力作用點、桿件與支承的交點為節(jié)點。承的交點為節(jié)點。 相鄰兩節(jié)點間的桿件段是單元。相鄰兩節(jié)點間的桿件段是單元。 桿件結(jié)構(gòu)的單元一般只有桿件

3、結(jié)構(gòu)的單元一般只有2個節(jié)點。個節(jié)點。 （2）單元編號）單元編號 單元也要逐個依次編號。誰前誰后按實際情況單元也要逐個依次編號。誰前誰后按實際情況而定。而定。 3、記錄基本信息、記錄基本信息 應建立一個數(shù)據(jù)文件（應建立一個數(shù)據(jù)文件（DATA.*）基本信息來記錄）基本信息來記錄基本信息，以便計算時調(diào)用?；拘畔ǎ夯拘畔ⅲ员阌嬎銜r調(diào)用?；拘畔ǎ?（1）單元總數(shù)（）單元總數(shù)（NE）、節(jié)點總數(shù)（）、節(jié)點總數(shù)（NJ）、節(jié)點自由）、節(jié)點自由度數(shù)（度數(shù)（NDF）。）。 （2）彈性模量（）彈性模量（E）、波桑系數(shù)（）、波桑系數(shù)（AMU）。）。 （3）單元）單元I端節(jié)點號端節(jié)點號IO（NE）、）、

4、J端節(jié)點號端節(jié)點號JO（NE） （4）有約束的節(jié)點數(shù)（）有約束的節(jié)點數(shù)（ NRJ ）、有約束的節(jié)點號）、有約束的節(jié)點號（KRJ(NRJ)）、受約束的自由度（）、受約束的自由度（KRL(NDF,NRJ)）。）。 （5）單元截面面積（）單元截面面積（A）、截面慣性矩（）、截面慣性矩（ZI） （6）節(jié)點坐標：）節(jié)點坐標：X(NJ)、Y(NJ) （7）分布力荷載集度）分布力荷載集度qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE) （8） 受集中力作用的節(jié)點數(shù)（受集中力作用的節(jié)點數(shù)（MJL）、受集中力作）、受集中力作用的節(jié)點號（用的節(jié)點號（NJL（MJL）、集中力數(shù)值（）、集中力數(shù)值（VJL（NDF，MJL

5、）。）。 DATA.FRA(1) NE、NJ、NDF 25, 18, 3(2）E、AMU 3.25e7, 0.15 (3）IO（NE）、）、JO（NE） 1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16, 2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17, 3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,11,11, 12, 13,14, 14,15, 16,17, 17,18(4）NRJ 、KRJ(NRJ)、（、（KRL(NDF,NRJ)）3，1,2,3,9*1A(NE)、ZI(NE)X(NJ

6、)、Y(NJ)qx(NE)、qyi(NE)、qyj(NE)(8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL)數(shù)據(jù)填寫順序應和程序?qū)獢?shù)據(jù)填寫順序應和程序?qū)=10kN/m 4、示例、示例6.0m5.0m3.0m3.0m3.0m3.0m4.0m123456789101112131415161718(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)XY練習練習 對平面鉸接桁架進行結(jié)構(gòu)離散，并作出數(shù)據(jù)文件。對平面鉸接桁架進行結(jié)構(gòu)離散，并作出數(shù)據(jù)文件。44

7、m3mP1P2P3已知：已知：E=2.1109kN/m2 P1=P3=10kN, P2=50kN, 15cm2 (斜桿）斜桿） A = 65cm2 (上下弦桿）上下弦桿） 40cm2 (豎桿）豎桿） 4.2 單元（局部）坐標系單元（局部）坐標系 桿系結(jié)構(gòu)單元在結(jié)構(gòu)中的位置是復雜的。如圖桿系結(jié)構(gòu)單元在結(jié)構(gòu)中的位置是復雜的。如圖（4-1）桁架所示。）桁架所示。 XYP圖（圖（4-1） 如果每一個單元都在統(tǒng)一的整體坐標系如果每一個單元都在統(tǒng)一的整體坐標系XY中寫中寫單元剛度矩陣。可能導致結(jié)構(gòu)中處于不同位置的同單元剛度矩陣。可能導致結(jié)構(gòu)中處于不同位置的同一類型單元，其單元剛度矩陣不相同。這不利于計一類

8、型單元，其單元剛度矩陣不相同。這不利于計算機編程運算。算機編程運算。 桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有型。它們都只有2個節(jié)點個節(jié)點i、j。 約定：約定：單元坐標系的原點置于節(jié)點單元坐標系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點；節(jié)點i到到j的的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。軸的正向。 y軸、軸、z軸都與軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則（圖軸垂直，并符合右手螺旋法則（圖4-2）（圖（圖4-2）ijxyz 容易理解，采用適合于單元具體方位的坐標系將容易理解，采用適合于單元具體方位的坐標系將會改善上述狀況

