概率論與隨機過程第1章4-5節(jié)

1、上海大學通信學院4 條件概率條件概率(一) 在有些問題研究中，有時還需要知道在有些問題研究中，有時還需要知道在在 “事事件件A A發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件B B發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。” 其稱其稱為為“事件事件A發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概發(fā)生的條件概率率”,記為記為P(B|A)P(B|A)。 一般一般P(B|A) P(B).P(B|A) P(B).例如例如: :某產(chǎn)品一盒共某產(chǎn)品一盒共1010只，已知其中有只，已知其中有3 3只次品，只次品，從中取從中取2 2次，每次任取一只，作不放回抽取，試次，每次任取一只，作不放回抽取，試求第一次取到次品后第二次再取到次

2、品的概率。求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。 上海大學通信學院上海大學通信學院1039310792103)()()(_BAPABPBP解解: 設設A：第一次取到次品；第一次取到次品； B B：第二次取到次品。：第二次取到次品。 第一次取走一只次品后，第一次取走一只次品后，盒中還剩下盒中還剩下9 9只產(chǎn)品，其中只產(chǎn)品，其中只有只有2 2個次品，故個次品，故又又 ，且，且 故故 .92/ABPBAABB )(BAAB)(/BPABP上海大學通信學院v從樣本空間分析：從樣本空間分析：第一次抽取時的樣本空間第一次抽取時的樣本空間 當當A發(fā)生后，發(fā)生后，S縮減為縮減為 由此可知：由此可知：P(B

3、/A)是在縮減樣本空間是在縮減樣本空間 上計算的。上計算的。問題問題: 應該如何來定義和計算條件概率呢應該如何來定義和計算條件概率呢?可想的方法可想的方法: 由于事件的由于事件的頻率頻率與與概率概率有一定關系，所以是否有一定關系，所以是否 可從此著手研究該問題可從此著手研究該問題? 正正品品次次品品,10,43,2,1.,eeeeeS 正正品品次次品品,10,4,2,1.,eeeeSiiAAS上海大學通信學院上海大學通信學院事件事件A A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B B發(fā)生的頻率：發(fā)生的頻率： 設事件設事件A、B是古典概型的樣本空間是古典概型的樣本空間S中的兩個事件，中的兩個事件，并設并

4、設n次試驗中，其中次試驗中，其中A，AB事件分別出現(xiàn)事件分別出現(xiàn)nA ，nAB次，次，故在故在“事件事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率”為為:)()()|(AfABfnnnnnnABfnnAABAABn上海大學通信學院n條件概率條件概率定義定義: 設設A，B為隨機試驗為隨機試驗E的二個事件，且的二個事件，且P(A)0，則稱，則稱 為為事件事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。發(fā)生的條件概率。問題：條件概率是否滿足概率定義的非負性、規(guī)范性、問題：條件概率是否滿足概率定義的非負性、規(guī)范性、 可列可加性三條件可列可加性三條件?P(B|A)P(B|A)計算的

5、兩種方法計算的兩種方法: : 1) 1) 在樣本空間在樣本空間S S的縮減樣本空間的縮減樣本空間S SA A中直接計算中直接計算B B發(fā)生發(fā)生 的概率的概率P(B/A)P(B/A)； 2) 2) 在樣本空間在樣本空間S S中中, ,分別計算分別計算P(AB)P(AB)和和P(A),P(A),再計算再計算)()/(APABPABP上海大學通信學院)()()/(APABPABP上海大學通信學院n例例1: 設在一只盒子中混有新舊設在一只盒子中混有新舊2種乒乓球，在新乒乓球中種乒乓球，在新乒乓球中有白色有白色40只，紅色只，紅色30只；在舊乒乓球中有白色只；在舊乒乓球中有白色20只，紅只，紅色色10只

