定點數(shù)乘除運算及實現(xiàn)

1、 定點乘法運算可定點乘法運算可采用采用： 原碼進(jìn)行原碼進(jìn)行，又有原，又有原 碼碼一位乘法一位乘法和原碼和原碼兩位乘法兩位乘法。 補碼補碼進(jìn)行進(jìn)行，也有補碼，也有補碼一位乘法一位乘法和補碼和補碼兩位乘法兩位乘法 陣列乘法器陣列乘法器來實現(xiàn)。來實現(xiàn)。 2.3定點乘定點乘 除法運算及其實現(xiàn)除法運算及其實現(xiàn)定點乘法運算及其實現(xiàn)定點乘法運算及其實現(xiàn) 原碼原碼一位一位乘法乘法 運算規(guī)則運算規(guī)則： 被乘數(shù)被乘數(shù): : X原原 f f . .n n1 11 10 0 乘乘 數(shù)數(shù): : Y原原 f f . .n n1 11 10 0 則積則積: X*Y原原 =( X Y ) +( X * Y ) 式中式中： X

2、為被乘數(shù)符號為被乘數(shù)符號, , Y為乘數(shù)符號。為乘數(shù)符號。 1 1 原碼乘法原碼乘法乘積符號的運算法則是：乘積符號的運算法則是：“異或異或”(按位加按位加)運算得到。運算得到。 數(shù)值部分的運算數(shù)值部分的運算方法與普通的十進(jìn)制小數(shù)乘法類似。方法與普通的十進(jìn)制小數(shù)乘法類似。 下面通過一個具體例子從來說明：下面通過一個具體例子從來說明：例：例：設(shè)設(shè)A0.1101,B0.1011，則，則AB的的手工運算過程為：手工運算過程為： 將將多數(shù)一次相加多數(shù)一次相加，機器，機器難以實現(xiàn)難以實現(xiàn)。一般的加法器，只能。一般的加法器，只能 把兩個輸入數(shù)相加，多個位積的同時輸入是無法實現(xiàn)的把兩個輸入數(shù)相加，多個位積的同

3、時輸入是無法實現(xiàn)的機器字長機器字長（即加法器）（即加法器）只有只有n位位，而乘積位數(shù)增長了一倍，而乘積位數(shù)增長了一倍， 即即2n問題問題：解決方案解決方案: (a) 把一次求和的操作，變成把一次求和的操作，變成逐步累加求部分積逐步累加求部分積的操作的操作 (b) 將求積過程中左移位積的操作，改為將求積過程中左移位積的操作，改為位積不動位積不動，而是，而是上次部分積右移上次部分積右移的的 操作操作手工運算過程手工運算過程計算機內(nèi)運算的實現(xiàn)方法計算機內(nèi)運算的實現(xiàn)方法 例例 已知已知: X0101，Y0 110，用原碼一位乘法求用原碼一位乘法求X Y 原原？ X原原1 101 Y原原1 110 X

4、Y 原原 + (0 101) (0 110)則（則（0 101) (0 110)的過程為：的過程為： 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0X 0 101 0 101 0 0 0 0 0 0 0 010 10X 0 101 0 111 10 0 0 11 110解解：用原碼一位乘法實現(xiàn)：用原碼一位乘法實現(xiàn)X Y過程為：過程為： 所以：所以：X Y 原原 0+ 00111100011110 例：例： 已知已知X=+01101，Y=-01011，求，求Z=XY。 解：解： X原原=01101 【Y】原】原=11011 X Y 原原 0 1+ (01101) (0 1011) 則則(011

5、01) (0 1011)的過程為：的過程為： 所以：所以： X Y 原原 Z原原=1+0.10001111110001111 Z= 010001111原碼一位乘法的原碼一位乘法的乘法器乘法器結(jié)構(gòu)框圖結(jié)構(gòu)框圖如圖：所示： 原碼一位乘法的原碼一位乘法的乘法器工作原理：乘法器工作原理：乘法開始時，乘法開始時，“啟動啟動”信號使控制觸發(fā)器信號使控制觸發(fā)器Cx置置“1”，于是開啟時，于是開啟時序脈沖序脈沖T。 當(dāng)乘數(shù)寄存器當(dāng)乘數(shù)寄存器R1最末位為最末位為“1”時，部分積時，部分積Zi和被乘數(shù)和被乘數(shù)X在加法器在加法器中相加，中相加， 其結(jié)果輸出至其結(jié)果輸出至R0的輸入端。的輸入端。一旦打入控制脈沖一旦打