9、，得出規(guī)格化的結(jié)果。這種屬于每個會改善上述狀況，得出規(guī)格化的結(jié)果。這種屬于每個單元的坐標系稱為單元坐標系，也稱單元的坐標系稱為單元坐標系，也稱局部坐標系局部坐標系。 為了便于對單元坐標系中的單元特性進行識別，為了便于對單元坐標系中的單元特性進行識別，引入以下符號：引入以下符號：e單元坐標單元位移單元坐標單元位移 F e單元坐標單元力單元坐標單元力 ke單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 單元的單元的2個節(jié)點中取任何一個作為個節(jié)點中取任何一個作為i均可，只要均可，只要指定好指定好i節(jié)點和節(jié)點和j節(jié)點，節(jié)點， x軸的正向就確定了。軸的正向就確定了。 對于梁單元，對于梁單元， y軸和軸和z軸分

10、別為橫截面上的兩個軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。慣性主軸。 下面，開始討論幾種桿系結(jié)構(gòu)單元在單元坐標下面，開始討論幾種桿系結(jié)構(gòu)單元在單元坐標中的一些特性。中的一些特性。ijxl圖圖4-34.3 鉸接桿單元鉸接桿單元 圖圖4-3示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長度為長度為l，彈性模量為，彈性模量為E，軸向分布載荷為，軸向分布載荷為qx。單元有。單元有2個結(jié)點個結(jié)點i，j，單元坐標為一維坐標軸，單元坐標為一維坐標軸x。qxujui1、一維鉸接桿單元、一維鉸接桿單元jieuu（4-1）單元力向量為：單元力向量為：jieFFF（4-2） （1）位移模式和形函數(shù)）位

11、移模式和形函數(shù) 位移模式位移模式單元結(jié)點位移向量為：單元結(jié)點位移向量為： 因為只有因為只有2個結(jié)點，每個結(jié)點位移只有個結(jié)點，每個結(jié)點位移只有1個自由度，個自由度，因此單元的位移模式可設為：因此單元的位移模式可設為：xaau21（4-3）式中式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點位移條件確定為待定常數(shù)，可由結(jié)點位移條件確定 x=xi時，時， u=ui x=xj時，時， u=uj由此可確定由此可確定a1、a2 。再將其代入式（。再將其代入式（4-3），得），得 xluuxluuuuijiiji)(（4-4） 形函數(shù)形函數(shù) 將式（將式（4-4）改寫為下列形式）改寫為下列形式 eNu（4-5）式中式中e由

12、式（由式（4-1）確定，形函數(shù)）確定，形函數(shù)N為為 )()(1xxxxlNNNijji（4-6） （2）應變矩陣）應變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應變一維鉸接桿單元僅有軸向應變 dxdu將式（將式（4-5）、（）、（4-6）代入上式，得）代入上式，得 el111上式也可寫為上式也可寫為 eB（4-7）式中式中B為應變矩陣為應變矩陣 111lBBBji（4-8）由應力應變關系由應力應變關系 （3）應力矩陣）應力矩陣E將式（將式（4-7）代入上式，得）代入上式，得 eeSBE（4-9）式中式中S為應力矩陣為應力矩陣 11lES（4-10） (4) 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 單元上作用分布力單元上作用分布

13、力qx，則等價節(jié)點力計算公式仍，則等價節(jié)點力計算公式仍為以下形式為以下形式 dxqNFxTe當分布力集度當分布力集度qx為常數(shù)時，有為常數(shù)時，有 112)()(1lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix（4-11）式（式（4-11）概念是將分布力引起的合力按靜力等效原）概念是將分布力引起的合力按靜力等效原則分配到單元節(jié)點上。由于位移模式是線性函數(shù)，因則分配到單元節(jié)點上。由于位移模式是線性函數(shù)，因此此按公式（按公式（4-11）計算結(jié)果與靜力等效分配是一致的）計算結(jié)果與靜力等效分配是一致的。 (5) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 單元坐標單元剛度矩陣仍式（單元坐標單元剛度矩陣仍式（

14、2-33）推出）推出 dvBDBkvTe（2-33）對于等截面鉸接桿單元，對于等截面鉸接桿單元， dv=AdxA 單元截面面積。單元截面面積。有有 dxBDBAkvTe將式（將式（4-8）代入上式，得）代入上式，得 1111lAEke（4-12）2、平面鉸接桿單元、平面鉸接桿單元 1 2 3 4ijxy圖圖4-4l（1）單元坐標單元位移向量）單元坐標單元位移向量 4321e （2）位移模式和形函數(shù)）位移模式和形函數(shù)由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（4-3）、（）、（4-4）。）。 形函數(shù)形函數(shù)0)(0)(1xxxxlNNNijji（4-13

15、） （3）應變矩陣）應變矩陣 位移模式位移模式eB（4-7）應變矩陣應變矩陣 B為為01011lBBBji（4-14）（4）應力矩陣）應力矩陣eeSBE（4-9）應力矩陣應力矩陣 S為為0101lES（4-15） (5) 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 010120)(0)(1qlqdxxxxxlFijxxeqji（4-16） (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 對于等截面鉸接桿單元，對于等截面鉸接桿單元，0000010100000101lAEke（4-17）ijxylz3、空間鉸接桿單元、空間鉸接桿單元（1）單元坐標單元位移向量）單元坐標單元位移向量圖圖4-5 1 2 4 5 3 6 T

