相似變換及其應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 本科畢業(yè)論文題 目： 相似變換及其應用院 （部）： 理學院專 業(yè)： 信息與計算科學班 級： 信計 091姓 名： 李博學 號： 指導教師： 李宗成完成日期： 2013 年 6 月 10 日精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導師的指導下進行的研究工作及取得的研究成果。除文中已經(jīng)注明引用的內容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過得科研成果。對本文的研究作出重要貢獻的導師及同學，均已在文中以明確方式標明并表示了謝意。 簽名： 日 期：關于論文使用授權的說明本人完全了解山東建筑大學有關保留、使

2、用學位論文的規(guī)定，即：學校有權保留送交論文的復印件，允許論文被查閱和借閱，學?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨热?，可以采用影音、縮印或其他復制手段保存論文。（保密的論文在解密后應遵守此規(guī)定）簽名： 導師簽名： 日 期： 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)目 錄3.8 在微分方程中的應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24謝謝 辭辭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3、7參考文獻參考文獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)摘摘 要要相似變換是高等代數(shù)中的一個重要內容，也是高等數(shù)學中很多分支問題的研究工具。本文通過學習和研究高等代數(shù)、高等數(shù)學等內容,并充分理解相關基本概念與基本方法,主要解決了兩個方面的問題。第一個是相似變換的定義與性質，第二個是相似變換的應用方面。本文在論文的論證過程中，主要運用了矩陣，函數(shù)的概念, 在參考大量文獻基礎上，通過自己的研究與總

4、結，列舉具體的實例展示了相似變換在各個方面的應用。關鍵詞關鍵詞：相似變換；矩陣；特征值; 對角化精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)Similarity Transformation and Its ApplicationsAbstract Similarity transformation is an important element in the advanced algebra, and it is a research tool in many branches of higher mathematics. The article has solved three aspect

5、s of questions through learning and researching the contents of higher mathematics, advanced algebra , and understanding the basic concepts and basic methods. The first is in terms of the definition and nature of similarity transformation; the second is in terms of the applications of similarity tra

6、nsformation. In this paper, we mainly use the concepts of the function and in process of argumentation. The paper shows applications of similarity transformation in all kinds of aspects in specific examples through my own research and thought on the basis of consulting a number of Literature. Keywor

7、ds: Similarity transformation; matrix; eigen value; diagonalization 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 1 前前 言言 1.1 選題的背景選題的背景矩陣相似變換是線性代數(shù)里面的一項重要內容，也是解決線性代數(shù)問題的一個重要工具，它在處理線性代數(shù)的有關問題時具有一定的獨特作用，如求矩陣特征值、特征向量、求矩陣對角型、求矩陣若當標準型等。相似變換的應用幾乎貫穿線性代數(shù)內容的始終，幾個主要概念和計算幾乎都涉及到。它正如一只看不見的手，將線性代數(shù)各個部分看似零散的知識點統(tǒng)一起來，形成一個整體。同時，作為矩陣運算的一種方法，其在高

8、等代數(shù)中有著極為重要的地位，也是高等代數(shù)的教學重點和難點。雖然相似變換的內容比較簡單,但它貫穿于整個高等代數(shù)理論的始終,應用相似變換證明命題,過程容易被接受。所以,許多學者們也在不斷地挖掘相似變換的潛力,盡量用它來描述、證明、計算各種問題，使相似變換能在數(shù)學領域及其它科學領域中發(fā)揮更大的作用。但是目前國內關于矩陣初等變換的研究多是就其在某一方面如二次型、解方程組等的應用，而國外很多矩陣、線性代數(shù)方面的研究基于矩陣的相似變換，作為研究的工具，卻缺少矩陣相似變換的專論。因此，一方面矩陣的初等變換處境尷尬，作為必不可少的工具卻不被重視，另一方面即使被重視，關于它的理論知識、研究成果凌散、不系統(tǒng)。本文