6、入控制脈沖T到來，控制信號到來，控制信號LDR0使部分積右移一位，與使部分積右移一位，與此同時，此同時，R1也在控制信號也在控制信號LDR1作用下右移一位，且計數(shù)器作用下右移一位，且計數(shù)器i計數(shù)計數(shù)一次。一次。當(dāng)計數(shù)器當(dāng)計數(shù)器i=n時，計數(shù)器的溢出信號使觸發(fā)器時，計數(shù)器的溢出信號使觸發(fā)器Cx置置“0”，關(guān)閉時，關(guān)閉時序脈沖序脈沖T， 乘法宣告結(jié)束。乘法宣告結(jié)束。 原碼兩位乘法原碼兩位乘法：基本原理類似基本原理類似：只是從最低位開始，每次：只是從最低位開始，每次 取兩位乘數(shù)與被乘數(shù)相乘，得到一次部分取兩位乘數(shù)與被乘數(shù)相乘，得到一次部分 積，與上次部分積相加后右移積，與上次部分積相加后右移2。有關(guān)

7、。有關(guān)原原 碼兩位乘法具體操作過程不再碼兩位乘法具體操作過程不再 詳細(xì)討論詳細(xì)討論2 補碼乘法補碼乘法 補碼一位乘法補碼一位乘法 補碼與真值的關(guān)系補碼與真值的關(guān)系：例：例：已知已知【Y】補補= Y0Y1 Y2 Yn， 證明真值：證明真值：Y（Y0） Yi 2 i=1n證明：證明：當(dāng)當(dāng) Y 0時，時， Y 0=0則真值則真值Y （0） 0Y1 Y2 Yni=1nYi 2 當(dāng)當(dāng) Y 0時，時， Y 0=1依補碼的定義：依補碼的定義：Y 【Y】補】補2 1Y1 Y2 Yn 2 1 0Y1 Y2 Yn 1 i=1nYi 2 所以：所以： Y（Y0）i=1nYi 2 例例 已知已知: N補補 1 110

8、1,N補補10011,求求N補補,N補補具有具有 的數(shù)值的數(shù)值N補補 1 1101 具有的數(shù)值為：具有的數(shù)值為：解：解：N120121122023124N補補10011 具有的數(shù)值為：具有的數(shù)值為：N124023022121120(13)10 (0.1875)10由補碼與真值轉(zhuǎn)換公式真值由補碼與真值轉(zhuǎn)換公式真值: Y=（0 )i=1nYi 2 = -Y0*20 + Y1*2-1 + Y2*2-2 + + Y n*2-n= -Y0*20 + (Y1*20-Y1*2-1) + (Y2*2-1 -Y2*2-2) + + = (Y1-Y0)*20+ + (Yn+1-Yn)*2-n+ (Y2-Y1)*2

9、-1在最后在最后1位后再補位后再補1位位(Yi+1 - Yi ) * 2-ii=0n = 例例 已知已知: N補補 0 . 1101,N補補1 . 0011, 求求N補補,N補補具有具有 的數(shù)值。的數(shù)值。解解: N補補0 . 1101 具有的數(shù)值為：具有的數(shù)值為： N(10)2-0(1-1)2-1(0-1)2-2(1-0)2-3 (0-1)2-4 13/16 N補補 1.0011 具有的數(shù)值為具有的數(shù)值為 N(01)2-0(0-0)2-1(1-0)2-2(1-1)2-3 (0-1)2-4 13/16 補碼乘法公式補碼乘法公式：X Y補補 = X補補 Y補補= X補補Y證明過程：證明過程：略略由

10、補碼乘法公式由補碼乘法公式及及補碼與真值的關(guān)系補碼與真值的關(guān)系得：得：X Y補補 = X補補Y= X補補【(Y1Y0)20(Y2-Y1)2 -1 (Yn+1Yn) 2-n】(Yi+1 - Yi ) * 2-ii=0n =X補補上式中上式中Yn+1Yn 只有只有4中情況：中情況：00 001 110 1 11 0下面通過下面通過例子例子來來熟悉補碼一位乘法的操作過程熟悉補碼一位乘法的操作過程：+ 0+ - X補補+ X補補+ 0例例 已知已知: X0101，Y0 110，用補碼用補碼一位乘法一位乘法求（求（X Y）補補 解：解：用補碼實現(xiàn)用補碼實現(xiàn)X Y過程為：過程為： X補補1 011Y補補1