16、e654321（4-18） （2）形函數(shù)）形函數(shù)00)(00)(1xxxxlNij（4-19） （3）應變矩陣）應變矩陣（4-20）0010011lB （4）應力矩陣）應力矩陣 001001lES（4-21） (5) 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 TeqlF0010012（4-22） (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 對于等截面鉸接桿單元對于等截面鉸接桿單元（4-23）000000000000001001000000000000001001lAEke4.4 梁單元梁單元 1、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元圖圖4-5ijxyijxy 1 2 3 4lF1F

17、2F3F4l（1）單元坐標下的單元位移和單元力）單元坐標下的單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjiiTevv4321（4-24）其中，其中， vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。對于梁，對于梁， =dv/dx （4-25） 單元力單元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（4-26）其中，其中， Q剪力剪力 M彎矩彎矩對于梁，對于梁，（2）位移函數(shù)和形函數(shù)）位移函數(shù)和形函數(shù)設單元坐標位移模式為設單元坐標位移模式為342321)(xaxaxaaxv（4-28） 位移模式位移模式 形函數(shù)形函數(shù) 由單元兩端點的節(jié)點位移條件，解出式（由單元兩端點的節(jié)點位移條件，解出式

18、（4-28）中的中的a1、a2、a3、a4。再代入該式，可將位移模式寫為。再代入該式，可將位移模式寫為以下形式：以下形式： 3322dxvdEIQdxvdEIM（4-27）eNxv)(（4-29）式中式中4321NNNNN （4-30）23243323232233231/ )(/ )23(/ )2(2/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（4-31）（3）應變矩陣）應變矩陣 單元彎曲應變單元彎曲應變 b與節(jié)點位移與節(jié)點位移e的關系。的關系。由材料力學知，梁單元上任一點的應變和該點撓度之由材料力學知，梁單元上任一點的應變和該點撓度之間關系為：間關系為： 22dxvdyb（4-

19、32）將式（將式（4-29）代入（）代入（4-32），得單元彎曲應變和單元位），得單元彎曲應變和單元位移之間關系移之間關系（4-34） )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（4-33） （4）應力矩陣）應力矩陣 eebbSBEE（4-35） (5) 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時可將其作用點取為結(jié)點，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點載荷處理?？蓪⑵渥饔命c取為結(jié)點，按結(jié)構(gòu)的節(jié)點載荷處理。 這里考慮的是把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價這里考慮的是把單元上的橫向分布載荷轉(zhuǎn)化為等價節(jié)點力問題

20、。當梁單元上作用有橫向分布荷載節(jié)點力問題。當梁單元上作用有橫向分布荷載qy(x)時時（圖（圖4-6），），xyijl圖圖4-6qy(x)圖圖4-7lxyijqy(x)ijxdxv(x)qy (x)dx橫向分布荷載橫向分布荷載qy(x)的勢能的勢能Vq為：為：dxxqNdxxqxvVlyTeTlyS)()()( eqeTyF（4-36） dxxqNFyTleqy)(0形函數(shù)矩陣由式（形函數(shù)矩陣由式（4-30）和（）和（4-31）給出。對于具體問）給出。對于具體問題，只要將題，只要將qy(x)代入上式進行積分即可。表代入上式進行積分即可。表1給出了幾給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點力。種特殊情況的等價

21、節(jié)點力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力 表表 1 (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為梁單元剛度矩陣公式為將式（將式（4-34）代入上式進行積分，并注意到）代入上式進行積分，并注意到Iz梁截面對梁截面對Z軸（主軸）的慣性矩軸（主軸）的慣性矩得單元坐標單元剛度矩陣得單元坐標單元剛度矩陣ke:AzdAyI2（4-37） dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0

22、 單元剛度矩陣式單元剛度矩陣式(4-38)適合于連續(xù)梁分析。適合于連續(xù)梁分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223（4-38） 2、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4圖圖4-8（1）單元坐標單元位移和單元力）單元坐標單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjjiiiTevuvu654321（4-39）其中，其中， ux方向（軸向）

23、位移。方向（軸向）位移。 vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。 單元力單元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（4-40）其中，其中， N軸向力軸向力 Q剪力剪力 M彎矩彎矩 對于小變形問題，可以認為軸向變形和彎曲變形對于小變形問題，可以認為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按4.3節(jié)節(jié)一維鉸接桿單元和一維鉸接桿單元和4.4節(jié)兩端承受剪力、彎矩的平面梁節(jié)兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元的結(jié)果（式單元的結(jié)果（式4-3和式和式4-28）簡單集合而成。）簡單集合而成。 （2）位移函數(shù)和形函數(shù)

24、）位移函數(shù)和形函數(shù) 位移模式位移模式（4-41）342321xaxaxaavxaau21 以下形函數(shù)和一些基本矩陣都可按此思路推演。以下形函數(shù)和一些基本矩陣都可按此思路推演。 形函數(shù)形函數(shù)式中形函數(shù)式中形函數(shù)N為：為： eNvuf（4-42） 653241000000NNNNNNN（4-43）23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）應變矩陣）應變矩陣 單元彎曲應變單元彎曲應變 與節(jié)點位移與節(jié)點位移e的關系。的關系。承受軸向力、剪力、彎矩的梁單元上任一點的

