地球橢球與測量計算

1、第五章第五章 地球橢球與測地球橢球與測量的計算量的計算第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學 測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進行的，或者說測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進行的，或者說主要是對地球表面進行觀測的，由于地球表面不是一個主要是對地球表面進行觀測的，由于地球表面不是一個規(guī)則的數(shù)學曲面，在其上面無法進行嚴密的測量計算。規(guī)則的數(shù)學曲面，在其上面無法進行嚴密的測量計算。因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體體地球橢球，在其表面完成測量計算工作。用橢球地球橢球，在其表面完成測量計算工作。用橢球來表

2、示地球必須解決來表示地球必須解決2 2個問題：個問題：一是橢球參數(shù)的選擇；一是橢球參數(shù)的選擇； 二是確定橢球與地球的相關位置，即橢球的定位。二是確定橢球與地球的相關位置，即橢球的定位。第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學O O為橢球中心為橢球中心NSNS為旋轉軸為旋轉軸a a為長半徑為長半徑b b為短半徑為短半徑NRSNRS為子午圈為子午圈CCCC為平行圈為平行圈WREWRE為赤道為赤道OFOF1 1為偏心距為偏心距第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學第一偏心率第一偏心率 為簡化書寫，常引入如下符號：為簡化書寫，常

3、引入如下符號：第二偏心率：第二偏心率：扁率扁率 兩個輔助函數(shù)：兩個輔助函數(shù)：橢球長半徑橢球長半徑a a，短半徑，短半徑b b BeBtbac2222cos,tan,22221sin1cosWeBVeB1 , 0, ee第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學橢球的幾何參數(shù)之間或輔助函數(shù)之間存在下面的關系：橢球的幾何參數(shù)之間或輔助函數(shù)之間存在下面的關系：22222222221,11,11,11,122abebaecaeaceeeeeeeVWeWVeefff 22222222222111sin111WeVVeBeWWbaWeVVabVeW22222222,bba

4、eabae2222221 ,1baeabe11122ee2222221,1eeeeee第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學利用橢球的利用橢球的4 4個幾何物理常數(shù)計算扁率的公式：個幾何物理常數(shù)計算扁率的公式：32222232222229897849398916275611143892123mJmJmJJmmJJmJf式中：式中：GMam32實際上，比較第二章中的實際上，比較第二章中的q q，我們會發(fā)現(xiàn)：，我們會發(fā)現(xiàn)：GMaq32因此，這里的因此，這里的 就是就是q q。即赤道上的離心力與重力之比。即赤道上的離心力與重力之比。m克拉索夫斯基橢球克拉索夫斯基

5、橢球19801980國家大地坐標系國家大地坐標系WGS-84WGS-84CGCS2000CGCS2000a a6 378 2456 378 2456 378 1406 378 1406 378 1376 378 1376 378 1376 378 137b b6 356 863.018 7736 356 863.018 7736 356 755.288 1576 356 755.288 1576 356 752.3146 356 752.3146 356 752.314 140 366 356 752.314 140 36c c6 399 698.901 7826 399 698.901 78

6、26 399 596.651 9886 399 596.651 9886 399 593.625 86 399 593.625 86 3995 93.625 864 026 3995 93.625 864 02e e2 20.006 693 421 622 9660.006 693 421 622 9660.006 694 384 999 5880.006 694 384 999 5880.006 694 379 901 30.006 694 379 901 30.006 694 380 022 900 690.006 694 380 022 900 69e e2 20.006 738 525

7、 414 6830.006 738 525 414 6830.006 739 501 819 4730.006 739 501 819 4730.006 739 496 742 270.006 739 496 742 270.006 739 496 775 478 860.006 739 496 775 478 86f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.257 223 5631:298.257 223 5631 1：298298257 222 101 257 222 101 幾種橢球幾何參數(shù)幾種橢球幾何參數(shù) 習慣上用習慣上用a a和和f f表示表示第

8、一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學垂線偏差垂線偏差地面一點上，鉛垂線方向和相應的橢球面法線方向之間地面一點上，鉛垂線方向和相應的橢球面法線方向之間的夾角的夾角u u。為了比較各點的垂線偏差，需要將垂線方向統(tǒng)一延伸到大地水準面，為了比較各點的垂線偏差，需要將垂線方向統(tǒng)一延伸到大地水準面，在大地水準面上的垂線偏差叫做大地水準面垂線偏差。在大地水準面上的垂線偏差叫做大地水準面垂線偏差。不同性質的橢球，垂線偏差也不同：不同性質的橢球，垂線偏差也不同：對應于正常橢球的垂線偏差叫做重力垂線偏