11、 010 Y補補 1 0100則用補碼則用補碼一位乘法一位乘法的過程為：的過程為：0 00000 0000 000X補補0 1010 101 00 000 00 010 10X補補1 0111 101 101 1 10 110X補補0 101 X補補0 1010 0 11 1 1 0X Y 補補 0. 011110所以：所以：實現(xiàn)補碼一位乘法的實現(xiàn)補碼一位乘法的乘法器乘法器的邏輯框圖的邏輯框圖如圖所示如圖所示 補碼兩位乘法：是補碼兩位乘法：是把補碼的一位乘法的兩個單步操作和并成一個操作。把補碼的一位乘法的兩個單步操作和并成一個操作。 即：即： 【 （Z i+2i+2）補補】=2-2 【 Z i

12、 i補】+ (Yn+1 +Yn2Y n n1 1) 】 【X 】補3 陣列乘法器陣列乘法器. 不帶符號的陣列乘法器不帶符號的陣列乘法器例：例：44位不帶符號的陣列乘法器邏輯圖：位不帶符號的陣列乘法器邏輯圖：2.3.2 定點除法運算及其實現(xiàn)定點除法運算及其實現(xiàn) 除法除法運算可采用：運算可采用： 原碼進(jìn)行原碼進(jìn)行，又有，又有恢復(fù)余數(shù)法恢復(fù)余數(shù)法和和不恢復(fù)余數(shù)法不恢復(fù)余數(shù)法 補碼補碼進(jìn)行進(jìn)行，采用，采用加減交替法加減交替法 陣列除法器陣列除法器 1. 原碼除法運算：原碼除法運算：是指是指用原碼表示兩數(shù)相除，求出原碼表示的商用原碼表示兩數(shù)相除，求出原碼表示的商 運算規(guī)則運算規(guī)則：設(shè)有：設(shè)有n位定點小數(shù)

13、位定點小數(shù)(定點整數(shù)也同樣適用定點整數(shù)也同樣適用)： 被除數(shù)：被除數(shù)：原原f .n110 除數(shù)：除數(shù)：原原f .n110 則有商則有商q其原碼為：其原碼為： q原原(f f)+(0.n110/0.n110) 原碼除法中據(jù)原碼除法中據(jù)對余數(shù)的處理不同，又對余數(shù)的處理不同，又可分為：可分為：恢復(fù)余數(shù)法恢復(fù)余數(shù)法和和加減交替法加減交替法例例：X=0.1001，Y=0.1101，手算手算X/Y的過程為：的過程為：恢復(fù)余數(shù)法的計算過程恢復(fù)余數(shù)法的計算過程和手算相似和手算相似： 原碼恢復(fù)余數(shù)法原碼恢復(fù)余數(shù)法解解：符號位為：符號位為：1數(shù)碼的手算過程為：數(shù)碼的手算過程為：最后：最后：余數(shù)余數(shù)：R0.0001

14、24商：商：Q0.1011(1) 每次每次都是都是由心算來比較余數(shù)和除數(shù)的大小由心算來比較余數(shù)和除數(shù)的大小，余數(shù)大時，商，余數(shù)大時，商1； 余數(shù)小時，商余數(shù)小時，商0。第一次比較時，余數(shù)就是被除數(shù)。第一次比較時，余數(shù)就是被除數(shù)。(2) 每做一次減法，總是每做一次減法，總是保持余數(shù)不動保持余數(shù)不動，而，而除數(shù)向右移一位除數(shù)向右移一位。(3)最后最后據(jù)符號位據(jù)符號位運算的結(jié)果運算的結(jié)果給商給商以以正確的符號正確的符號對上述手算計算過程分析得：對上述手算計算過程分析得：為適應(yīng)機器運算，需要進(jìn)行改進(jìn)為適應(yīng)機器運算，需要進(jìn)行改進(jìn)： （1） 用用減法減法來比較余數(shù)和除數(shù)的大小來比較余數(shù)和除數(shù)的大小 （2）

