DIP3頻域處理

1、第第3 3章章頻域處理頻域處理2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University23.1 3.1 傅里葉變換基礎(chǔ)傅里葉變換基礎(chǔ) 法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉生于1768年，他對(duì)世人的最大貢獻(xiàn)在于他指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和（或余弦和）的形式，每個(gè)正弦（或余弦）乘以不同的系數(shù)。 甚至非周期的函數(shù)（曲線是有限的情況下）也可以用正弦（或余弦）乘以加權(quán)函數(shù)的積分來(lái)表示。 一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏盗⑷~變換比作一個(gè)玻璃棱鏡，棱鏡是可以將光分成不同顏色成分的物理儀器，每個(gè)顏色由光的頻率（波長(zhǎng)）決定；而傅立葉變換可看作“數(shù)學(xué)的棱鏡”，將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。2022-3-6

2、YUAN Guo-wu , YunNan University32022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University4 傅立葉于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了相關(guān)的論文。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉

3、格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。 誰(shuí)是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University53.1 3.1 傅里葉變換基礎(chǔ)傅里葉變換基礎(chǔ) 分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，例如也還可以用方波或三角波，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。 為什么選正弦曲線？ 一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正

4、弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。 2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University63.1 3.1 傅里葉變換基礎(chǔ)傅里葉變換基礎(chǔ) 傅立葉變換：針對(duì)信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮小到正無(wú)窮大 計(jì)算機(jī)：只能處理有限數(shù)據(jù)。無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào) 解決方法：把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)（1）可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來(lái)表示；（2）可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University7

5、3.1 3.1 傅里葉變換基礎(chǔ)傅里葉變換基礎(chǔ) 傅里葉變換在數(shù)學(xué)中的定義是嚴(yán)格的。設(shè)f(x)為x的函數(shù)，如果滿足下面的狄里赫萊條件： （）具有有限個(gè)間斷點(diǎn)； （）具有有限個(gè)極值點(diǎn)； （）絕對(duì)可積。 則有下列二式成立：dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University8 式中x是時(shí)域(空間域)變量，u為頻率變量。 如令 ， 則有 2 udxexfuFxj)()(deFxfxj)(21)(通常把以上公式稱為傅里葉變換對(duì)。通常把以上公式稱為傅里葉變換對(duì)。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan Un

6、iversity9函數(shù)函數(shù)f(x)的傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)量，它可以由下式表示：的傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)量，它可以由下式表示：FRjI( )( )( )或?qū)懗芍笖?shù)形式或?qū)懗芍笖?shù)形式FRI( )( )( )22FFej( )( )() ( )( )( ) arctgIR把 叫做 的傅里葉譜，而 叫相位譜。F( )f x( )(sincosjej附 歐拉公式2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University103.2 3.2 二維離散傅里葉變換（二維離散傅里葉變換（DFTDFT）3.2.1 二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)傅里葉變換l 二維連續(xù)函數(shù) f (x, y)的傅里葉變

7、換定義如下：l設(shè) 是獨(dú)立變量 的函數(shù)，且在 上絕對(duì)可積，則定義積分 為二維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換，并定義 為 的反變換。 和 為傅里葉變換對(duì)。),(yxfyx, dxdyeyxfvuFvyuxj)(2),(),(),(yxf dudvevuFyxfvyuxj)(2),(),(),(vuF),(yxf),(vuF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University113.2.2 3.2.2 二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換l尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT l反變換可以通過(guò)對(duì)F(u,v) 求IDFT獲得 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfM

8、NvuF1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University12 lDFT變換進(jìn)行圖像處理時(shí)有如下特點(diǎn)：l（1）直流成分為F(0,0)。l（2）幅度譜|F(u,v)|對(duì)稱于原點(diǎn)。l（3）圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。 ),(),(),(vujIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University13先來(lái)看一個(gè)變換實(shí)例: 一個(gè)原始信號(hào)的長(zhǎng)度是16，于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦

9、波（一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率，再多的頻率就超過(guò)了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍），如下圖：2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University149個(gè)正弦信號(hào)：2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University159個(gè)余弦信號(hào)：2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University16把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)。對(duì)于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的，可以看

