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文檔簡介

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體圖形中的距離最短問題 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn),培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念主要表現(xiàn)在:“能由實(shí)物的形狀想像出幾何圖形,由幾何圖形想像出實(shí)物的形狀,進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化;能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形;”。空間圖形的建立需要有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程,從小學(xué)到初中,再到高中,漸漸加強(qiáng),作為一個(gè)初、高中的知識(shí)銜接模塊,讓學(xué)生在初中階段能理解空間圖形,特別是空間圖形的展開圖,夯實(shí)基礎(chǔ),顯得尤為重要。立體圖形上點(diǎn)點(diǎn)之間的距離最短問題, 通過把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,然后再運(yùn)用“兩點(diǎn)之間,線段最短”來解決。解決這一類距離最短的問題,可以利用軸對(duì)稱或平移或旋轉(zhuǎn)等幾何圖形的變換,把

2、兩條或多條線段和最短的問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離最短的問題來解決。一、通過平移來轉(zhuǎn)化1.如圖,是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的長、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),A點(diǎn)上有一只螞蟻,想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想,這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā),沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn),最短線路是多少?析:展開圖如圖所示,AB= = 13cm二、通過旋轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)化2.有一圓柱形油罐,已知油罐周長是12m,高AB是5m,要從點(diǎn)A處開始繞油罐一周建造梯子,正好到達(dá)A點(diǎn)的正上方B處,問梯子最短有多長?析:展開圖如圖所示,AB= = 13cm3.有一圓柱體如圖,高4cm,底面半徑5cm,A處有一螞

3、蟻,若螞蟻欲爬行到C處,求螞蟻爬行的最短距離。AB = 4,BC為底面周長的一半即BC = 5AC = = = 4.葛藤是一種刁鉆的植物,它的腰桿不硬,為了爭奪雨露陽光,常常繞著樹干盤旋而上,它還有一手絕招,就是它繞樹盤升的路線總是沿最短路線-螺旋前進(jìn)的,難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)?通過閱讀以上信息,解決下列問題:(1)如果樹干的周長(即圖中圓柱體的底面周長)為30cm,繞一圈升高(即圓柱的高)40cm,則它爬行一圈的路程是多少?(2)如果樹干的周長為80cm,繞一圈爬行100cm,它爬行10圈到達(dá)樹頂,則樹干高多少? (1)如圖,O的周長為30cm,即AC=30cm,高是40cm,則BC=40cm,由

4、勾股定理得AB =50cm故爬行一圈的路程是50cm;(2)O的周長為80cm,即AC=80cm,繞一圈爬行100cm,則AB = 100cm,高BC = 60cm樹干高=60×10=600cm=6m故樹干高6m5.已知O為圓錐頂點(diǎn),OA、OB為圓錐的母線,C為OB中點(diǎn),一只小螞蟻從點(diǎn)C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)A,另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B,它們所爬行的最短路線的痕跡如右圖所示若沿OA剪開,則得到的圓錐側(cè)面展開圖為 ( )A.B.C.D.要求螞蟻爬行的最短距離,需將圓錐的側(cè)面展開,進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果,再利用做對(duì)稱點(diǎn)作出另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B,它們所

5、爬行的最短路線故選C6.如圖,一直圓錐的母線長為QA=8,底面圓的半徑r=2,若一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā),繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn),則螞蟻爬行的最短路線長是_(結(jié)果保留根式)。 設(shè)圓錐的展開圖扇形QAA的中心角AQA 的度數(shù)為n,則2×2× = ,解得:n = 90° 即AQA = 90°在RtAQA中,根據(jù)勾股定理, AA = 錯(cuò)誤!未定義書簽。7.如圖,圓錐的主視圖是等邊三角形,圓錐的底面半徑為2cm,假若點(diǎn)B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行,它要想吃到母線AC的中點(diǎn)P處的食物,那么它爬行的最短路程是多少?設(shè)圓錐的展開圖