15、 除數(shù)右移改為余數(shù)左移除數(shù)右移改為余數(shù)左移。 (3)定點除法運算必須要求定點除法運算必須要求被除數(shù)的高被除數(shù)的高n位小于除數(shù)位小于除數(shù)，否則益處，否則益處下面就通過下面就通過例子例子講一下講一下原碼恢復(fù)余數(shù)法的在計算機的操作過程原碼恢復(fù)余數(shù)法的在計算機的操作過程：例例：X=0.1001，Y=0.1101，用原碼恢復(fù)余數(shù)法，用原碼恢復(fù)余數(shù)法求求X/Y？解：解： 0.1001/ 0.1101用原碼恢復(fù)余數(shù)的過程為：用原碼恢復(fù)余數(shù)的過程為：/y原原0 11(f f)+ | x| / | y| 符號：符號：QS| x| 補補 | Y| 補補| Y| 補補0.10010.11011.0011余數(shù)余數(shù)0

16、商商1即即q3=1所以所以0.1001/ 0.1101用原碼恢復(fù)余數(shù)的過程為：用原碼恢復(fù)余數(shù)的過程為：0. 1 0 0 1 y +| y| 補補 1. 0 0 1 1 1. 1 1 0 0 余數(shù)余數(shù)0商商1即即q1=1左移左移1位位0. 1 0 1 0- | Y| +| y| 補補1. 0 0 1 11. 1 1 0 1余數(shù)余數(shù)0 商商1即即q4=1所以：商：所以：商：Q0.1011, 余數(shù)余數(shù)：R0.000124用用原碼恢復(fù)余數(shù)法原碼恢復(fù)余數(shù)法：求求| X | / | Y |的的解題步驟：解題步驟： y*= Y先將先將被除數(shù)被除數(shù)/余數(shù)余數(shù)減去減去除數(shù)除數(shù)得新余數(shù)得新余數(shù)Ri 若若Ri0：商

17、商“1”，再將，再將Ri左移一位后減除數(shù)左移一位后減除數(shù)(即即 2Riy*)，得新余數(shù)，得新余數(shù)Ri 若若Ri0：商商“0”,先將先將Riy*，即完成恢復(fù)余數(shù)的運算，再對，即完成恢復(fù)余數(shù)的運算，再對Ri y*左左 移移 一一 位后減除數(shù)，即位后減除數(shù)，即2(Ri y*)- y* ，得得新的余數(shù)新的余數(shù)Ri 再將再將上述過程上述過程重復(fù)重復(fù)n（除數(shù)位數(shù)）（除數(shù)位數(shù)）次次，共，共上上n位商位商 最后最后所得的商和余數(shù)即為所得的商和余數(shù)即為| X | / | Y | 的商及余數(shù)的商及余數(shù)原碼恢復(fù)余數(shù)法算法：原碼恢復(fù)余數(shù)法算法：XY=R0商商2R Y=R0商商 02(R+Y) Y=R 分析原碼恢復(fù)余數(shù)

18、法得知：分析原碼恢復(fù)余數(shù)法得知：當(dāng)余數(shù)當(dāng)余數(shù) Ri0時，商時，商“1”，再對，再對Ri左移一位后減除數(shù)，即左移一位后減除數(shù)，即2Riy*當(dāng)余數(shù)當(dāng)余數(shù) Ri0時，商時，商“ 0”，先將，先將Ri+y*，再，再2(Ri+y*)- y*，也即，也即2Ri+y*。原碼恢復(fù)余數(shù)法可歸納為原碼恢復(fù)余數(shù)法可歸納為：當(dāng)余數(shù)當(dāng)余數(shù)Ri0時時,商商“1”，做，做2Riy*運算運算當(dāng)余數(shù)當(dāng)余數(shù) Ri0時，商時，商“ 0”，做，做2(Ri +y*) -y*運算運算用用原碼原碼加減交替法加減交替法：求求| X | / | Y |的的解題步驟：解題步驟： 先將先將余數(shù)余數(shù)減去減去除數(shù)除數(shù)得新余數(shù)得新余數(shù)Ri 若若Ri0：