9、旨在綜合前人在矩陣相似變換方面的諸多研究，對矩陣相似變換的相關理論成果做全面的梳理整合，使矩陣相似變換的理論更全面、細致，同時在借鑒前人的基礎上，提出自己的新見解，希望能對矩陣理論的教學提供參考作用。1.2 本文要解決的問題和所用的方法本文要解決的問題和所用的方法本文主要解決了三個問題：(1) 相似變換的基本概念及性質；(2) 相似變換在矩陣運算中的應用；精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(3) 相似變換在其他數(shù)學問題中的應用。本文解決的問題主要用的是推理證明和計算，并對它的應用加以舉例用實際的數(shù)學數(shù)據(jù)來證明問題。加深對相似變換的了解。1.3 成果及其意義成果及其意義(1) 通過對第一

10、個問題的研究，我們可以了解相似變換的基本概念和運算性質，從而可以全面的了解矩陣的相似變換；(2) 通過對第二個問題的研究，我們可以得到相似變換在矩陣變換與運算中的應用；(3) 通過對第三個問題的研究，我們可以認識到相似變換在解決其他數(shù)學問題方面也有著重要的意義；2 相似變換相似變換及其性質及其性質2.1 相似變換的基本概念相似變換的基本概念定義定義 2.12.1 設 A、B 為數(shù)域 F 上兩個 n 階方陣,如果存在 F 上的 n 階可逆矩陣P,使, （1）APPB1則稱 B 是 A 的相似矩陣,或稱矩陣 A 與 B 相似. 反之，兩個矩陣 A 與 B 相似，則存在可逆矩陣 P，使。運算稱作對

11、A 進行相似變換.可逆矩陣APPB1APP1P 稱作把 A 變?yōu)?B 的相似變換矩陣。關于矩陣的初等變換，有以下幾個引理。引理引理 1.11.1對一個矩陣作初等行變換，就相當于在左邊乘上相應的初等矩陣；對作初等列變換，就相當于在右邊乘上相應的初等矩陣。引理引理 1.21.2級矩陣為可逆的充分必要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積。因此，若、兩個階方陣相似，則存在階可逆方陣使 B=P AP，也1意味著存在一些初等矩陣 P ，P ，使 P=P P 。初等矩陣都是可逆矩陣，且1i1i精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)它們的逆矩陣還是初等矩陣，于是有：B=（P ，P ）A（P P ）=PPA

12、P P . （2）1i11i111i1i其中，P（i，j）= P（i，j），P（i（k）= P（i（k），111k0，P（i，j（k）=P（i，j（-k）。1上式中的 P與 P 是成對出現(xiàn)，可記作 P=Q，同理也可表示 B。11111于是，由 A 到 B 所做的相似變換運算 P AP 相當于對 A 做一系列初等行變1換與列變換，不妨稱每做一對初等行變換與列變換為一次相似初等變換。定義定義 2.22.2 以下三種變換統(tǒng)稱矩陣的相似變換;將 n 階矩陣 A 的第 i 行與第 j 行交換, 接著將其第 i 列與第 j 列交換, 1稱矩陣的第一種相似變換; 將矩陣 A 的第 i 行乘以 k(k0),

13、接著將其第 i 列乘以,稱作矩陣的 2k1第二種相似變換;； 將矩陣的第 j 行乘以 k 加到第 i 行, 接著將其第 i 列乘以-k 加到第 j 3列，稱作矩陣的第三種相似變換。定理定理 2.12.1 任意 n 階方陣 A 經(jīng)相似變換后得到的新矩陣與 A 相似。由（1）式表明，只要對 A 施行一系列相似變換，矩陣 A 就可化為 B，并將（1）改寫為 （3）iPPEPP21把（2）與（3）比較得：當對 A 施行有限次相似變換化為 B 時，對 E 只需做其中相應的初等變換，則就可化為。EP定理定理 2.22.2 設 A 為 n 階方陣，做相似變換，則。PBEAEA作相應的列變換對做相似變換對_A

