幾個常用函數(shù)的導數(shù)(老師版)

1、 1.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則(一)學習目標1.能根據(jù)定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，y，y的導數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù).知識點一幾個常用函數(shù)的導數(shù)原函數(shù)導函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)思考(1)函數(shù)f(x)c，f(x)x，f(x)x2的導數(shù)的幾何意義和物理意義分別是什么？(2)函數(shù)f(x)導數(shù)的幾何意義是什么？答案(1)常數(shù)函數(shù)f(x)c：導數(shù)為0，幾何意義為函數(shù)在任意點處的切線垂直于y軸，斜率為0；當yc表示路程關(guān)于時

2、間的函數(shù)時，y0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即一直處于靜止狀態(tài).一次函數(shù)f(x)x：導數(shù)為1，幾何意義為函數(shù)在任意點處的切線斜率為1，當yx表示路程與時間的函數(shù)，則y1可以解釋為某物體作瞬時速度為1的勻速運動；一般地，一次函數(shù)ykx：導數(shù)yk的幾何意義為函數(shù)在任意點處的切線斜率為k，|k|越大，函數(shù)變化得越快.二次函數(shù)f(x)x2：導數(shù)y2x，幾何意義為函數(shù)yx2的圖象上點(x，y)處的切線斜率為2x，當yx2表示路程關(guān)于時間的函數(shù)時，y2x表示在時刻x的瞬時速度為2x.(2)反比例函數(shù)f(x)：導數(shù)y，幾何意義為函數(shù)y的圖象上某點處切線的斜率為.知識點二基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導

3、函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a>0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a>0，且a1)f(x)ln xf(x)思考由函數(shù)yx，yx2的導數(shù)，你能得到y(tǒng)x(Q*)的導數(shù)嗎？如何記憶該公式？答案因yx，得y1；yx2，得y2x，故yx的導數(shù)yx1，結(jié)合該規(guī)律，可記憶為“求導冪減1，原冪作系數(shù)”.題型一運用求導公式求常見的基本初等函數(shù)的導數(shù)例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y；(2)；(3)ycos ；(4)y22x.解(1)

4、y(x5)5x6； (2)y；(3)y0； (4)y(22x)(4x)4x·ln 4.反思與感悟求簡單函數(shù)的導函數(shù)的基本方法：(1)用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁雜；(2)用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度.解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，再選擇合適的求導公式.跟蹤訓練1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4)y.解(1)y8x7； (2)yxln xln 2；(3)yx，y； (4) y.題型二利用導數(shù)公式求曲線的切線方程例2求過曲線ysin x上點P且與過這點的切線垂直的直線方程.解ysin x，ycos x，曲線在點P處的切

5、線斜率是：y|cos.過點P且與切線垂直的直線的斜率為，故所求的直線方程為y，即2xy0.反思與感悟?qū)?shù)的幾何意義是曲線在某點處的切線斜率，兩條直線互相垂直時，其斜率之積為1(在其斜率都存在的情形下).跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)x34x25x4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)求經(jīng)過點A(2，2)的曲線f(x)的切線方程.解(1)f(x)3x28x5，f(2)1.又f(2)2，曲線f(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(2)x2，即xy40.(2)設(shè)切點坐標為(x0，x4x5x04).f(x0)3x8x05，切線方程為y(2)(3x8x05)(x2).又切線過點(

6、x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02).整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01.當x02時，f(x0)1，此時所求切線方程為xy40；當x01時，f(x0)0，此時所求切線方程為y20.故經(jīng)過點A(2，2)的曲線f(x)的切線方程為xy40或y20.在利用求導公式時，因沒有進行等價變形出錯例3求函數(shù)y的導數(shù).錯解y，y，故y.錯因分析出錯的地方是根式化為指數(shù)冪，沒有進行等價變形，從而導致得到錯誤的結(jié)果.正解y，y.防范措施準確把握根式與指數(shù)冪的互化：，.1.設(shè)曲線yaxln(x1)在點(0,0)處的切線方程為y2x，則a等于()A.0 B.1C.2 D.3