25、應變，承受軸向力、剪力、彎矩的梁單元上任一點的應變，應為該點撓度（應為該點撓度（v）引起的應變和軸向位移（）引起的應變和軸向位移（u）引起）引起的應變之和。的應變之和。考慮到式（考慮到式（4-8）和（）和（4-34），單元應變矩陣為：），單元應變矩陣為：eB654321BBBBBBB （4-44）)26()612(1)46()612(12635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（4-45）(5) 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 xyijl圖圖4-9qy(x) （4）應力矩陣）應力矩陣 eeSBEE（4-46）應力矩陣形式同式（應力矩陣形式同式（4-35）：）：qx將式（將式（4

26、-36）、（）、（4-11）膨脹成）膨脹成61矩陣后相加，矩陣后相加，并注意到式（并注意到式（4-43），有），有（4-36） dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00jieuu（4-11）最后得等價節(jié)點力矩陣最后得等價節(jié)點力矩陣dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321（4-47）表表2給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點力。給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點力。荷載分布NiQiMiNjQjMj幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力 表表 22lqy203lqy4lqy122

27、lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為梁單元剛度矩陣公式為lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze460260612061200000260460612061200000222323222323（4-48） 式式(4-48)用于分析平面框架。用于分析平面框架。 3、兩

28、端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁 單元單元圖圖4-10ijlxyz 1 2 4 5 3 6F1F2F4F5F3F6ijlxyz 1 2 3 4 5 6F1F2F3F4F5F6 xi yiwi xj yjwjMxiMyiQziMxjMyjQzj 此類單元適用于格柵以及受面外荷載的平面框此類單元適用于格柵以及受面外荷載的平面框架。之所以仍稱為平面梁單元，是由于結(jié)構(gòu)本身是架。之所以仍稱為平面梁單元，是由于結(jié)構(gòu)本身是平面結(jié)構(gòu)，而節(jié)點也是平面結(jié)構(gòu)，而節(jié)點也是3個自由度。個自由度。 x、Mx截面繞扭心軸的扭轉(zhuǎn)角和相應扭矩。截面繞扭心軸的扭轉(zhuǎn)角和相應扭矩。 y、My截

29、面繞截面繞y軸的彎曲轉(zhuǎn)角和相應彎矩。軸的彎曲轉(zhuǎn)角和相應彎矩。 w、Q截面形心的橫向位移和相應橫向剪力。截面形心的橫向位移和相應橫向剪力。 如果截面形心和扭心不重合，則彎曲和扭轉(zhuǎn)之如果截面形心和扭心不重合，則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互不獨立的。例如，橫向剪力不通過扭心，間是相互不獨立的。例如，橫向剪力不通過扭心，它會引起對扭心軸的扭矩。它會引起對扭心軸的扭矩。 這里只討論截面形心與扭心重合或可以近似認這里只討論截面形心與扭心重合或可以近似認為重合的情形。則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互獨立的。為重合的情形。則彎曲和扭轉(zhuǎn)之間是相互獨立的。 此外，這里的扭轉(zhuǎn)限于純扭轉(zhuǎn)或稱均勻扭轉(zhuǎn)。其此外，這里的扭轉(zhuǎn)限于純扭轉(zhuǎn)或稱均

30、勻扭轉(zhuǎn)。其特點是扭矩和扭率（單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角）成正特點是扭矩和扭率（單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角）成正比。即比。即lGJMxixjxj（4-49）扭矩平衡條件扭矩平衡條件0 xjxiMM（4-50）由此得由此得)()(xjxixjxjxixilGJMlGJM（4-51）式中式中GJ為截面扭轉(zhuǎn)剛度。為截面扭轉(zhuǎn)剛度。只需要將式（只需要將式（4-48）中的）中的Iz換成換成Iy，并注意編號次序。，并注意編號次序。同時考慮到式（同時考慮到式（4-51），即得），即得323222323222126012606406200000126012606206400000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEI

31、lEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJkyyyyyyyyyyyyyyyye（4-52） 4、空間梁單元、空間梁單元 空間梁單元，每個節(jié)點有空間梁單元，每個節(jié)點有6個自由度，單元自由度個自由度，單元自由度為為12。圖。圖4-11給出了空間梁單元節(jié)點位移分量的正方向給出了空間梁單元節(jié)點位移分量的正方向及其編號。單元力的正向及其編號與單元位移相同。及其編號。單元力的正向及其編號與單元位移相同。ijlxyzui xivi yiwi zivj yjwj zjuj xj圖圖4-11aijlxyz142536811912710圖圖4-11b 綜合前述結(jié)果，得空間梁單元

32、單元坐標單元剛綜合前述結(jié)果，得空間梁單元單元坐標單元剛度矩陣度矩陣(式式4-53）（式）（式4-57）。）。 4321kkkkke（4-53）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223231（4-54）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006012006000120000002223232（4-55）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz20006002060000