14、PPB1例例 2.12.1 設 A=，求，使。4312PAAPP1精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)解：解：.300141321001341121001431222331PABAcr驗證得。AAPP12.2 相似變換的性質及相關推論相似變換的性質及相關推論 性質性質 2.12.1 相似矩陣有相同的特征多項式、相同特征值、相同的行列式、相同的秩。性質性質 2.22.2 相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。當它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。性質性質 2.32.3 若 A 與 B 相似，則與相似。 （為正整數(shù)）kAkBk性質性質 2.42.4 若 A 與 B 相似，則與相似。 （m 為正整數(shù)）

15、mAmB性質性質 2.52.5 若 A 與 B 相似，而是一個多項式，則與相似。)(xf)(Af)(Bf性質性質 2.62.6 ).)()(2111211PAPPAPPAAP性質性質 2.72.7 （為任意常數(shù)）PAPkPAPkPAkAkP21211122111)(21,kk注：注：（1）與單位矩陣相似的 n 階矩陣只有單位陣 E 本身，與數(shù)量矩陣相似的 n 階方陣只有數(shù)量陣本身。kEkE （2）有相同特征多項式的矩陣不一定相似。推論推論 2.12.1 若矩陣與對角陣相似，則nnAn21 是 A 的 n 個特征值。 n,21 推論推論 2.22.2 每一次相似變換都把一個 n 階矩陣 A 變換

16、為與其相似的另一個同階矩陣 B。推論推論 2.32.3 用 n 階矩陣 A 和 n 階單位矩陣 I 以及 n 階零矩陣 O 構造mn2n2n 階分塊矩陣，對其中的 A 施加相似變換，使之變換為 B，則 B 相似于精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)A。與此同時左下角的 n 階單位矩陣 I 則變換成為相似變換矩陣 P，而右上角m的 n 階單位矩陣 P 。1例例 2.22.2 設 n 階方陣 A 有 n 個互異的特征值，設 n 階方陣 B 與 A 有相同的特征值。證明：A 與 B 相似。證：證：設 A 的 n 個互異的特征值，則存在可逆矩陣，n,211P使得 nAPP21111又也是 B的特

17、征值，所以存在可逆矩陣，n,212P使得 nAPP2121221211APPAPPBPAPPP121122即BPPAPP)()(121121即存在可逆矩陣，使得PPP121BAPP1即 A 與 B 相似。例例 2.32.3 判斷下列兩矩陣 A，B 是否相似。, , . .111111111A00100100nB解：解：因，A 的特征值為。1)()det(nnEA0,21nn又 A 是實對稱矩陣，存在可逆矩陣，使得1P，)0 , 0 ,(111ndiagAPP精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)還可求得,)()det(1nnEB即 B 與 A 有相同的特征值。對應特征值，有 n-1 個線性

18、無關的特征向量，故存在可逆矩陣，使得0,2n2P，212BPP從而 ，212111BPPAPP即 ,121112BPAPPP故 A 與 B 相似。3 相似變換的應用相似變換的應用3.1 在求矩陣特征值與特征向量中的應用在求矩陣特征值與特征向量中的應用求矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中最常見的問題，以往我們是通過帶入公式求得特征值，在這里我們可以運用相似變換進行解決。0 IA定義定義 3.13.1 設 A 是一個 n 階方陣，若存在著一個數(shù)和個非零 n 維向量 x，使得xAx則稱是方陣 A 的特征值，非零向量 x 成為 A 對應于特征值的特征向量，或簡稱為 A 的特征向量。下面將具體論述矩陣特

19、征值的求法。 根據(jù)推論 2.1，若方陣 A 與 C 相似，則他們有相同的特征值，又由于上（下）三角矩陣的特征值即其主對角線上的元素。 因此，求 n 階方陣 A 的特征值，可先通過相似變換將 A 變換為一個上（下）三角矩陣，則該三角矩陣的主隊角元素即為 A 的全部特征值。例例 3.13.1 設 3 階方陣 A=，下面用相似初等變換求其特征值。411301621精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)0001000000100000011004110103010016213231)1()2(rrrr0001000001100002011001111100102_01001 這里取下三角矩陣 C=