6、的圓心角為n,則 .2×2× = ,解得:n = 180° 即CQC = 180°在展開圖中,BACC,BA = 4,AP = 2,由勾股定理得,BP = = 根據(jù)圓錐的主視圖是等邊三角形可知,展開圖是半徑是4的半圓點(diǎn)B是半圓的一個(gè)端點(diǎn),而點(diǎn)P是平分半圓的半徑的中點(diǎn),根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)B和P在展開圖中的距離,就是這只螞蟻爬行的最短距離圓錐的展開圖的圓心角 = .主視圖是等邊三角形的圓錐的展開圖的圓心角是180°.本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖的計(jì)算,正確判斷螞蟻爬行的路線,把曲面的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題是解題的關(guān)鍵.8.已知,圓錐

7、底面半徑為10cm,高為10cm,(1) 求圓錐的表面積;(2)  若一只螞蟻從底面一點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐一周回到SA上一點(diǎn)M處,且SM=3AM,求它所走的最短距離。利用底面半徑、高及母線組成的直角三角形構(gòu)造勾股定理求出母線長,進(jìn)而借助扇形面積公式求出表面積;螞蟻在圓錐表面上行走一圈,而圓錐側(cè)面展開后為扇形,故可在展開圖(扇形)上求點(diǎn)A到M的最短距離(即AM的長)。解析:(1)圓錐的母線長SA= 40,圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長l = 2×OA =20(cm),S側(cè) = ×SA = 400(cm2),S底=×OA2 = 100(cm2),S表

8、= S底+ S側(cè)= 500(cm2) 。(2)沿母線SA將圓錐的側(cè)面展開,得圓錐的側(cè)面展開圖,則線段AM的長就是螞蟻所走的最短距離,由(1)知SA = 40,弧AA=20,AS A= = 90°,又SA= SA=40,SM=3AM,SM = = 30,在RtASM中, AM = = =50,所以螞蟻所走的最短距離是50cm.三、通過軸對(duì)稱來轉(zhuǎn)化9.桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯(無蓋),高為12厘米,底面周長18厘米,在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖,一只小蟲從桌上爬至杯子外壁,當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí),突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少

9、厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析:展開圖如圖所示,作A點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)A。則BA=15厘米10.一只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)處尋找食物,已知點(diǎn)A到桶口的距離AC為12cm,點(diǎn)B到桶口的距離BD為8cm,CD的長為15cm,那么螞蟻爬行的最短路程是多少?展開圖如右圖所示,作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB,交CD于點(diǎn)P,則螞蟻爬行路線APB為最短,且AP+PB = AB+PB,在直角AEB中,AE = CD = 12,EB = ED + DB = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知,AB = 25所以,螞蟻爬行的最短路程是25cm.11.(1)如圖,一個(gè)無蓋的長

10、方體盒子的棱長分別為BC3cm、AB4cm、AA15cm,盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)C1處有一只昆蟲甲,在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲乙(盒壁的厚度忽略不計(jì))假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)C1處靜止不動(dòng),請(qǐng)計(jì)算A處的昆蟲乙沿盒子內(nèi)壁爬行到昆蟲甲C1處的最短路程并畫出其最短路徑,簡要說明畫法。(2)如果(1)問中的長方體的棱長分別為ABBC6cm,AA114cm,如圖,假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)C1以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C1C向下爬行,同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以3厘米/秒的速度在盒壁的側(cè)面上爬行,那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲? (1)如圖二,將上表面展開,使上表面與前表面在同一平面內(nèi),即A、A1、D1三

11、點(diǎn)共線AA1+A1D1 = 5 + 3 = 8,D1C1 = 4根據(jù)勾股定理得AC1 = 如圖三,將右側(cè)面展開,使右側(cè)面與下表面在同一平面內(nèi),即A、B、B1三點(diǎn)共線AB+BB1 = 4 + 5 = 7,B1C1 = 3根據(jù)勾股定理得AC1 = 如圖四,將右側(cè)面展開,使右側(cè)面與前表面在同一平面內(nèi),即A、B、C三點(diǎn)共線AB+BC = 4 + 3 = 7,CC1 = 5根據(jù)勾股定理得AC1 = < < 最短路程是cm在圖四中,ABEACC1,BE = 如圖一,在BB1上取一點(diǎn)E,使BE = ,連接AE,EC1,AEC1就是最短路徑(2)如圖五,設(shè)C1F = x,則AF = 3x,CF = 5 x,在RtACF中,根據(jù)勾股定理得AF2 = AC2 + CF2即

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