33、00006012006000120000002223233（4-56）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223234（4-57）4.5 單元特性在兩類坐標系中的轉(zhuǎn)換單元特性在兩類坐標系中的轉(zhuǎn)換 在在4.3、4.4節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元坐標系的坐標軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩坐標系的坐標軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于單元坐標單元剛度矩陣。陣屬于單元坐標單元剛度矩陣。 進行系統(tǒng)分析時，需要把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)坐進行系統(tǒng)分析時

34、，需要把單元力按統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)坐標軸的分量表示出來，以便建立節(jié)點平衡方程。因此，標軸的分量表示出來，以便建立節(jié)點平衡方程。因此，在進行系統(tǒng)分析之前，必須把單元坐標系中的單元力在進行系統(tǒng)分析之前，必須把單元坐標系中的單元力以及單元剛度矩陣都轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)坐標系中去以及單元剛度矩陣都轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)坐標系中去。此外，。此外，還需要把結(jié)構(gòu)坐標系中的節(jié)點位移轉(zhuǎn)換到單元坐標系還需要把結(jié)構(gòu)坐標系中的節(jié)點位移轉(zhuǎn)換到單元坐標系中去，以計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。因此了解坐標變換是必要的。中去，以計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力。因此了解坐標變換是必要的。 設設XYZ為結(jié)構(gòu)坐標（整體）系，為結(jié)構(gòu)坐標（整體）系，xyz為單元（局為單元（局部）坐標系，部）坐標系

35、，約定下列符號：約定下列符號： 結(jié)構(gòu)坐標單元位移結(jié)構(gòu)坐標單元位移 F 結(jié)構(gòu)坐標單元力結(jié)構(gòu)坐標單元力 k結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣 1、坐標變換矩陣定義、坐標變換矩陣定義 把單元位移從結(jié)構(gòu)坐標系轉(zhuǎn)換到單元坐標系的變把單元位移從結(jié)構(gòu)坐標系轉(zhuǎn)換到單元坐標系的變換矩陣定義為坐標變換矩陣，用符號換矩陣定義為坐標變換矩陣，用符號R表示表示。有。有繼續(xù)使用前單元坐標中的符號：繼續(xù)使用前單元坐標中的符號：e單元坐標單元位移單元坐標單元位移 F e單元坐標單元力單元坐標單元力 ke單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 式（式（4-58）給出了結(jié)構(gòu)坐標單元位移轉(zhuǎn)換為單元）給出了結(jié)構(gòu)坐標單元位移轉(zhuǎn)

36、換為單元坐標單元位移的轉(zhuǎn)換式，同時是坐標變換矩陣坐標單元位移的轉(zhuǎn)換式，同時是坐標變換矩陣R的的定義式。定義式。 本節(jié)只了解本節(jié)只了解R的存在和概念，有關坐標變的存在和概念，有關坐標變換矩陣換矩陣R 的具體形式、內(nèi)容留在的具體形式、內(nèi)容留在4.6節(jié)中專門討論。節(jié)中專門討論。2、結(jié)構(gòu)坐標單元力、結(jié)構(gòu)坐標單元力 單元力在單元位移上作的功，不因其坐標系的改單元力在單元位移上作的功，不因其坐標系的改變而變。則有變而變。則有 TeTeFF)( Re（4-58）將式（將式（4-58）代入，）代入， TTeFRF)(對上式兩端進行轉(zhuǎn)置，注意到對上式兩端進行轉(zhuǎn)置，注意到TTTABBA消去消去，得，得 TTeFR

37、F)(即得即得 eTFRF （4-59）式（式（4-59）表明：）表明：結(jié)構(gòu)坐標單元力等于單元坐標單元結(jié)構(gòu)坐標單元力等于單元坐標單元力前乘坐標變換矩陣的轉(zhuǎn)置。力前乘坐標變換矩陣的轉(zhuǎn)置。 必須指出：式（必須指出：式（4-58）是從整體（結(jié)構(gòu)）坐標系）是從整體（結(jié)構(gòu)）坐標系到局部（單元）坐標系的變換式；式（到局部（單元）坐標系的變換式；式（4-59）是從局）是從局部（單元）坐標系到整體（結(jié)構(gòu)）坐標系的變換式。部（單元）坐標系到整體（結(jié)構(gòu)）坐標系的變換式。在單元坐標系中，有在單元坐標系中，有 eeekF3、結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣、結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣上式兩端左乘上式兩端左乘RT， eeTeTkRFR注

38、意到式（注意到式（4-58）、（）、（4-59），有），有 Re（4-58） eTFRF （4-59） RkRFeT kF k結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣。并有結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣。并有 RkRkeT（4-60） 式（式（4-60）給出了把單元坐標單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換）給出了把單元坐標單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換式。為結(jié)構(gòu)坐標單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換式。?4.6 坐標變換矩陣坐標變換矩陣 坐標變換矩陣因單元類型不同而異。坐標變換矩陣因單元類型不同而異。 1、平面鉸接桿單元、平面鉸接桿單元 設設OXY為結(jié)構(gòu)坐標，為結(jié)構(gòu)坐標，oxy為單元坐標。為單元坐標。 為任意為任意單元單元 i 端的任一矢量。它