20、，這是由 A 到 C 的變換矩陣及其逆矩111010001陣 P=，P=，滿足 PAP=C=,即 A 與 C 相似，10011020111001102011111010001由引理 3 知它們的特征值是相等的，再由=0 知 C 的特征值CI =1，于是我不經(jīng)求解特征方程，而是通過做相似初等變換找出 A 的全123部特征值=1。123例例 3.23.2 設，求矩陣 A 的特征值。0167121700140013A解：解：將 A 作相似變換： 0167121700140013A)21()21(122101671217001400211ccrr 112570150001400010125711500

21、01400010167121700140001)1(3443ccrr所以 A 的特征值為 1（四重） 下面將具體論述特征向量的求法n 階方陣 A 的若當標準型矩陣 J 是上（或下）三角矩陣，于是 J 的主對角精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)線上的 n 個元素即 A 的全部 n 個特征值，在注意到吧 A 變換成 J 的相似變換矩陣 P 是可逆的，即 P 的列向量組是一線性無關組。據(jù)此，我們再以 3 階方陣 A為例，不經(jīng)過求線性無關組找出 A 的線性無關特征向量。由例 3.1 中計算結果，對于 3 階方陣 A=，存在 3 階可逆矩陣411301621P=，使得 。100111201JAP

22、P1110010001 令P=（P ，P ，P ），則有A（P ，P ，P ）=（P ，P ，P ），123123123111010001由此立即可得 A P =1 P ，A P =1 P ，這正說明P =，P =是A的屬于113310113112特征值 =1的兩個線性無關的特征向量，它們也是 A的全部線性無關的特征向量。3.2 在矩陣對角化中的應用在矩陣對角化中的應用 將矩陣對角化是矩陣運算中一個很重要的步驟，是解決許多代數(shù)問題的基礎，利用相似變換對角化矩陣能夠大大簡化計算。 定義定義3.23.2 對n階方陣A，若，使為對角陣，則稱方陣A對角0PAPP1化。 定理定理3.1:3.1: 若n階

23、矩陣A可對角化, 則A必可以經(jīng)相似變換化為對角形。證明：證明：A可對角化, 所以必然存在n 階可逆矩陣T , 使TAT=1而T=E Ex211t其中E 為初等矩陣，則T=EEEi11t11t11精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) PPPAP PP =(*)1t11t1111ttx21(*)表明對A作一系列相似變換可將A化為對角形。由以上定理證明過程知, 運用相似變換將A化為對角形, 其列初等變換對應的初等矩陣之積為P ，P P =T。所以在對角化的過程中可同時求出T。12t 例例3.33.3 設A=，找一可逆矩陣T，使TAT為對角型。7000210111 解解: : 3IA000012

24、510017000253001253)251()251(2112TTT=T= TAT= 1000125100117253253 例例3.43.4 設，求一個可逆矩陣T，使TAT為對角型。4101141001411014A1精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 解解: : 1221133124424_10000100101001014101041000420024_10000100101000014101041002420014_ccrrccrrccrrIA1021410121411021410121414000040000600002_10000100101000114011041000

25、620002于是，102141012141102141012141T使得40000400006000021ATT定理定理3.23.2 若與對角矩陣相似（即A能對角化） ，則A有n個線性無關的特征nA向量。證明證明：由A能對角化APPP1, 0 使精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) ,PAP把P用其列向量表示為即12(,).nPp pp ),(),(212121xnnppppppA=).,(2211nnppp),(),(2, 121nnApApAppppA ),(2211nnppp于是有 iiiApp(1,2, ).in可見是A的特征值，而P的列向量就是A的對應于特征值的特征向量。iip