10、看下面這個(gè)示例圖：上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)，用小寫x表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組, 用大寫X表示每種頻率的幅度值數(shù)組, 因?yàn)橛蠳/2+1種頻率，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1，X數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X。Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來(lái)進(jìn)行表示，目的是為了便于表達(dá)（在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長(zhǎng)度是N，而不是N/2+

11、1）。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University173.2.3 3.2.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)1周期性和共軛對(duì)稱性l 周期性和共軛對(duì)稱性來(lái)了許多方便。l 我們首先來(lái)看一維的情況。l設(shè)有一矩形函數(shù)為,求出它的傅里葉變換： 其他00)(XxAxfuXjXuxjuxjeuXuXAXdxeAdxexfuF022sin)()(2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University18幅度譜： uXuXAXuFsin)( （a）幅度譜 （b）原點(diǎn)平移后的幅度譜頻譜圖 2022-3-6YUAN Guo-wu , Yun

12、Nan University19n DFT取的區(qū)間是0,N-1，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)頻譜是由兩個(gè)背靠背的半周期組成的 ，要顯示一個(gè)完整的周期，必須將變換的原點(diǎn)移至u=N/2點(diǎn)。n 根據(jù)定義，有 n 在進(jìn)行DFT之前用(-1)x 乘以輸入的信號(hào) f (x) ，可以在一個(gè)周期的變換中（u0，1，2，N1），求得一個(gè)完整的頻譜。10102)2/(2)() 1(1)(1)2/(NxNxxuNjxNuxNjexfNexfNNuF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University20l 推廣到二維情況。在進(jìn)行傅里葉變換之前用(-1)x+y 乘以輸入的圖像函數(shù)，則有： l DFT的原點(diǎn)，

13、即F(0,0)被設(shè)置在u=M/2和v=N/2上。l (0,0)點(diǎn)的變換值為： 即 f (x,y) 的平均值。l 如果是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)，也稱作頻率譜的直流成分。 )2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfDFTyx1010),(1)0 , 0(MxNyyxfMNF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University21（a）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜圖圖4.5 圖像頻譜的中心化 2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University222可分性可分性l 離散傅里葉變

14、換可以用可分離的形式表示 這里l 對(duì)于每個(gè)x值，當(dāng)v0，1，2，N1時(shí)，該等式是完整的一維傅里葉變換。 1010/2/2),(11),(MxNyNvyjMuxjeyxfNeMvuF10/2),(1MxMuxjevxFM10/2),(1),(NyNvyjeyxfNvxF2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University23n二維變換可以通過(guò)兩次一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。n同樣可以通過(guò)先求列變換再求行變換得到2D DFT。 圖 二維DFT變換方法2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University243離散卷積定理離散卷積定理l 設(shè)f(x,y)和g(x,

15、y) 是大小分別為AB和CD的兩個(gè)數(shù)組，則它們的離散卷積定義為l 卷積定理卷積定理 1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxf),(),(),(*),(vuGvuFyxgyxfDFT2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University25【例】【例】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。 解：解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 imshow(A); %顯示圖像 A2=fft2(A); %計(jì)算二維傅里葉變換 A2=fftshift(A2); %將直流分量移到頻譜圖的中心figure, imshow(l

16、og(abs(A2)+1),0 10); %顯示變換后的頻譜圖2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University26 （a）原始圖像 （b）圖像頻譜傅里葉變換2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University273.3 3.3 頻域?yàn)V波頻域?yàn)V波 頻域處理法的基礎(chǔ)是卷積定理。它采用修改圖像傅里葉變換的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的增強(qiáng)處理。由卷積定理可知，如果原始圖像是 ，處理后的圖像是 ，而 是處理系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，那么，處理過(guò)程可由下式表示 其中代表卷積。 f x y( , )g x y( , )h x y(,)g x yh x yf x y( , )