39、在結(jié)構(gòu)坐標系中的分量為端的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標系中的分量為 X、 Y；在單元坐標系中的分量為；在單元坐標系中的分量為 x、 y。 X、 Y 在在單元坐標單元坐標x軸上投影的代數(shù)和給出軸上投影的代數(shù)和給出 x 。同理，。同理， X、 Y 在單元坐標在單元坐標y軸上投影的代數(shù)和給出軸上投影的代數(shù)和給出 y 。由圖由圖4-12得：得：XYxy X Y x yi圖圖4-12cossinsincosYXyYXx（4-61） 寫成矩陣形式，寫成矩陣形式，YXyxcossinsincos取取ejjeiivuvu,得得jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00si

40、ncos上式可寫成上式可寫成 Re坐標變換矩陣坐標變換矩陣R的具體內(nèi)容為：的具體內(nèi)容為：用節(jié)點坐標描述方向余弦：用節(jié)點坐標描述方向余弦：（4-62） cossin00sincos0000cossin00sincosRlYYlXXijijsin,cos（4-62a）式中，（式中，（Xi，Yi）和（）和（Xj，Yj）分別為節(jié)點）分別為節(jié)點I和節(jié)點和節(jié)點j在在結(jié)構(gòu)坐標系中的坐標值。結(jié)構(gòu)坐標系中的坐標值。 2、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元 如果在連續(xù)梁中使用這類單元，通?？蓪卧绻谶B續(xù)梁中使用這類單元，通?？蓪卧鴺撕徒Y(jié)構(gòu)坐標取得一致。此時，無須進行坐標變坐標和

41、結(jié)構(gòu)坐標取得一致。此時，無須進行坐標變換。換。 3、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元 此時，節(jié)點自由度為此時，節(jié)點自由度為3，見圖，見圖4-13。ijxy 2 3 5 6l 1 4圖圖4-13 注意單元坐標系注意單元坐標系xy平面和結(jié)構(gòu)坐標系平面和結(jié)構(gòu)坐標系XY平面在同平面在同一平面上，因而單元坐標系一平面上，因而單元坐標系z軸和結(jié)構(gòu)坐標系的軸和結(jié)構(gòu)坐標系的Z軸總軸總有相同指向，所以恒有：有相同指向，所以恒有：ZzZzMM 線位移的坐標變換式和平面鉸接桿完全相同。于是線位移的坐標變換式和平面鉸接桿完全相同。于是得到：得到： 1000000sincos0

42、000sincos0000001000000cossin0000sincosR（4-63） zjjjziiiezjjjziiivuvuRvuvuijxyz 4、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁單元 此時，此時，xy平面和結(jié)構(gòu)坐標系平面和結(jié)構(gòu)坐標系XY平面仍在同一平面平面仍在同一平面上，因而上，因而z軸和結(jié)構(gòu)坐標系的軸和結(jié)構(gòu)坐標系的Z軸指向相同，只須取軸指向相同，只須取l圖圖4-14 xi xj yi yjWiWjXYZ在單元坐標系中，單元每個節(jié)點（如在單元坐標系中，單元每個節(jié)點（如i）有）有3個位移分個位移分量：量： xi、 yi和和wi，它的變換

43、式和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單，它的變換式和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元（圖元（圖4-13）中向量）中向量eiivu的變換式相同。的變換式相同。 并且，恒有并且，恒有ieiWW ijxyvi ivj jluiuj圖圖4-13eyixi向量向量，其變換和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元中的，其變換和承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元中的iei相同。相同。由此知：由此知： jYjXjiYiXiejyjxjiyixieWWRRWW 5、空間鉸接桿單元、空間鉸接桿單元 空間鉸接桿單元的每個節(jié)點有空間鉸接桿單元的每個節(jié)點有3個相互垂直的線個相互垂直的線位移分量（位移分量（u、v、w）。單元自由度為

44、）。單元自由度為6，如圖，如圖4-15。其中，坐標變換矩陣其中，坐標變換矩陣R的內(nèi)容與式（的內(nèi)容與式（4-63）相同。）相同。xyzij圖圖4-15 設向量設向量 （圖（圖4-16）在單元坐標系和結(jié)構(gòu)坐標系在單元坐標系和結(jié)構(gòu)坐標系兩個坐標系中的分量被表示兩個坐標系中的分量被表示 為：為： 1 2 3 4 5 6（1）一般空間鉸接桿單元）一般空間鉸接桿單元一般空間鉸接桿單元指非豎直桿單元。一般空間鉸接桿單元指非豎直桿單元。XYZxyz圖圖4-16 ZYXzyxe, x、 y、 z、向量向量 在單元坐標軸上的分量在單元坐標軸上的分量 X、 Y、 Z、向量向量 在結(jié)構(gòu)坐標軸上的分量在結(jié)構(gòu)坐標軸上的分