19、商商“1”，做，做2Riy*運算運算 若若Ri0：商商“0”, 做做2Ri+y*運算運算 再將再將上述過程上述過程重復(fù)重復(fù)n（除數(shù)位數(shù)）（除數(shù)位數(shù)）次次，共，共上上n位商位商 最后最后所得的商和余數(shù)即為所得的商和余數(shù)即為| X | / | Y | 的商及余數(shù)的商及余數(shù) 原碼不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）原碼不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）原碼不恢復(fù)余數(shù)法算法：原碼不恢復(fù)余數(shù)法算法：XY=R0商商2R Y=R0商商 02R+Y=R 原碼加減法可歸納為原碼加減法可歸納為：當(dāng)余數(shù)當(dāng)余數(shù)Ri0時時,商商“1”，做，做2Riy*運算運算當(dāng)余數(shù)當(dāng)余數(shù) Ri0時，商時，商“ 0”，做，做2Ri +y*運算運算例：例：

20、 已知已知: X0101，Y0 110求：【求：【x/y】原？用不恢復(fù)余數(shù)法解?！吭?？用不恢復(fù)余數(shù)法解。 X /Y 原原 0+ (0 101) (0 110)X 原原 1101Y 原原 0 110-Y 補補 1 10 則（則（0 101） (0 110)的原碼的原碼不恢復(fù)余數(shù)法不恢復(fù)余數(shù)法的過程為：的過程為： 11 Y 1 0 1 0 1 1 1 1 余數(shù)余數(shù)0商商1即即q1=10 1 0 0 Y 1 0 1 0 1 1 1 0余數(shù)余數(shù)0 商商1即即q2=11 1 0 0 Y 0 1 1 0 0 0 1 0余數(shù)余數(shù)0商商0即即q3=0 x/y原原 余數(shù)為：余數(shù)為： 0. 0102-3 1 1

21、解：解：例：例： 已知已知: x0.1011,y0 .1101 ,求【求【x/y】原？用恢復(fù)余數(shù)及加減交替法解?！吭坑没謴?fù)余數(shù)及加減交替法解。解解： | x | 0 1011 | y |0 1101(1) 恢復(fù)余數(shù)法解恢復(fù)余數(shù)法解0 1011 /0 1101的過程為：的過程為：【x/y】原】原0 0 + | x | / | y | y| 補補1 0011 故故 【x/y】原】原=0.1101 余數(shù)為余數(shù)為：0.01112-故故：x/y原原=0.1101 余數(shù)為：余數(shù)為： 0. 01112- (2)不恢復(fù)余數(shù)法解不恢復(fù)余數(shù)法解0 1011 /0 1101的過程為：的過程為：補碼除法補碼除法：指

22、指“符號位和數(shù)碼位一起參加除法運算，參加運算的操作符號位和數(shù)碼位一起參加除法運算，參加運算的操作數(shù)數(shù) 是補碼，求得的商數(shù)和余數(shù)也是補碼。是補碼，求得的商數(shù)和余數(shù)也是補碼。補碼除法運算方法補碼除法運算方法：采用采用加減交替法加減交替法。補碼除法補碼除法加減交替法加減交替法的的操作過程操作過程： 2.補碼除法運算補碼除法運算 重復(fù)第重復(fù)第步次步次 第次上商后，不再移位及，操作。第次上商后，不再移位及，操作。 若商為負(fù)數(shù)，則在商末尾加若商為負(fù)數(shù)，則在商末尾加 若余數(shù)與被除數(shù)異號，則要糾余：若余數(shù)與被除數(shù)異號，則要糾余： 若，同號，用糾余，若，同號，用糾余， 若，異號，用糾余，若，異號，用糾余， 若若

23、X,YX,Y同號，做同號，做- -得余數(shù)，商為商的符號位，再做得余數(shù)，商為商的符號位，再做+ +得得若若X,YX,Y異號，做異號，做+ +得余數(shù)，商為商的符號位，再做得余數(shù)，商為商的符號位，再做- -得得 若余數(shù)與同號，商，后做。若余數(shù)與同號，商，后做。 若余數(shù)與異號，商，后做。若余數(shù)與異號，商，后做?！?X】補】補 【 】補】補【2- 】補】補 【】補【】補, ,【】補【】補, ,【】補【】補/ /【】補的過程【】補的過程為：為：YNX,YX,Y同號？同號？Y商商“1”1”再作再作得得商商“”再作再作, ,同號？同號？商商“”再作再作商商“”再作再作 例：例： 已知：已知： X0.10 ，Y+0.110， 求【求【 XY