平面圖形例題與講解

1、4.4平面圖形1多邊形的概念我們已經(jīng)認識到立體圖形是由平面圖形所圍成的，因此研究立體圖形往往從平面圖形開始如圖所示，三角形、長方形和圓是我們早就熟悉的圖形圓是由曲線圍成的封閉圖形而上面的其他四個圖形是由線段圍成的封閉圖形多邊形的概念：我們把由線段圍成的封閉圖形叫做多邊形多邊形的標志：線段圍成；封閉圖形按照組成多邊形的邊的個數(shù)，有三角形、四邊形、五邊形、六邊形等等談重點 圓不是多邊形(1)圓是由曲線圍成的封閉圖形；(2)多邊形是由線段圍成的封閉圖形【例1】 下列圖形中多邊形有幾個？()A2個 B3個 C4個 D5個解析：多邊形概念包含兩個條件，首先是封閉圖形，從而排除各行中的最后一個；其次必須由

2、線段圍成，從而排除第一行的第二個圖形、第二行的第一、三個圖形答案：B解技巧 依據(jù)概念識別多邊形判斷一個圖形是否是多邊形一定要嚴格依據(jù)概念，而不能依靠自己的直覺解題，如第二行的第二個圖形，若僅憑感覺很容易出錯2.多邊形的分割(1)從一個n邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余與它不相鄰的頂點，可以將n邊形分割成(n2)個三角形我們把一個頂點與其余的不相鄰的頂點連接起來的線段叫做這個多邊形的對角線如圖所示，四邊形從一個頂點出發(fā)只有1條對角線，把四邊形分成2個三角形；五邊形從一個頂點出發(fā)有2條對角線，把五邊形分成3個三角形；六邊形從一個頂點出發(fā)有3條對角線，把五邊形分成4個三角形依此類推(2)在

3、n邊形內(nèi)任意取一點，將這一個點與各個頂點分別連接，可以將多邊形分割成n個三角形如圖所示，如果按這種方法分割多邊形，四邊形可以分割成4個三角形；五邊形可以分割成5個三角形；六邊形可以分割成6個三角形n邊形可以分割成n個三角形(3)在n邊形的一條邊上任找一點(頂點除外)，將該點與各頂點連接，這種方法可以把n邊形分割成(n1)個三角形如圖所示，如果按這種方法分割多邊形，四邊形可以分割成3個三角形；五邊形可以分割成4個三角形；六邊形可以分割成5個三角形n邊形可以分割成(n1)個三角形【例2】 用不同的方法把圖形全部分割成三角形，至少可以分割成10個三角形的多邊形是()A8 B10 C12 D14解析：

4、從一個12邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余和它不相鄰的頂點，可以將n邊形分割成10個三角形；在12邊形內(nèi)任意取一點，將這一個點與各個頂點分別連接，可以將多邊形分割成12個三角形；在12邊形的一條邊上任找一點(頂點除外)，將該點與各頂點連接，這種方法可以把n邊形分割成11個三角形所以至少可以分割成10個三角形的多邊形是12邊形答案：C3簡單圖案的設(shè)計生活中許多美麗的圖案都是由平面圖形構(gòu)成的如圖所示，生活中處處充滿了美麗而富有意義的圖案，而且有許多僅僅是用簡單的平面圖形構(gòu)成的設(shè)計圖案時，一般要先設(shè)計一些簡單的圖案，例如三角形，正方形，平行四邊形，圓等，再把這些圖案按要求變換，從而得到較復(fù)

5、雜的，具有美感的圖案【例3】 生活中經(jīng)?？吹揭恍┖唵蔚钠矫鎴D形組成的優(yōu)美圖案，你能說出下圖中的神秘圖案由哪些平面圖形組成的嗎？分析：通過仔細觀察，就可以找到組成各個圖案的基本幾何圖形解：(1)正方形；(2)正五邊形，三角形；(3)正五邊形，三角形，正六邊形，平行四邊形解技巧 設(shè)計圖案的基本圖形三角形、正方形、圓、平行四邊形、梯形、正五邊形、正六邊形等是設(shè)計圖案的基本圖形4按要求分割三角形一般就是按要求把三角形分為面積相等的幾部分，利用等(同)底等(同)高的兩個三角形的面積相等可以做出解答如圖所示的兩個三角形等底同高，所以面積相等【例4】 用三種不同的方法將下圖的三角形分成面積相等的4個小三角形