6、。現(xiàn)任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的，問這只球是白色的只?，F(xiàn)任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的，問這只球是白色的概率是多少概率是多少?解解: 按題意按題意,即求即求P(W/N)=? 1) 在縮減樣本空間在縮減樣本空間N中考慮計算中考慮計算:P(W/N)=40/70=4/7。 2) 用公式求解用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)=類型類型W(白白)R(紅紅) 共計共計N(新新)4030 70O(舊舊)共計共計 206010 30 40 100741007010040/上海大學通信學院上海大學通信學院有關條件概率的三定理有關條件概率的三定理n1. 概率的乘法定理概率的乘法定理: : 設設A、BS，P（A）0,

7、則則 P(AB)P(A)P(B|A)。 可推廣到三個事件的情形：可推廣到三個事件的情形： A、B、CS，P（AB）0，則有則有 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1An1) 0 ，則有，則有 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)。上海大學通信學院上海大學通信學院例例2:2:袋中有袋中有3 3個紅球，個紅球，2 2個白球，每次從袋中任取一只個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從袋中連續(xù)取球相同的球，若從袋中連續(xù)

8、取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得紅球的概率。次取得紅球的概率。解：設解：設A Ai i為第為第i i次取球時取到白球，則次取球時取到白球，則 ， ， ， 3518473635232142131214321)|()|()|()()(AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP6312)|(AAP73)|(213AAAP843214)|(AAAAP上海大學通信學院例例3：一批燈泡共一批燈泡共100只，次品率為只，次品率為 10，不放回地抽取三次，不放回地抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。每次取一只，求第三次才取得

9、合格品的概率。解解：設設 =第第i次取得合格品次取得合格品，i=1，2，3。顯然，。顯然， P第三次第三次才才取得合格品取得合格品= 因為因為故故iA989099910010213121)(,)(,)(AAAPAAPAP00830989099910010.)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP)(321AAAP上海大學通信學院例例4(補充補充)：在空戰(zhàn)訓練中甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率在空戰(zhàn)訓練中甲機先向乙機開火，擊落乙機的概率為為0.2；若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為；若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機未被擊落，則再進攻乙機，擊

10、落乙機的概率為若甲機未被擊落，則再進攻乙機，擊落乙機的概率為0.4。求在。求在這幾個回合中：這幾個回合中：(1)甲機被擊落的概率；甲機被擊落的概率；(2)乙機被擊落的概率。乙機被擊落的概率。解：解：設事件設事件A=甲機被擊落甲機被擊落，事件，事件B=乙機被擊落乙機被擊落， 事件事件A i=第第i回合射擊成功回合射擊成功，i=1,2,3。則由乘法定理可有。則由乘法定理可有: （1）（2）240308012121.)()()()(AAPAPAAPAP424040708020213121132113211.)()()()()()()()(AAAPAAPAPAPAAAPAPAAAAPBP321121A

11、AAABAAA,上海大學通信學院 2. 2. 全概率公式全概率公式樣本空間的劃分樣本空間的劃分定義定義: : 設設S為隨機試驗為隨機試驗E的樣本空間，的樣本空間， B1，B2，Bn 為為E的一組事件，若的一組事件，若.,.,),(,)(;)(njijiBBiiSBijiini211 則稱則稱B1，B2，Bn (n可為可為 )為樣本空間為樣本空間S的一個劃分的一個劃分。 樣本空間的樣本空間的劃分劃分可構造的條件可構造的條件: 一次試驗一次試驗E，事件，事件B1，B2，Bn中必有一個且僅有中必有一個且僅有一個事件發(fā)生。一個事件發(fā)生。1B2B3B1nBnBS上海大學通信學院全概率公式全概率公式: :

12、 設試驗設試驗E E的樣本空間為的樣本空間為S，B1，B2，, Bn是是S的一個劃分，且的一個劃分，且P(Bi)0，(i1，n)，則對任何事件，則對任何事件A S有有 。 證：證： 且且 由概率和與乘法定理可得：由概率和與乘法定理可得： 。 niiiBAPBPAP1)|()()( nnBPBAPBPBAPBPBAPAP/22111B2B3B1nBnBSAnn21ABABABBBBAASA21)(.,)(kiABABki 上海大學通信學院例例5:5: 市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為三家工廠的市場占有率