9、差；對應于平均地球橢球對應于正常橢球的垂線偏差叫做重力垂線偏差；對應于平均地球橢球的垂線偏差，叫做絕對垂線偏差或物理垂線偏差；對應于參考橢球的的垂線偏差，叫做絕對垂線偏差或物理垂線偏差；對應于參考橢球的垂線偏差，叫做相對垂線偏差。垂線偏差，叫做相對垂線偏差。相對垂線偏差不只是由地球內(nèi)部質量分布不均勻而引起，還包括參考相對垂線偏差不只是由地球內(nèi)部質量分布不均勻而引起，還包括參考橢球的參數(shù)，定位和定向的影響。橢球的參數(shù)，定位和定向的影響。第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學1.1.垂線偏差的計算公式垂線偏差的計算公式垂線偏差垂線偏差 的分量的分量子午圈分量子

10、午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量 應用大地測量學應用大地測量學第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位在球面直角三角形在球面直角三角形Z Z1 1Z Z2 2P P中：中：tancot90cot90tancosBBLcossin90sinsinsinL由于由于-L-L和和都比較小，有：都比較小，有：LLsin1cosLsin于是，有：于是，有：secLBcosLB或者或者2.2.天文方位角和大地方位角之間的關系式天文方位角和大地方位角之間的關系式第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學 RRA11 應用大地測量學應用大地測量學第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及

11、其定位地球橢球及其定位在三角形在三角形ZZZZ1 1P P中，中，ZZ1P=180-1，根據(jù)球面三角形余弦的半角和公，根據(jù)球面三角形余弦的半角和公式：式：LuB21sin21cos909021cos18021cos1化簡后得：化簡后得：LuB21sin21cos21sin21sin1由于角值較小，并令由于角值較小，并令=B=B，最后可得：，最后可得：sin1L 應用大地測量學應用大地測量學第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位由圖看出，由圖看出，R R1 1-R-R就是垂線偏差對水平方向觀測值的影響。在球面直角就是垂線偏差對水平方向觀測值的影響。在球面直角三角形三角形MRMR1 1R

12、R中，有中，有: :qzRRsin90sinsin11而在球面直角三角形而在球面直角三角形MZZMZZ1 1中，有中，有: :uzAqsinsinsinsin1代入前式，有代入前式，有: :11cotsinsinsinzAuRR由于（由于（R R1 1-R-R）和）和u u數(shù)值較小，并考慮數(shù)值較小，并考慮: : ，最后得：，最后得：cos,sinuu11cotcossinzAARR 應用大地測量學應用大地測量學第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位天文方位角是天文方位角是，大地方位角是，大地方位角是A A，之間的關系是：，之間的關系是：通常垂線偏差都小于通常垂線偏差都小于1010，z1

13、約為約為9090，R R1 1-R-R也僅有百分之幾秒，遠也僅有百分之幾秒，遠小于天文方位角的觀測誤差，所以上式寫成：小于天文方位角的觀測誤差，所以上式寫成：上式就是天文方位角歸算為大地方位角的計算公式，成為拉普拉斯方上式就是天文方位角歸算為大地方位角的計算公式，成為拉普拉斯方程式。還可以寫成：程式。還可以寫成：由此得到的大地方位角稱為拉普拉斯方位角。由此得到的大地方位角稱為拉普拉斯方位角。()sin( sincos)cotALAAz1sin)(LAtanA第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學如果橢球的短軸與地球某一固定歷元的地軸不平行，起始大地子午面如

14、果橢球的短軸與地球某一固定歷元的地軸不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生歐拉角，此時垂線偏差公式和拉和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生歐拉角，此時垂線偏差公式和拉普拉斯方程將擴展為：普拉斯方程將擴展為：上式為廣義垂線偏差公式和拉普拉斯公式。上式為廣義垂線偏差公式和拉普拉斯公式。sincos0seccostansintan1tancossecsinsec0XYZBLA 第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學 橢球定位橢球定位將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關位置固定下來，將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關位置固定下來，確定測量計算基準面的具體位置和大

