物不知數(shù)——中國剩余定理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上“物不知數(shù)”孫子定理有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？即，一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個整數(shù).中首次提到了同余方程組問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數(shù)學(xué)文獻中也會將中國剩余定理稱為孫子定理.孫子問題的解法，以現(xiàn)代的說法，是找出三個關(guān)鍵數(shù)70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，然後總加起來，除以105的余數(shù)就是答案。 即題目的答案為： 702+213+152 =140+63+30 =233 233-2105=23 公式：70a+21b+15c-105n

2、 關(guān)鍵是找出70 21 15 數(shù)學(xué)家于1247年卷一、二大衍類對“物不知數(shù)”問題做出了完整系統(tǒng)的解答.明朝數(shù)學(xué)家將解法編成易于上口的孫子歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五使得知這個歌訣給出了模數(shù)為3、5、7時候的同余方程的秦九韶解法.意思是：將除以3得到的余數(shù)乘以70，將除以5得到的余數(shù)乘以21，將除以7得到的余數(shù)乘以15，全部加起來后減去105（或者105的倍數(shù)），得到的余數(shù)就是答案.比如說在以上的物不知數(shù)問題里面，按歌訣求出的結(jié)果就是23.又例 今有一類數(shù)，除以3余數(shù)是2，除以5余數(shù)是3，除以7余數(shù)是4.試問這類數(shù)中最小的正整數(shù)是多少？ 35+63+60-105

3、=53 53 第一步：在 5,7的公倍數(shù)中找出“除以3余數(shù)是2”的數(shù)；35第二步：在 3,7的公倍數(shù)中找出“除以5余數(shù)是3”的數(shù)；21,42, 63第三步：在 3,5的公倍數(shù)中找出“除以7余數(shù)是4”的數(shù)，15,30,45, 60 35+63+60=158,158肯定是符合“除以3余數(shù)是2，除以5余數(shù)是3，除以7余數(shù)是4”的，但不一定最小，去掉若干個3,5,7的最小公倍數(shù)，使之變成最小的正整數(shù)。 3，5,7=105， 35+63+60-105=5353就是所要求的符合條件的數(shù)。練習(xí)1 有一類數(shù)，除以7余2，除以8余4，除以9余3。問這類數(shù)中最小的正整數(shù)是多少？ 練習(xí)2 有一類自然數(shù)，其中每個數(shù)與3的和都是5的倍數(shù)，與4的差都是7的倍數(shù)。問這個數(shù)最小是多少？練習(xí)3 （變式練 ） 有三個吉利數(shù)字，888，518，666，用他們分別除以一個相同的自然數(shù)，所得的余數(shù)為a，a+7，a+10.試問這個自然數(shù)是多少？ 答案1 72+252+336-50