13、分別為1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工廠的次，且三家工廠的次品率分別為品率分別為 2 2、1 1、3 3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。解：解：設：設：A A：買到一件次品：買到一件次品; ; B B1 1 : :買到一件甲廠的產(chǎn)品買到一件甲廠的產(chǎn)品; ; B B2 2 : :買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品; ; B B3 3 : :買到一件丙廠的產(chǎn)品。買到一件丙廠的產(chǎn)品。B)()()()(321ABPABPABPAP)()|()()|()()|(332211BPBAPBPBAPBPBAP02250210304101041020.上海大學

14、通信學院3. 貝葉斯公式貝葉斯公式定理：定理：設試驗設試驗E E的樣本空間為的樣本空間為S，B1, B2 , , Bn是是S的一個劃分，的一個劃分，且且P(Bi) 0, i1, 2, , n。對于任何事件。對于任何事件A S，P(A)0，則有，則有貝葉斯公式：貝葉斯公式：證：證：由條件概率可得：由條件概率可得： 由全概率公式可得：由全概率公式可得： 故有故有貝葉斯公式：貝葉斯公式：.,)|()()()()(niBAPBPBAPBPABPniiiiii211 APB)PBAP(APABPABPiiii)( NkkkB)PBAP(AP1.,)|()()()()(niBAPBPBAPBPABPnii

15、iiii211上海大學通信學院 設試驗只可能出現(xiàn)設試驗只可能出現(xiàn)H1, H2, , Hn有窮或可列有窮或可列多個不同的情況，而事件多個不同的情況，而事件A只能伴隨這些情況之只能伴隨這些情況之一發(fā)生。一發(fā)生。 試在試在A事件發(fā)生的條件下，求發(fā)生了事件發(fā)生的條件下，求發(fā)生了Hk情況情況的條件概率。的條件概率。貝葉斯公式通常用于下列問題中貝葉斯公式通常用于下列問題中:上海大學通信學院例例6: 設甲乙丙三個箱子中：甲箱內有設甲乙丙三個箱子中：甲箱內有a1個白球個白球b1個黑球；乙個黑球；乙箱內有箱內有a2個白球個白球b2個黑球；箱內有個黑球；箱內有a3個白球個白球b3個黑球?，F(xiàn)個黑球?，F(xiàn)任取出一箱，從

16、此箱中任取出一球，結果發(fā)現(xiàn)此球為白球。任取出一箱，從此箱中任取出一球，結果發(fā)現(xiàn)此球為白球。試在事件試在事件A此球為白球此球為白球的條件下，求的條件下，求H1此球屬于甲箱此球屬于甲箱的條件概率的條件概率P(HP(H1 1/A)/A)。解解: : 設設H1，H2，H3分別表示分別表示“此球屬于甲乙丙箱此球屬于甲乙丙箱”。 ，且且 ， 由全概率公式可得：由全概率公式可得：由由貝葉斯貝葉斯公式可得：公式可得：31321HPHPHP1321HHHPSHii31 33322211131313131baabaabaaHAPHPAPnnn/ 3311132211123332221111111111131313

17、131baabaabaabaabaabaabaabaaAPHAPHPAHP/)(/上海大學通信學院例例7:有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球這六個球手感上不可區(qū)袋中有兩個紅球，一個白球這六個球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？取一球，問此球是紅球的概率？解解：設設A A1 1從甲袋放入乙袋的是白球；從甲袋放入乙袋的是白球； A A2 2從甲袋放入乙袋的是紅球；從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；從乙