15、地測量起算數(shù)據(jù)。確定測量計算基準面的具體位置和大地測量起算數(shù)據(jù)。 OXYZOXYZ1111起始天文子午面起始大地子午面地球地軸橢球短軸橢 球 中 心地 心橢球坐標系和橢球坐標系和地球坐標系地球坐標系第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學 橢球定位的過程和原理橢球定位的過程和原理1.1.選定大地原點選定大地原點K K2.2.測量天文經(jīng)度測量天文經(jīng)度 ，天文緯度，天文緯度 ，正高，正高 及天文方位角及天文方位角 3.3.寫出廣義的垂線偏差公式和廣義的拉普拉斯方程寫出廣義的垂線偏差公式和廣義的拉普拉斯方程4.4.顧及到顧及到 ，將上式寫成，將上式寫成KKKH正正

16、K2sec(sincos)tan(coscos)tan(coscos)sec(cossin)sincosKKKKYKXKKZKKKYKXKKKKKYKXKKKKKYKXKKKKLBAHHNN e正正0,0,0XYZ第一節(jié)第一節(jié) 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學sectanKKKKKKKKKKKKKKLBAHHN正正式中沒有出現(xiàn)X0Y0Z0，其實他們是被 代替了。因此，橢球定位和定向實際上就是確定 。,KKKN,KKKN一點定位一點定位 最初定位時，令大地原點處橢球的法線和鉛垂線方向重合，橢最初定位時，令大地原點處橢球的法線和鉛垂線方向重合，橢球面和大地水準面相切，

17、即球面和大地水準面相切，即 ，此即為一點定位。，此即為一點定位。多點定位多點定位 以后定位時，利用多個拉普拉斯點的測量成果，根據(jù)以后定位時，利用多個拉普拉斯點的測量成果，根據(jù) 求出求出0,0,0KKKN2minKN,KKKN第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學法截面法截面包含曲面一點法線的平面。有無數(shù)個。包含曲面一點法線的平面。有無數(shù)個。法截線法截線法截面與曲面的截線。有無數(shù)條。法截面與曲面的截線。有無數(shù)條。子午圈子午圈包含短軸的平面與橢球面的交線。包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈卯酉圈與子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的與子午面相垂

18、直的法截面同橢球面相截形成的閉合圈。閉合圈。第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB +9 0 N=bxyxrraN卯酉圈卯酉圈與橢球面上一點子午圈相與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該點的卯酉圈。垂直的法截線，為該點的卯酉圈。斜截線斜截線不包含法線的平面與橢球不包含法線的平面與橢球面的截線，成為斜截線。面的截線，成為斜截線。平行圈平行圈垂直于短軸的平面與橢球垂直于短軸的平面與橢球面的交線。面的交線。平行圈是斜截線。平行圈是斜截線。平行圈和卯酉圈有相同的切線。平行圈和卯酉圈有相同的切線。第二節(jié)第二

19、節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學麥尼爾定理：通過曲面上一點麥尼爾定理：通過曲面上一點引兩條弧線，一為法截線，一引兩條弧線，一為法截線，一為斜截線，且在該點上這兩條為斜截線，且在該點上這兩條弧線具有公共切線，這時斜截弧線具有公共切線，這時斜截線在該點處的曲率半徑等于法線在該點處的曲率半徑等于法截線的曲率半徑乘以兩截弧平截線的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。面夾角的余弦。BNrcosTWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90 N=bxyxrra第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學cosrP

20、KB這表明，卯酉圈的曲率半徑這表明，卯酉圈的曲率半徑N N恰好等于法線介于橢球面和短恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度。軸之間的長度。在子午橢圓上，以長軸為在子午橢圓上，以長軸為x x軸，軸，短軸為短軸為y y軸建立坐標系，那么軸建立坐標系，那么橢圓的方程是橢圓的方程是22221xyab22220 xy dyabdx對對x x求導數(shù)求導數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學根據(jù)導數(shù)的性質，曲線上某一點的導數(shù)就是該點的切線與橫軸正根據(jù)導數(shù)的性質，曲線上某一點的導數(shù)就是該點的切線與橫軸正方向所夾角的正切。方向所夾角的正切。tan(90)cot

21、dyBBdx 代入導數(shù)公式，得代入導數(shù)公式，得222tan(1)tanbyxBxeBa代入橢圓方程，得代入橢圓方程，得22222222(1) tan1(1)xxeBaae22coscos1sinaaxBBWeB第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學由圖可看出，由圖可看出，x=rx=r，所以，所以，cosarBW與前面的與前面的BNrcos比較得比較得：aNW根據(jù)根據(jù)N N和和W W的關系，以及的關系，以及c c和和a a的關系，還有的關系，還有cNV第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學-d X