26、i又由于P可逆，所以線性無關nppp,213.3 在分塊矩陣中的應用在分塊矩陣中的應用 針對一些比較特殊的矩陣，將其分塊成若干子塊，通過運用相似變換的思想，可以迅速接近問題本質，簡化計算。 定義定義 3.33.3 設為矩陣，將成分塊矩陣，且的行分法與列分法一致，下列三種初等變換，稱為分塊矩陣的相似變換。（）把 A 的第 i，J 兩行(列)互換，接著把所得新矩陣的第 i，j 兩列(行)互換；()把 A 的第 i 行(列)左(右)乘可逆矩陣 C，接著把所得新矩陣的第 i 列(行)右(左)乘 C1；(3)把 A 的第 j 行(列)左(右)乘矩陣 P 倍加到第 i 行(列)，接著把所得新矩陣的第 i

27、列(行)右(左)乘矩陣一 P 倍加到第 j 列(行)； 定理定理 3.33.3 設 A 為 nn 矩陣，將 A 分成分塊矩陣，且 A 的行分法與列分法一致，經(jīng)有限次分塊矩陣的相似變換得到 B，那么 A 與 B 相似。 證明：證明：先證對A做一次分塊矩陣的相似變換的情形。在這里僅對第三種情形精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)進行證明，類似的可證第一、第二種情形。把A的第J行左乘矩陣P倍加到第i行，接著把所得新矩陣的第i列右乘矩陣一P倍加到第J列得到B，由性質1和性質3得B=I(J(P)，i)A I(j(一P)，i)=I。(J(一)，i)A I(j(一P)，i)，即A與B相似。用數(shù)學歸納法

28、，定理 1 得證。 例例3.53.5 求s=的特征值。3131131331311313解：解：設s=其中A=，對s進行分塊矩陣的相似變換。AAAA3313AAAA000A由定理，與相似，因此有相同的特征值，而的特征值很000A000A容易求得=，所以S的特征值為=0。123412343.4 在求矩陣若爾當標準型中的應用在求矩陣若爾當標準型中的應用在通常的教科書中，要先求矩陣的初等因子或者特征值才能求它的可逆矩陣與若當矩陣，而通過相似變換可以直接求得可逆矩陣與若當矩陣。定義定義 3.43.4 形如的矩陣稱為若當塊，其中100000001000),(tJ是復數(shù)。中的 t 表示若當塊的階數(shù)。),(t

29、J由若干個若當塊組成的準對角矩陣就是若當形矩陣，其一般形式是：，其中SAAA21., 1),(sitJAiii精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)即可以相等。sttiiiiiiiiitJA,111),(21 定理定理 3.53.5 任一 n 階矩陣 A 都可經(jīng)一系列初等相似變換得到若當形矩陣 J 證明：證明：設存在一可逆矩陣 T，使 J=TAT1因為可逆矩陣可以寫成一系列初等矩陣的乘積：T= P ，P P（P ，i=1,2，m）12mi所以，J= TAT=（P ，P ）A（P ，P ）=（P（PA 11m11mm111P ）P ）1m即 A 經(jīng) m 次初等相似變換得到 J。所以，A 可可

30、經(jīng)一系列初等相似變換得到若當形矩陣 J。 在高等代數(shù)中說明了矩陣A右乘以一個初等矩陣相當于A做一次初等列變換；A左乘以一個初等矩陣相當于A做一次初等行變換。因此，以上證明說明矩陣A可經(jīng)一系列行和列的初等變換得到若當矩陣J只不過每一次要同時做行和列且行與列變換是互逆的。 例例3.63.6：求矩陣A=的若當標準形及過渡矩陣。502613803解：解：= =IA1021014300150001080121_21100014300150201080343_4310001000150261380331132112ccrrccrr精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1221_ccrr81210043