7、答案D解析令f(x)axln(x1)，則f(x)a.由導數(shù)的幾何意義，可得在點(0,0)處的切線的斜率為f(0)a1.又切線方程為y2x，則有a12，a3.2.函數(shù)f(x)，則f(3)等于()A. B.0 C. D.答案A解析f(x)()，f(3).3.給出下列結(jié)論：sin ； 若y，則y2x3；若f(x)3x，則 f(1)3； 若y，則y.其中正確的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析cos 為常數(shù)，則0，所以錯誤；y(x2)2x3，所以正確；因為f(x)3x，所以f(x)3，所以 f(1)0，所以錯誤；y()，所以錯誤.4.曲線yex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形

8、的面積為 .答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲線在點(2，e2)處的切線方程為ye2e2(x2)，即ye2xe2.當x0時，ye2，當y0時，x1.S×1×e2.5.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y；(2)y.解(1)y(x3)3x313x4.(2)y().1.利用常見函數(shù)的導數(shù)公式可以比較簡捷地求出函數(shù)的導數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運用好導數(shù)公式.解題時，能認真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進行聯(lián)想化歸.2.有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導.如求y12sin2 的導數(shù).因為y12sin2 cos x，所以y(cos x)sin x.3.對于正弦、余弦函數(shù)的導數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二

9、是注意函數(shù)符號的變化.一、選擇題1.設(shè)直線yxb1是曲線yln x(x0)的一條切線，則實數(shù)b的值為()A.1ln 2 B.ln 2 C.ln 2 D.2答案C解析設(shè)切點為(x0，y0)，根據(jù)導數(shù)幾何意義，得y|，解得x02，代入曲線方程得y0ln 2.故切點為(2，ln 2)，將該點坐標代入直線方程得ln 2×2b1，解得bln 2，故選C.2.過曲線y上一點P的切線的斜率為4，則點P的坐標為()A. B.或C. D.答案B解析y4，x±，故選B.3.已知f(x)xa，若f(1)4，則a的值等于()A.4 B.4 C.5 D.5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)

10、a14，a4.4.函數(shù)f(x)x3的斜率等于1的切線有()A.1條 B.2條C.3條 D.不確定答案B解析f(x)3x2，設(shè)切點為(x0，y0)，則3x1，得x0±，即在點和點處有斜率為1的切線.所以有2條切線.5.已知直線ykx是曲線yex的切線，則實數(shù)k的值為()A. B.C.e D.e答案D解析yex，設(shè)切點為(x0，y0)，則ex0ex0·x0，x01，ke.6.已知f(x)2x，g(x)ln x，則方程f(x)1g(x)的解為()A.1 B. C.1或 D.1答案B解析由g(x)ln x，得x0，且g(x).故2x1，即2x2x10，解得x或x1.又因x0，故x(

11、x1舍去)，選B.7.某質(zhì)點的運動方程為s(其中s的單位為米，t的單位為秒)，則質(zhì)點在t3秒時的速度為()A.4×34米/秒 B.3×34米/秒C.5×35米/秒 D.4×35米/秒答案D解析由s得s(t4)4t5.得s|t34×35，故選D.二、填空題8.曲線y在點M(3,3)處的切線方程是 .答案xy60解析y，y|x31，過點(3,3)的斜率為1的切線方程為y3(x3)，即xy60.9.若曲線y在點(a，)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a .答案64解析y，y，曲線在點(a，)處的切線斜率k，切線方程為y (xa).令x

12、0得y；令y0得x3a.該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S·3a·18，a64.10.點P是曲線yex上任意一點，則點P到直線yx的最小距離為 .答案解析根據(jù)題意設(shè)平行于直線yx的直線與曲線yex相切于點(x0，y0)，該切點即為與yx距離最近的點，如圖.則在點(x0，y0)處的切線斜率為1，即y|1. y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1).利用點到直線的距離公式得最小距離為.三、解答題11.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)y .(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).12.已知f(x)cos x，g(x)x，求適合f(x)g(x)0的x的值.解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kZ.13.設(shè)f