18、袋中任取一球是紅球；127314332212211)()|()()|()(APABPAPABPBP甲乙上海大學通信學院例例8 8(補充補充)：商店成箱出售玻璃杯，每箱商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任，某顧客選中一箱，從中任選選4 4只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱。問這一箱含有一只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱。問這一箱含有一個次品的概率是多少？個次品的概率是多少？解解: :設設A: :從一箱中任取從一箱中任取4只檢查，結果都是好的。只檢查，結果都是好的。B0, B1

19、, B2分別表示事件每箱含分別表示事件每箱含0，1，2只次品。只次品。已知已知: :由由BayesBayes公式公式: : ，544204191CCBAP)|(19124204182CCBAP)|(084801912105410180541020111.)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP.)(,.)(,.)(,.)(11010800210BAPBPBPBP上海大學通信學院例例9: 數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為的概率為0.55，發(fā)，發(fā)1的概率為的概率為0.45。由于信道中存在干擾，。由于信道中存在

20、干擾，在發(fā)在發(fā)0的時候，接收端分別以概率的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和和0.05接收為接收為0、1和和“不清不清”。在發(fā)。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和和0.1接收為接收為1、0和和“不清不清”。現(xiàn)接收端接收到一個?，F(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)射端發(fā)的是的信號。問發(fā)射端發(fā)的是0的概率是多少的概率是多少?解：解：設設 A-發(fā)射端發(fā)射發(fā)射端發(fā)射“0”， B-接收端接收到一個接收端接收到一個“1”的信號。的信號。0670450850550050550050.)()()()()()()(APABPAPABPAPABPBAP0 (0.55)

21、0 0( (0 0. .9 9) )1 (0.05)不不清清 (0.05)1 (0.45)1 (0.85)0 (0.05)不不清清 (0.1)上海大學通信學院例例10(補充補充)：玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱20只。假設各箱含只。假設各箱含0，1，2只殘次品的概率分別是只殘次品的概率分別是 0.8，0.1，0.1。一顧客欲購買一箱。一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時售貨員任取一箱，而顧客開箱后隨機地查玻璃杯，在購買時售貨員任取一箱，而顧客開箱后隨機地查看四只，若無殘次品，則買下這箱玻璃杯，否則退回。試求：看四只，若無殘次品，則買下這箱玻璃杯，否則退回。試求：(1)顧客買下這箱玻璃杯的

22、概率顧客買下這箱玻璃杯的概率p； (2)在顧客買下的這箱中，確實沒有殘次品的概率在顧客買下的這箱中，確實沒有殘次品的概率q。 解：解：設設B=顧客買下所查看的一箱玻璃杯顧客買下所查看的一箱玻璃杯， Ai =箱中恰好有箱中恰好有i件殘次品件殘次品，i=0，1，2，由題設知：，由題設知：101080210.)(,.)(,.)(APAPAP1912541420418242041910CCABPCCABPABP)/(,)/(,)/(上海大學通信學院(1)由全概率公式由全概率公式 (2)由貝葉斯公式由貝葉斯公式 94.019121 .0541 .018 .0|20 iiiABPAPBPP 85.094.

23、018.0/000 BPABPAPBApq上海大學通信學院例例11(補充補充): 某制帽廠生產(chǎn)的帽子合格率為某制帽廠生產(chǎn)的帽子合格率為0.8。一盒中裝有。一盒中裝有四頂帽子，一位采購員從每盒中隨機地取出兩頂帽子進行檢四頂帽子，一位采購員從每盒中隨機地取出兩頂帽子進行檢驗，如兩頂帽子都合格，就買下這盒帽子。求：驗，如兩頂帽子都合格，就買下這盒帽子。求：(1)每盒帽子每盒帽子被買下的概率被買下的概率p；(2)在采購員買下的一盒中都是合格品的概在采購員買下的一盒中都是合格品的概率率q。 解：解：設設B=一盒帽子被買下一盒帽子被買下， =一盒帽子中有一盒帽子中有i頂合格頂合格， i=0,1,2,3,4

