立體圖形中的距離最短問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體圖形中的距離最短問題 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念主要表現(xiàn)在：“能由實(shí)物的形狀想像出幾何圖形，由幾何圖形想像出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；”。空間圖形的建立需要有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，從小學(xué)到初中，再到高中，漸漸加強(qiáng)，作為一個(gè)初、高中的知識(shí)銜接模塊，讓學(xué)生在初中階段能理解空間圖形，特別是空間圖形的展開圖，夯實(shí)基礎(chǔ)，顯得尤為重要。立體圖形上點(diǎn)點(diǎn)之間的距離最短問題， 通過把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后再運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決。解決這一類距離最短的問題，可以利用軸對(duì)稱或平移或旋轉(zhuǎn)等幾何圖形的變換，把

2、兩條或多條線段和最短的問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離最短的問題來解決。一、通過平移來轉(zhuǎn)化1.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？析：展開圖如圖所示，AB= = 13cm二、通過旋轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)化2.有一圓柱形油罐，已知油罐周長是12m，高AB是5m，要從點(diǎn)A處開始繞油罐一周建造梯子，正好到達(dá)A點(diǎn)的正上方B處，問梯子最短有多長？析：展開圖如圖所示，AB= = 13cm3.有一圓柱體如圖，高4cm，底面半徑5cm，A處有一螞

3、蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離。AB = 4，BC為底面周長的一半即BC = 5AC = = = 4.葛藤是一種刁鉆的植物，它的腰桿不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路線總是沿最短路線-螺旋前進(jìn)的，難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？通過閱讀以上信息，解決下列問題：（1）如果樹干的周長（即圖中圓柱體的底面周長）為30cm，繞一圈升高（即圓柱的高）40cm，則它爬行一圈的路程是多少？（2）如果樹干的周長為80cm，繞一圈爬行100cm，它爬行10圈到達(dá)樹頂，則樹干高多少？ （1）如圖，O的周長為30cm，即AC=30cm，高是40cm，則BC=40cm，由

4、勾股定理得AB =50cm故爬行一圈的路程是50cm；（2）O的周長為80cm，即AC=80cm，繞一圈爬行100cm，則AB = 100cm，高BC = 60cm樹干高=60×10=600cm=6m故樹干高6m5.已知O為圓錐頂點(diǎn)，OA、OB為圓錐的母線，C為OB中點(diǎn)，一只小螞蟻從點(diǎn)C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)A，另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B，它們所爬行的最短路線的痕跡如右圖所示若沿OA剪開，則得到的圓錐側(cè)面展開圖為 （ ）A.B.C.D.要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，再利用做對(duì)稱點(diǎn)作出另一只小螞蟻繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B，它們所

5、爬行的最短路線故選C6.如圖，一直圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路線長是_（結(jié)果保留根式）。 設(shè)圓錐的展開圖扇形QAA的中心角AQA 的度數(shù)為n，則2×2× = ，解得：n = 90° 即AQA = 90°在RtAQA中，根據(jù)勾股定理， AA = 錯(cuò)誤！未定義書簽。7.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假若點(diǎn)B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點(diǎn)P處的食物，那么它爬行的最短路程是多少？設(shè)圓錐的展開圖

6、的圓心角為n，則 .2×2× = ，解得：n = 180° 即CQC = 180°在展開圖中，BACC，BA = 4，AP = 2，由勾股定理得，BP = = 根據(jù)圓錐的主視圖是等邊三角形可知，展開圖是半徑是4的半圓點(diǎn)B是半圓的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)P是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)B和P在展開圖中的距離，就是這只螞蟻爬行的最短距離圓錐的展開圖的圓心角 = .主視圖是等邊三角形的圓錐的展開圖的圓心角是180°.本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開圖的計(jì)算，正確判斷螞蟻爬行的路線，把曲面的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題是解題的關(guān)鍵.8.已知，圓錐

7、底面半徑為10cm，高為10cm，（1） 求圓錐的表面積；（2）  若一只螞蟻從底面一點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐一周回到SA上一點(diǎn)M處，且SM=3AM，求它所走的最短距離。利用底面半徑、高及母線組成的直角三角形構(gòu)造勾股定理求出母線長，進(jìn)而借助扇形面積公式求出表面積；螞蟻在圓錐表面上行走一圈，而圓錐側(cè)面展開后為扇形，故可在展開圖（扇形）上求點(diǎn)A到M的最短距離（即AM的長）。解析：（1）圓錐的母線長SA= 40，圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長l = 2×OA =20(cm)，S側(cè) = ×SA = 400(cm2)，S底=×OA2 = 100(cm2)，S表

8、= S底+ S側(cè)= 500(cm2) 。（2）沿母線SA將圓錐的側(cè)面展開，得圓錐的側(cè)面展開圖，則線段AM的長就是螞蟻所走的最短距離，由（1）知SA = 40，弧AA=20，AS A= = 90°，又SA= SA=40，SM=3AM，SM = = 30，在RtASM中， AM = = =50，所以螞蟻所走的最短距離是50cm.三、通過軸對(duì)稱來轉(zhuǎn)化9.桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少

9、厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作A點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)A。則BA=15厘米10.一只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)處尋找食物，已知點(diǎn)A到桶口的距離AC為12cm，點(diǎn)B到桶口的距離BD為8cm，CD的長為15cm，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？展開圖如右圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，交CD于點(diǎn)P，則螞蟻爬行路線APB為最短，且AP+PB = AB+PB，在直角AEB中，AE = CD = 12，EB = ED + DB = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB = 25所以，螞蟻爬行的最短路程是25cm.11.（1）如圖，一個(gè)無蓋的長

10、方體盒子的棱長分別為BC3cm、AB4cm、AA15cm，盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)C1處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計(jì)）假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)C1處靜止不動(dòng)，請(qǐng)計(jì)算A處的昆蟲乙沿盒子內(nèi)壁爬行到昆蟲甲C1處的最短路程并畫出其最短路徑，簡要說明畫法。（2）如果（1）問中的長方體的棱長分別為ABBC6cm，AA114cm，如圖，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)C1以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C1C向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以3厘米/秒的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？ (1)如圖二，將上表面展開，使上表面與前表面在同一平面內(nèi)，即A、A1、D1三

11、點(diǎn)共線AA1+A1D1 = 5 + 3 = 8，D1C1 = 4根據(jù)勾股定理得AC1 = 如圖三，將右側(cè)面展開，使右側(cè)面與下表面在同一平面內(nèi)，即A、B、B1三點(diǎn)共線AB+BB1 = 4 + 5 = 7，B1C1 = 3根據(jù)勾股定理得AC1 = 如圖四，將右側(cè)面展開，使右側(cè)面與前表面在同一平面內(nèi)，即A、B、C三點(diǎn)共線AB+BC = 4 + 3 = 7，CC1 = 5根據(jù)勾股定理得AC1 = < < 最短路程是cm在圖四中，ABEACC1，BE = 如圖一，在BB1上取一點(diǎn)E，使BE = ，連接AE，EC1，AEC1就是最短路徑(2)如圖五，設(shè)C1F = x，則AF = 3x，CF = 5 x，在RtACF中，根據(jù)勾股定理得AF2 = AC2 + CF2即