第5章第三節(jié)參數(shù)估計(jì)

1、估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等例: 樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量總體參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是的估計(jì)值用樣本對總體的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法常見的有兩種: 點(diǎn)估計(jì)（point estimation） 區(qū)間估計(jì)（interval estimation） 用某一樣本統(tǒng)計(jì)量的值來估計(jì)相應(yīng)總體參用某一樣本統(tǒng)計(jì)量的值來估計(jì)相應(yīng)總體參數(shù)的值叫總體參數(shù)的數(shù)的值叫總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)。以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布（概率分布）以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布（概率分布）為理論依據(jù)，按一定概率要求，由樣本為理論

2、依據(jù)，按一定概率要求，由樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍，統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍，稱為總體參數(shù)的稱為總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)。用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)優(yōu)點(diǎn)： 簡單、具體明確缺點(diǎn)：點(diǎn)估計(jì)沒有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等例如，對一批某種型號的電子元件10000只進(jìn)行耐用時(shí)間檢查，隨機(jī)抽取100只，測試的平均耐用時(shí)間為1055小時(shí)，合格率為91%。我們推斷說10000只電子元件的平均耐用時(shí)間為1055小時(shí)，全部

3、電子元件的合格率也是91%。為了考察師大男生的身高狀況，隨機(jī)抽測為了考察師大男生的身高狀況，隨機(jī)抽測50人得到人得到 cm5S,cm170 x試估計(jì)師大男生的平均身高和標(biāo)準(zhǔn)差。試估計(jì)師大男生的平均身高和標(biāo)準(zhǔn)差。 解：解： 師大男生平均身高的估計(jì)值是170cm，但其真正的平均身高是否就是170cm? 未必就是，這里面存在誤差。那么這種誤差誤差是如何處理呢？ 點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大。區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷大。區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺

4、陷 在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到。根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95% 優(yōu)點(diǎn)：考慮了估計(jì)量的分布，能說明估計(jì)結(jié)果的可靠程度xxzx2 譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù) N 的估計(jì)量為的估計(jì)量為1000條。條。 若我們能給出一個(gè)區(qū)間（若我們能給出一個(gè)區(qū)間（950，1050），），在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其的真值位于其中，

5、中， 這樣對魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了。這樣對魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了。 實(shí)際上，實(shí)際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000條，也可條，也可能小于能小于1000條。條。問題就在于：這個(gè)問題就在于：這個(gè)1000的估計(jì)值可能的估計(jì)值可能在區(qū)間（在區(qū)間（950，1050）內(nèi)，也可能不在內(nèi)，也可能不在將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比率常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10這個(gè)概率不是用來描述某個(gè)特這個(gè)概率不是用來描述某個(gè)特定的區(qū)間包含總體參數(shù)真值的定的區(qū)間包含總體

6、參數(shù)真值的可能性，而是指在多次抽樣得可能性，而是指在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)間到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值包含了總體參數(shù)的真值由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)總體參數(shù)的真值是固定的、未知的，總體參數(shù)的真值是固定的、未知的，而用不同樣本構(gòu)造的區(qū)間是不固定而用不同樣本構(gòu)造

7、的區(qū)間是不固定的，因此，置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)的，因此，置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，它會因樣本的不同而不同間，它會因樣本的不同而不同也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的以比較高的可靠程度可靠程度相信它包含真參數(shù)值相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度量的是用概率來度量的 ，稱為稱為置信度置信度或或置信水平置信水平，置信水平的大小是根據(jù)實(shí)，置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的。際需要選定的。 習(xí)慣上把置信水平記作習(xí)慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一個(gè)是一個(gè) 很小的正數(shù)很小的正數(shù).

8、（1）區(qū)間估計(jì)簡單地說就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù)，把未知參數(shù)估計(jì)在某兩個(gè)界限之間。（2）置信區(qū)間按照預(yù)先給定的概率（1- ）確定的包含未知總體參數(shù)的可能范圍。它是以上下置信限（L1 , L2）為界。（3）置信概率又稱置信水平或置信度，指在區(qū)間估計(jì)中，預(yù)先選定（規(guī)定）的概率。用 1-表示。常取95%或99%。（4）顯著性水平在使用置信區(qū)間作估計(jì)時(shí)，被估計(jì)的參數(shù)不在該區(qū)間內(nèi)的概率。用表示。一般取值要求較小。要點(diǎn)無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計(jì)的總體參數(shù) 抽樣分布抽樣分布中，樣本中，樣本均值、比均值、比率、方差率、方差分別是總分別是總體均值、體均值、比率、方比率、方差的無偏差的無偏估計(jì)

9、量估計(jì)量12無偏估計(jì)量還無偏估計(jì)量還必須與總體參必須與總體參數(shù)的離散程度數(shù)的離散程度比較小比較小一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的 值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)2xp2s1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z)1 ,0( Nnxz)(22未知或nszxnzx此條件下小樣本總體也適用此條件下小樣本總體也適用112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136

10、.8102.8101.5 98.4 93.328.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x23353927364436424643313342534554472434283936444039493834485034394548453263.41,37.3713.25 .393677.7645.15 .392nszx5 .39x77. 7s 某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以95的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36分鐘）。176.27,824.241006