24、，由題設知：，由題設知： iA 1, 0, 0|. 4, 3, 2, 1, 0,2 . 08 . 044 jABPiCAPjiiii .4 ,3 ,2,|242 kCCABPKk上海大學通信學院(1)由全概率公式由全概率公式(2)由貝葉斯公式由貝葉斯公式 64. 02 , 08 . 0|2 . 08 . 0|2424424440440 CCCABPCABPApBPPiiiiiiiiiiiii 64.064.018 .0|44444 BPABPAPBPBAPBAPq上海大學通信學院5 事件的獨立性事件的獨立性若若A，B為試驗為試驗E的二事件，且的二事件，且P(A)0，由條件概率可定義，由條件概率

25、可定義P(B/A)。 一般，一般，A事件的發(fā)生對事件的發(fā)生對B事件發(fā)生的概率是有影響事件發(fā)生的概率是有影響的，此時的，此時 P(B/A) P(B)，只有在這種影響不存在時才會有，只有在這種影響不存在時才會有P(B/A) = P(B)，同時也有，同時也有P(AB)=P(A) P(B/A)= P(A) P(B)，這時稱這時稱A，B二事件獨立。二事件獨立。&定義：定義： 設設A、B是兩事件，若滿足是兩事件，若滿足 P(AB)P(A)P(B) ，則稱，則稱事件事件A與與B相互獨立，簡稱相互獨立，簡稱A，B獨立。獨立。注意：注意：若若P(A)0， P(B)0，則，則A，B相互獨立與相互獨立與A，

26、B互不互不相容不能同時成立。相容不能同時成立。定理一：定理一：設設A、B是兩事件，且是兩事件，且P(A)0。若。若A，B相互獨立，相互獨立，則則P(B/A)= P(B)。反之亦然。反之亦然。 上海大學通信學院 定理二：定理二：若若事件事件A A，B B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立相互獨立，則下列各對事件也相互獨立 與與 ， 與與 ， 與與 。多個事件的獨立性多個事件的獨立性 若三個事件若三個事件 A、B、C滿足：滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 則稱事件則稱事件A、B、C兩兩相互獨立兩兩相互獨立； 若在此基礎上

27、還滿足：若在此基礎上還滿足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件則稱事件A A、B B、C C相互獨立相互獨立。 一般，設一般，設A1, A2, , An是是n個事件，若對于其中任意個事件，若對于其中任意2個，個，3個，個，n個事件的積事件的概率，都等于各事件概率的積個事件的積事件的概率，都等于各事件概率的積，則稱事件，則稱事件A1，A2，An相互獨立。相互獨立。AABBAB上海大學通信學院事件獨立性的應用事件獨立性的應用1、加法公式的簡化：、加法公式的簡化：若事件若事件A1，A2，An相互相互獨立獨立, 則則 2、在可靠性理論上的應用在可靠性理論上的應用例例1：如圖，如

28、圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點，假設每個觸表示繼電器觸點，假設每個觸點閉合的概率為點閉合的概率為p，且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至至R是連通的概率。是連通的概率。)()().nnAPAPAAAP121112345LR上海大學通信學院解：解：設設A-L至至R為通路，為通路，Ai-第第i個繼電器通，個繼電器通，i=1,2,5。42524132)()|(ppAAAAPAAP 225421354213)2()()()|()()|(ppAAPAAPAAPAAAAPAAP 由全概率公式：由全概率公式：)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp1245LR1245LR上海大學通信學院例例2(補充補充)：設第一只盒子中裝有設第一只盒子中裝有3只藍球，只藍球，2只綠球，只綠球，2只白球；只白球；第二只盒子中裝有第二只盒子中裝有2只藍球，只藍球，3只綠球，只綠球，4只白球。獨立地分別只白球。獨立地分別在兩只盒子中各取一球。在兩只盒子中各取一球。 (1)求至少有一只藍球的概率；求至少有一只藍球的概率； (2)求有一只藍球一只白球的概率；