6、分析：把三角形的面積分為相等的四部分，憑同學(xué)們的生活經(jīng)驗即可解決，作圖時，要準確測量解：如圖所示5.多邊形的分割與拼接多邊形與三角形的關(guān)系是本節(jié)內(nèi)容的重點，也是中考考查的熱點，例如正方形的分割與拼接，長方形的分割與拼接在中考中經(jīng)常遇到解題時，要注意審清題意，按要求分割，弄清楚分割前后三角形的對應(yīng)關(guān)系任何一個多邊形都可以用不同的方法分割成若干個三角形，常見的有以下方法：(1)從一個頂點出發(fā)與其他頂點連接；(2)從多邊形的內(nèi)部找一點，連接這點與多邊形的各頂點；(3)在邊上找一點(除頂點之外)，連接該點與各頂點在分割三角形時，要按一定的標準去分割，注意各自的規(guī)律多邊形的拼接一般考查規(guī)則多邊形，例如正

7、方形，長方形，等腰梯形等的拼接，解題時，注意這些特殊多邊形的邊角的特點(以后還會進一步學(xué)習(xí))析規(guī)律 轉(zhuǎn)化思想在多邊形的分割中的應(yīng)用將多邊形分割成若干個三角形是解決多邊形問題的重要方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想【例5】 閱讀材料：多邊形上或內(nèi)部的一點與多邊形各頂點的連線，將多邊形分割成若干個小三角形圖1給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個，3個，4個小三角形，請你按照上述方法將圖2中的六邊形進行分割，并寫出得到的小三角形的個數(shù)試把這一結(jié)論推廣至n邊形圖1圖2分析：圖1中，是作一個頂點出發(fā)的所有對角線對其進行分割；是連接多邊形的其中一邊上的一個點和各個頂點，對其進行分割；是連接多邊形內(nèi)

8、部的任意一點和多邊形的各個頂點，對其進行分割解：如圖所示：第一種分割法可以把n邊形分割成(n2)個三角形；第二種分割法可以把n邊形分割成(n1)個三角形；第三種分割法可以把n邊形分割成n個三角形6七巧板及其應(yīng)用“七巧板”也稱“七巧圖”，就是用七塊不同形狀的木板構(gòu)成圖形的游戲在“七巧板”的七個部件中有五塊等腰直角三角形板(兩塊完全一樣的小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊完全一樣的大型三角形板)、一塊正方形板和一塊平行四邊形板制作七巧板的步驟如下：把正方形紙板分成七部分；剪開成七塊；分別涂上七種不同的顏色用七塊板不但可以拼成一個正方形，還可以拼出多種多樣的幾何圖形，如長方形、三角形、平行四邊形、

9、不規(guī)則的多角形等，如圖(1)；也可以拼成各種形態(tài)的人物形象，如圖(2)；或者動物，如貓、鴨子、烏龜?shù)?，如圖(3)；或者是橋、房子、寶塔等，如圖(4)；或者是一些漢字、英文字母等，如圖(5)【例61】 如圖，七巧板中小陰影三角形的面積是大陰影三角形的面積的幾分之幾？分析：小陰影三角形的面積是七巧板中小型三角形的面積，假設(shè)小型三角形的面積是1，則中型三角形的面積是小型三角形面積的2倍，是2；大陰影三角形的面積又是中型三角形的面積的2倍，是4；所以七巧板中小陰影三角形的面積是大陰影三角形的面積的.解：假設(shè)小陰影三角形的面積是1，則大陰影三角形的面積是4，所以小陰影三角形的面積是大陰影三角形面積的.【例62】 如圖，用七巧板拼出圖案后，并附上一句比較貼近圖形且有意義的解說詞：“書山有路勤為徑