31、100010011000181_81210043100010081000133rr于是 J=, P=100110001812100431010 第一步中的k=-是由方程(-1)(-k)+3k+3=0得出，為了消去第二行第一列43中的3，第二步的k=是由方程(-k)(-5+8k)-2+3k=0得出，為了消去第三行第一21列的-2，第三步中第一行第三列的8不能通過第三類互逆初等變換化為0，因為(-k)(-1)+8+(-k)=80，因而只能通過第一類互逆初等變換把它移到第二行，第四步中第二行第三列 的8不能通過第三類互逆初等變換化為0，因為(-k)(-1)+8+(-k)=80，因而只能通過第二類互逆

32、初等變換把它化成1。 例例3.73.7 設3階矩陣A=,求它的若當標準型及相應的相似變換411301621J矩陣。 解：解：000100000011000201100210211100201001) 1(_) 1 ()2(_)2(00040000001000000110041101030100162121121331ccrrccrr精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)000100000111000201100010311010201001) 1(_) 1() 1 (_) 1(332332crccrr由此可知，由A到的變換矩陣，J100111201P其逆矩陣=，滿足1P100311201J

33、APP11100100013.5 在線性變換中的應用在線性變換中的應用利用相似變換可以求得矩陣線性變換中基矩陣。引理引理 3.13.1 若是 n 維向量空間 V 的一個線性變換， 是 V 的一n21個基，且（） ，（） ）=（）A，則1,nn,21（1） 關于的矩陣為niiakaaa),(,1B=T（-k）AT (k)=TA T (k)。jiji)(1kjiji （2） （） ，（）（k）=（）B(11i)(nnik21其中 B=D)()(1kADkii（3）關于的矩陣為 B=。nijaaaaa,21APijPij1從引理知，若已知關于一個基的矩陣為A，另一個基是這個基作成的向量矩陣經(jīng)某些列初

34、等變換得到。則關于另一個基的矩陣就是對A作這些列初等變換對應的相似變換得到。這樣, 我們可以通過矩陣相似變換求關于任一基的矩陣。 例例3.83.8 設V=F，是V的線性變換，且=，求關于 x3 xf xf 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)的矩陣。2221 ,1 ,2 , 1xxxxxx 解：解：設=（1 ）A 32,1xxxx2x3x其中A=0000300002000010且是向量矩陣（ ）經(jīng)下列的初等變換2221 ,1 ,2 , 1xxxxxx1x2x3x而得到：（1） 將第4列乘以-1；（2） 將第1 列、第2 列、第3 列分別乘以1加到第4列,（3） 第1列、第2列分別乘以1加

35、到第3列;（4） 第1列乘以2加到第2列。關于所給基的矩陣為B=。00003000520063103.6 在求函數(shù)迭代根中的應用在求函數(shù)迭代根中的應用 對于求稍微復雜一點的初等函數(shù)，直接計算迭代根將是件非常困難的事，但如果利用相似變換的方法，則變得非常簡單。假設如果存在可逆函數(shù) h（x） ，使得函數(shù) F（x）和 G（x）滿足 F（x）=hoGoh（x） ，則稱 F（x）和 G（x）相似。1 定理定理 3.63.6：若 F（x）和 G（x）相似，寄存在可逆函數(shù) h（x） ，使得 F（x）=hoGoh（x） ，則 F（x）的 n 次迭代根為 f（x）=hoGoh（x） ，其中 g（x）為11G（x

36、）的 n 次迭代根。證明：證明：g（x）為 G（x）的 n 次迭代根 g （x）=G（x）n f （x）=hog oh（x）=h oGoh=F(x)n1n1精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 故 f（x）為 F（x）的 n 次迭代根。注：注：由定理 1 可知，利用相似變換可以把求一個較復雜的函數(shù) F（x）迭代根轉化為求一個較簡單的函數(shù) G（x）迭代根的問題。 例例 3.93.9 F（x）=x +2a+a ，其中 a 為實數(shù)，試尋找一個 f（x） ，使得2x2f =F（x） 。n 解：解：F（x）=（+a）x2取 h（x）=，G（x）=x+a，則 h= xx12F（x）= hog oh（