45、量有有 333231232221131211（4-65） 是坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣，是單元坐標軸是坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣，是單元坐標軸x、y、z在在結(jié)構(gòu)坐標系結(jié)構(gòu)坐標系XYZ中的方向余弦：中的方向余弦： 11、 12、 13x軸在結(jié)構(gòu)坐標系軸在結(jié)構(gòu)坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 21、 22、 23y軸在結(jié)構(gòu)坐標系軸在結(jié)構(gòu)坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 31、 32、 33z軸在結(jié)構(gòu)坐標系軸在結(jié)構(gòu)坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 e（4-64） 容易理解，式（容易理解，式（4-64）可代表）可代表空間鉸接桿中一個空間鉸接桿中一個節(jié)點的節(jié)點位移坐標變換?？臻g鉸接桿單元有節(jié)點的節(jié)點位移坐標變換

46、?？臻g鉸接桿單元有2個節(jié)個節(jié)點，所以坐標變換矩陣一般可表示為：點，所以坐標變換矩陣一般可表示為： 00R（4-66）下面討論下面討論 矩陣中，元素矩陣中，元素 ij(i=1、2、3，j=1、2、3)。 對于空間鉸接桿單元，無論單元在結(jié)構(gòu)中的位置對于空間鉸接桿單元，無論單元在結(jié)構(gòu)中的位置如何，都可以把單元坐標系的如何，都可以把單元坐標系的xy面和結(jié)構(gòu)坐標系的面和結(jié)構(gòu)坐標系的XY面取成豎向平面，單元坐標系的面取成豎向平面，單元坐標系的z軸和結(jié)構(gòu)坐標系軸和結(jié)構(gòu)坐標系的的Z軸同在水平面內(nèi)（圖軸同在水平面內(nèi)（圖4-17）。）。xyzXYZ 圖圖4-17 i j lj x軸在結(jié)構(gòu)坐標系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標系中

47、的3個方向余弦：個方向余弦：jXjZ任一單元任一單元ij的長度為的長度為l。單元坐標系中。單元坐標系中x軸從軸從i指向指向j，lZZlYYlXXijijij131211,（4-67）Xi、Yi、Zi節(jié)點節(jié)點i在結(jié)構(gòu)坐標系中的坐標在結(jié)構(gòu)坐標系中的坐標Xj、Yj、Zj節(jié)點節(jié)點j在結(jié)構(gòu)坐標系中的坐標在結(jié)構(gòu)坐標系中的坐標z軸在結(jié)構(gòu)坐標系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標系中的3個方向余弦：個方向余弦： 注意到注意到Y(jié)軸、軸、x軸和線段軸和線段ij 在同一豎直平面內(nèi)。在同一豎直平面內(nèi)。z軸在水平面內(nèi)，軸在水平面內(nèi)， z軸與軸與Y軸垂直，軸垂直， z軸也與軸也與線段線段ij 垂直。垂直。z軸在結(jié)構(gòu)坐標系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標系中

48、的3個方向余弦為：個方向余弦為：sin)2cos(),cos(31Xz22)()(ijijijXZZXXZZj ij j代入式（代入式（4-67），得），得 213211133102cos),cos(32Yz2132111133cos),cos(Zz（4-68）y軸在結(jié)構(gòu)坐標系中的軸在結(jié)構(gòu)坐標系中的3個方向余弦：個方向余弦： 引入記號：引入記號： i1、i2、i3結(jié)構(gòu)坐標系中結(jié)構(gòu)坐標系中3個坐標軸方向的單位矢量個坐標軸方向的單位矢量e1、e2、e3單元坐標系中單元坐標系中3個坐標軸方向的單位矢量個坐標軸方向的單位矢量有有3132121111iiie3232221212iiie333232131

49、3iiie因為單元坐標系是右手螺旋坐標系，故有因為單元坐標系是右手螺旋坐標系，故有132eee按矢量乘法規(guī)則，即得按矢量乘法規(guī)則，即得131211333132120iiie31231213311133112332)()()(iiie于是得于是得213211131212312321321113311133222132111211123321（4-69）綜合式（綜合式（4-67）、（）、（4-68）、（）、（4-69），得空間鉸接），得空間鉸接桿單元的桿單元的 矩陣矩陣 2132111121321113213211131221321121321112111312110（4-70） 綜上所述，一般空

50、間鉸接桿單元的坐標變換矩陣綜上所述，一般空間鉸接桿單元的坐標變換矩陣由式（由式（4-66）、（）、（4-70）、（）、（4-67）確定。）確定。 必須指出：對于豎直空間鉸接桿單元，式（必須指出：對于豎直空間鉸接桿單元，式（4-70）是不能用的，因為是不能用的，因為 112+ 132 =0，將導致計算溢出。，將導致計算溢出。（2） 豎直空間鉸接桿單元豎直空間鉸接桿單元 豎直的空間鉸接桿單元不外有圖豎直的空間鉸接桿單元不外有圖4-18示出的兩種示出的兩種情況：情況：XYZijxyzXYZijxyz圖圖4-18（a）（b） 對于豎直的空間鉸接桿單元，單元坐標系中的對于豎直的空間鉸接桿單元，單元坐標系