11、96.126,100696.126,22nZxnZx 某廠生產(chǎn)的零件長度 X 服從 N( , 0.04),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，長度測量值如下(單位：毫米)： 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.求： 的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計(jì)。 . 11.15 ,79.14 ,22znXznX解：n = 6， = 0.05，z/2 = z0.025 = 1.96，2=0.22 . 所求置信區(qū)間為,95.14 X通過計(jì)算，得1. 假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 小樣本 (n 30)2.使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量)1(ntnsxtnstx2注意自由度注意

12、自由度15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702 .1503, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s 從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本， n = 25 ，其均值x = 50 ，標(biāo)準(zhǔn)差 s = 8。建立總體均值的95%的置信區(qū)間。3 .53,69.462580639. 250,2580639. 250,1212nstxnstxnn 為估計(jì)一物體的重量，將其稱量10次,得到重量的測量值 (單位: 千克) 如下:10.l, 10.0, 9.8, 10.

13、5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9.設(shè)它們服從正態(tài)分布 N( , 2)。求 的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間。解解: n=10, =0.05, t9 (0.025)=2.2622,2415. 0 ,0583. 0 ,05.10 2SSX經(jīng)經(jīng)計(jì)計(jì)算算，得得的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為為為， 0.95 10.22 9.87 2.2622100.241510.05 2.2622100.241510.05)2/( ),2/( 11nntnSXtnSX1.假定條件 總體服從二項(xiàng)分布，樣本量足夠大 可以由正態(tài)分布來近似2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z) 1 ,

14、 0()1 (Nnpz)()-1 ()1 (22未知時(shí)或nppzpnzp參看書本參看書本%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp【例】某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選取了200人組成一個(gè)樣本。在對其進(jìn)行訪問時(shí)，有140人說他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造（95%的置信區(qū)間）。764.0,636.0200)7.01(7.096.17.0)1(2nppZp1.估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布3. 總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為s

15、2,且11222nsn111122122222nsnnsn參看書本參看書本112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取16袋 , 稱得重量(以克計(jì))如下:506 508 499 503

16、 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平0.95為的置信區(qū)間。S=6.2022解：這里解：這里20.025,120.975,115,n 20.025(15)27.488, 20.975(15)6.262. 16211()6.2022 .15iisxx 2221 211(,)( 1 )( 1 )n Sn S n n (4.58,9.60).于是得到于是得到的的置信水平為置信水平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為例2：為估計(jì)一物體的重量，將其稱量10次,得到重量的測量值 (單位: 千

17、克) 如下:10.1, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9.設(shè)它們服從正態(tài)分布 N( , 2)。求2的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間。S2=0.0583解：解：n=10, = 0.05, S2=0.0583, 查附表得查附表得， .023.19)025. 0()2/( ,70. 2)975. 0()2/1 ( 29212921nn 0.194 0.028 2.70.05839 ,19.0230.05839 ) 2/1 () 1( ,) 2/() 1( 212212，nnSnSn于是，的的區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)。的的置置信信水水平平為為為為

18、1 2樣本容量的確定2121222121xx 21pp 2221ss1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z) 1 , 0()()(2221212121Nnnxxz1.1， 2已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為222121221)(nnzxx222121221)(nsnszxx中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x)97.10,03.5(97.28332.7468.596.1)7886()(22222121221nsns

19、zxx1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知但相等：1=2兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230)總體方差的合并估計(jì)量2) 1() 1(212222112nnsnsnsp21221211nnsnsnsppp)2(11)()(21212121nntnnsxxtp21221221112nnsnntxxp方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.55 .321x996.1521s8 .282x358.1922s677.1721212

20、358.19) 112(996.15) 112(2ps56. 37 . 3121121677.170739. 2)8 .285 .32(1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知且不相等：12兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230)使用統(tǒng)計(jì)量)()()(2221212121vtnsnsxxt兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020

21、.028.830.030.25 .321x996.1521s875.272x014.2322s13188.13188014.2311212996.158014.2312996.15222v433. 4625. 48014.2312996.151604. 2)875.275 .32(假定條件兩個(gè)匹配的大樣本(n1 30和n2 30)兩個(gè)總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個(gè)總體均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為nzdd2假定條件兩個(gè)匹配的大樣本(n1 30和n2 30)兩個(gè)總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為nsntdd) 1(

22、2學(xué)生編號學(xué)生編號試卷試卷A試卷試卷B差值差值d17871726344193726111489845691741754951-2768551387660169857781055391611101101dniindd53. 61)(12dniidndds67. 4111053. 62622. 211) 1(2nsntdd1.假定條件兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似兩個(gè)樣本是獨(dú)立的2.兩個(gè)總體比率之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為222111221)1 ()1 (nppnppzpp%32.19,%68. 6%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%451. 比較兩個(gè)總體的方差比用兩個(gè)樣本的方差比來判斷如果S12/ S22接近于1,說明兩個(gè)總體方差很接近如果S12/ S22遠(yuǎn)離1,說明兩個(gè)總體方差之間存在差異2.總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為212221222122221FssFss),(1),(1222121nnFnnF5201x26021s4802x28022s505.028026098.12802602221估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量n為樣本容量n與總體方差 2、可接受的允許誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為與