37、x）1nG（x）=x+a 的其中一個 n 次迭代根為 g（x）=x+na令 f（x）= hog oh（x）=（+）1nxna2則滿足 f =F（x）n 例例 3.103.10 F（x）=，其中 k 為實數(shù)，試尋找一個 f（x） ，使得kkaxx1f =F（x） 。n 解：解：取 h（x）=x ，G（x）=，則=kaxx11hkx F（x）= hog oh（x）1nG（x）=的其中一個 n 次迭代根為 g（x）=axx1xnax1令 f（x）= hog oh（x）=，1nkkxnax1則滿足 f =F（x）n 例例 3.113.11 設,試尋找一個，使得 f =F（x） 。 xxxxF323 x

38、fn解：解：取 h（x）=x+1，G（x）=，則=x-13x1h F（x）= hog oh（x）1n精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)G（x）=的其中一個 n 次迭代根為 g（x）=3x3x令 F（x）= hog oh（x）=1n1) 1(3xx則滿足f =F（x）.n3.7 在矩陣代數(shù)中的應用在矩陣代數(shù)中的應用令F 表示一個域,表示由F 上所有矩陣形成的代數(shù).其中的線性)(FMnnn映射在上每一點的取值與的某個相似變換在該點的取值相同, 隨)(FMn)(FMn著上的點不同, 這些相似變換可能也不同. 從一個矩陣代數(shù)A 到其自身)(FMn的一個線性映射稱為局部相似變換, 如果對每一個都

39、存在一個與相關A的相似變換使得=. 對于所研究的代數(shù)考慮其上這樣的映射是否 一定是相似變換，是非常有意義的. 如果矩陣代數(shù)上的每一個局部相似變換是相似變換, 則在某種程度上可以說這個代數(shù)上的相似變換完全是由它們的局部作用來決定的. 因此可知存在真正意義上的局部相似變換, 從而豐富了局部映射理論的研究.用H表示由上所有相似變換形成的集合,L表示由上所有局部)(FMn)(FMn相似變換形成的集合，有下面引理.引理引理3.23.2 令表示由F 上所有矩陣形成的代數(shù), 則當時, 映)(FMnnn2n射是局部相似變換, 但不是整體相似變換tnAAFMF),()(M :n引理引理3.33.3 H按映射的乘

40、法形成群, 并且同構的一個商群.)(FGLn引理引理3.43.4 L按映射的乘法形成群, 并且包含H作為它的子群.引理引理3.53.5 域上的每一個冪等矩陣都是可對角化的.引理引理3.63.6 設是的一個局部相似變換, 則)(FMn(1) 當且僅當; AA2AA 2(2) = 0 當且僅當0; 2A2A(3) =當且僅當A=I; AI精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)(4) =I當且僅當I; 2A2A(5) rank=rank(A). A特別地, 是奇異的當且僅當A是奇異的. A此引理的證明比較簡單, 在此省略.定理定理3.73.7 設是的一個線性映射, 則是Mn(F) 的一個局部相似

41、變)(FMn換當且僅當具有如下形式或, 這里P 是APPA1:PAPAt1:的某一固定元.)(FGLn證明證明 由引理7.5的(5) 可知是保秩變換, 從而根據(jù)定理7.1可知具有如下形式 或;QAPA :PQAAt:再根據(jù)引理7.5的(3)可得. 即具有如下形式1 PQ 或APPA1:PQAAt:定理的另一方向根據(jù)引理7.1顯然是成立的.推論推論3.13.1 (1) H是L的正規(guī)7子群, 且H在L中的指數(shù)是2.(2) 若是的一個局部相似變換, 則是的一個相)(FMn2)(FMn似變換.3.8 在微分方程中的應用在微分方程中的應用 在微分方程的計算中，利用相似變換可以簡化齊次微分方程組，對于計算有很大幫助。對于一階齊次線性微分方程組 )()()()()()(221112121111txatxatx