51、中的z軸方向沒有特殊限制，水平面內(nèi)任何方向皆可取作軸方向沒有特殊限制，水平面內(nèi)任何方向皆可取作z軸方向。為了計算簡便起見，這里規(guī)定：軸方向。為了計算簡便起見，這里規(guī)定： z軸方向與結(jié)構(gòu)坐標系中的軸方向與結(jié)構(gòu)坐標系中的Z軸方向相同。軸方向相同。 根據(jù)圖根據(jù)圖4-18容易確定單元坐標軸容易確定單元坐標軸x、y、z在結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)坐標系中的方向余弦，從而直接得到坐標系中的方向余弦，從而直接得到 矩陣：矩陣： 10000001212（4-71） 式（式（4-71）對于圖）對于圖4-18中的兩種情況都適用。對中的兩種情況都適用。對（a）圖，）圖， 12=1；對（；對（b）圖，）圖， 12=-1。 豎直空間鉸

52、接桿單元的坐標變換矩陣豎直空間鉸接桿單元的坐標變換矩陣R與一與一般空間鉸接桿單元之不同，在于應使用式（般空間鉸接桿單元之不同，在于應使用式（4-71）而不要使用式（而不要使用式（4-70）去計算）去計算 矩陣。矩陣。 6、空間梁單元、空間梁單元 和空間鉸接桿單元比較，空間梁單元有以下兩和空間鉸接桿單元比較，空間梁單元有以下兩個特點：個特點：特點特點1：每個節(jié)點有沿單元坐標軸方向的兩組位移：每個節(jié)點有沿單元坐標軸方向的兩組位移 向量，即線位移（向量，即線位移（ui、vi、wi）和角位移）和角位移 （ xi、 yi、 zi）。它們都需要坐標變換。）。它們都需要坐標變換。特點特點2：空間梁單元單元坐

53、標系中的：空間梁單元單元坐標系中的y、z軸是單元橫截軸是單元橫截 面上的兩個慣性主軸，可能是不能任意確定面上的兩個慣性主軸，可能是不能任意確定 的，因而無法保證的，因而無法保證z軸一定在水平面內(nèi)，即在軸一定在水平面內(nèi)，即在 結(jié)構(gòu)坐標系中的結(jié)構(gòu)坐標系中的XZ平面內(nèi)。這就導致平面內(nèi)。這就導致 矩陣矩陣 的計算變得比空間鉸接桿復雜得多。的計算變得比空間鉸接桿復雜得多。因此，坐標變換矩陣應為：因此，坐標變換矩陣應為： R00（4-72） 式（式（4-72）表明了它和鉸接桿單元式（）表明了它和鉸接桿單元式（4-66）的）的第一項區(qū)別。第一項區(qū)別。 （1）可以使用空間鉸接桿單元）可以使用空間鉸接桿單元 矩

54、陣的梁單元矩陣的梁單元 具有軸對稱截面的梁單元具有軸對稱截面的梁單元 這時，截面內(nèi)過形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。這時，截面內(nèi)過形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。因而，恒可因而，恒可z軸取在水平面內(nèi)。軸取在水平面內(nèi)。 對于豎直空間梁單元，也可使對于豎直空間梁單元，也可使z軸與結(jié)構(gòu)坐標系的軸與結(jié)構(gòu)坐標系的Z軸重合。因而可用豎直鉸接桿單元的軸重合。因而可用豎直鉸接桿單元的 矩陣（式（矩陣（式（4-67）、（）、（4-71） 。 截面有一根形心軸在水平面內(nèi)截面有一根形心軸在水平面內(nèi) 這時，可使用一般空間鉸接桿單元的這時，可使用一般空間鉸接桿單元的 矩陣（式矩陣（式（4-70）、（）、（4-67）進行

55、計算。必須指出，如果是）進行計算。必須指出，如果是單元是豎直的，只要不能保證單元是豎直的，只要不能保證z軸與結(jié)構(gòu)坐標系中的軸與結(jié)構(gòu)坐標系中的Z以下兩種情況可以使用鉸接桿單元的以下兩種情況可以使用鉸接桿單元的 矩陣。矩陣。軸重合，都不能使用豎向鉸接桿單元的軸重合，都不能使用豎向鉸接桿單元的 矩陣。矩陣。 （2）截面慣性主軸無一在水平面內(nèi)的空間梁單元）截面慣性主軸無一在水平面內(nèi)的空間梁單元 不能使用空間鉸接桿單元不能使用空間鉸接桿單元 矩陣的情形矩陣的情形 設結(jié)構(gòu)坐標系設結(jié)構(gòu)坐標系XYZ，單元坐標系，單元坐標系xyz。y、z是梁截是梁截面的兩個慣性主軸（圖面的兩個慣性主軸（圖4-19a）yzXYZ(a)圖圖4-19xXYZxyz(b)圖圖4-191e3e2e 在單元坐標系的在單元坐標系的3個坐標軸上分別取個坐標軸上分別取3個單位矢個單位矢量：量： e1、e2、e3。結(jié)構(gòu)坐標系中。結(jié)構(gòu)坐標系中3個坐標軸上的單位個坐標軸上的單位矢量為矢量為i1、i2、i3 。yzXYZ(a)xXYZxyz3e2e3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie 11、 12 、 13由式（由式（4-67）確定，是已知的，）確定，是已知的，即即e1是已知