17、( , )( , )2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University28 如果 ， ， 分別是 的傅立葉變換,那么,上面的卷積關(guān)系可表示為變換域的乘積關(guān)系，即 式中， 為傳遞函數(shù)。 ),(vuG),(vuH),(vuFg x y h x yf x y( , ), ( , ),( , ) ,() ,() ,(vuFvuHvuG),(vuH2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University29 在增強(qiáng)問(wèn)題中， 是給定的原始數(shù)據(jù)，經(jīng)傅立葉變換可得到 。選擇合適的 ，使得由式 得到的 比 在某些特性方面更加鮮明、突出，因而更加易于識(shí)別、解譯。

18、例如，可以強(qiáng)調(diào)圖像中的低頻分量使圖像得到平滑，也可以強(qiáng)調(diào)圖像中的高頻分量使圖像的邊緣得到增強(qiáng)等等。以上就是頻域處理法的基本原理。f x y( , ),(vuF),(vuH) ,() ,(F ) ,(1vuFvuHyxgg x y( , )f x y( , )2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University302022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University313.3.1 低通濾波法 這種方法是一種頻域處理法。在分析圖像信號(hào)的頻率特性時(shí)，一幅圖像的邊緣、跳躍部分以及顆粒噪聲代表圖像信號(hào)的高頻分量，而大面積的背景區(qū)則代表圖像信號(hào)的低頻分量

19、。用濾波的方法濾除其高頻部分就能去掉噪聲，使圖像得到平滑。 濾除高頻成分，保留低頻成分2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University322022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University33 常用的幾種低通濾波器 （1）理想低通濾波器 一個(gè)理想的二維低通濾波器的傳遞函數(shù)由下式表示：001 ( , )( , )0 ( , )D u vDH u vD u vD式中 是一個(gè)規(guī)定的非負(fù)的量，叫做理想低通濾波器的截止頻率。 是從頻率頰的原點(diǎn)到(u,v)點(diǎn)的距離，即 2122u=) ,(vvuD D0) ,(vuD2022-3-6YUAN Guo

20、-wu , YunNan University34理想低通濾波器傳遞函數(shù)徑向剖面圖2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University35 所謂理想低通濾波器是指以截頻 為半徑的圓內(nèi)的所有頻率都能無(wú)損地通過(guò)，而在截頻之外的頻率分量完全被衰減。理想低通濾波器可以用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)，但是卻不能用電子元器件來(lái)實(shí)現(xiàn)。 理想低通濾波器在處理過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象。這種現(xiàn)象正是由于傅立葉變換的性質(zhì)決定的。原因：略D02022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University362022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan Universi

21、ty37 （2）巴特沃思（Butterworth）低通濾波器 一個(gè)n階布特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)由下式表示 式中 為截止頻率， 的值由下式?jīng)Q定nDvuDvuH20),(+11=) ,(2122=),(vuvuD0D),(vuD2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University38 布特沃斯低通濾波器又稱最大平坦濾波器。它與理想低通濾波器不同，它的通帶與阻帶之間沒(méi)有明顯的不連續(xù)性。也就是說(shuō)，在通帶和阻帶之間有一個(gè)平滑的過(guò)渡帶。通常把 下降到某一值的 那一點(diǎn)定為截止頻率 。上式中是把 下降到原來(lái)值的 時(shí)的 定為截頻點(diǎn) 。) ,(vuHD0) ,(vuH12v),(uD

22、D02022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University39布特沃斯低通濾波器剖面圖2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University40 布特沃斯低通濾波器的特點(diǎn)： 1）、由于有平緩的過(guò)渡帶，圖像將不會(huì)有振鈴現(xiàn)象。 2）、模糊程度大大減小。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University41(3)指數(shù)低通濾波器(4)梯形低通濾波器 用低通濾波器進(jìn)行平滑處理可以使噪聲減低到不顯眼的程度，但是由于低通濾波器對(duì)噪聲等成分濾除的同時(shí)，對(duì)有用高頻成分也濾除，因此，這種去噪的美化處理是以犧牲清晰度為代價(jià)而換取的。2022-3-6YUAN Guo-wu , YunNan University423.3.2 高通濾波法 常用的幾種高通濾波器： （1）理想高通濾波器 一個(gè)理想的二維高通濾波器的傳遞函數(shù)由下式表示