22、d rEDCKBBMMd BdXMdBsindrdXB sindrMBdB cosarBW因為因為所以可求所以可求r對對B的導數(shù)為的導數(shù)為第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學1322222222322222223222223sin(1sin)sincos(1sin) sin(1sin) (1sin)cos sin(1sin)(1)(1) sindraBeBaeBBeBdBaBeBeBeBaBeBeaeBW 代入得代入得233(1)aecMWV第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學l在微分幾何學

23、中，曲面上任一點的切平面上，都存在兩個互相垂直在微分幾何學中，曲面上任一點的切平面上，都存在兩個互相垂直的特殊方向，使法截線的曲率達到最大值和最小值。這兩個方向稱為的特殊方向，使法截線的曲率達到最大值和最小值。這兩個方向稱為主方向，其相應的法截線曲率稱為主曲率。對應的曲率半徑成為主曲主方向，其相應的法截線曲率稱為主曲率。對應的曲率半徑成為主曲率半徑。率半徑。l在橢球面上任一點的法截線中，卯酉圈的曲率半徑達到最大值，而在橢球面上任一點的法截線中，卯酉圈的曲率半徑達到最大值，而子午線的曲率半徑最小，因此，任一點的卯酉圈和子午圈的切線方向子午線的曲率半徑最小，因此，任一點的卯酉圈和子午圈的切線方向就

24、是橢球面在該點的主方向，其曲率半徑就是橢球面在該點的主方向，其曲率半徑N N和和M M就是主曲率半徑。由于就是主曲率半徑。由于橢球面上任一點的平行圈和卯酉圈有公共切線，所以，經(jīng)線和緯線的橢球面上任一點的平行圈和卯酉圈有公共切線，所以，經(jīng)線和緯線的切線方向也是主方向。切線方向也是主方向。 應用大地測量學應用大地測量學第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑B BN NM M說明說明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上，在赤道上，N N為赤道半為赤道半徑徑a a，M M小于赤道半徑小于赤道半徑a a0 0B90B90aNca

25、Nca(1-ea(1-e2 2)Mc)Mc此間此間N N、M M均隨均隨B B的增大的增大而增大而增大B=90B=90在極點，卯酉圈變?yōu)樵跇O點，卯酉圈變?yōu)樽游缛ψ游缛 M、N N隨隨B B變化的規(guī)律變化的規(guī)律 總結：總結：N N和和M M都只與都只與B B有關，且隨有關，且隨B B的增大而增大，當?shù)脑龃蠖龃?，當B B等于等于9090度時，二者相度時，二者相等，都等于等，都等于c c，所以，所以c c就是極曲率半徑。就是極曲率半徑。第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學根據(jù)微分幾何中的歐拉公式，由曲面上任意一點的主曲率半徑計算根據(jù)微分幾何中的

26、歐拉公式，由曲面上任意一點的主曲率半徑計算該點任意方向（大地方位角為該點任意方向（大地方位角為A）的法截線曲率半徑的公式是：）的法截線曲率半徑的公式是：22cossinAMNRNAMA221NVM 將上式除以將上式除以M M，并顧及，并顧及 得：得：222221cos1coscosANNRAeBA第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學法截線的曲率半徑具有下述法截線的曲率半徑具有下述特性：特性：1 1）相對于主方向對稱位置的）相對于主方向對稱位置的法截線具有相同的曲率半徑。法截線具有相同的曲率半徑。2 2）橢球面上任一點相互垂直）橢球面上任一點相

27、互垂直的兩個法截線曲率之和是固的兩個法截線曲率之和是固定值，且等于兩個主方向曲定值，且等于兩個主方向曲率之和。率之和。A3 6 0 -A9 0 + A9 0 -A1 8 0 -A1 8 0 + A2 7 0 + A2 7 0 -A子 午 圈卯 酉 圈901111AARRMN第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學11 ()inAiRRnn2222001122cossinAMNRR dAdANAMA上式表明，橢球面上某一點處的法截線的平均曲率半徑等于該點處子上式表明，橢球面上某一點處的法截線的平均曲率半徑等于該點處子午圈和卯酉圈曲率半徑午圈和卯酉圈

28、曲率半徑M M和和N N的幾何平均值的幾何平均值, ,在極點處為在極點處為c c。且有。且有NRM2221aecRMNWV第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學122(1)cNcV3223(1)cMcV212(1)cRcV二項式定理：二項式定理：22468(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)12!3!4!nn nn nnn nnnn 第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學2244668813535(1coscoscoscos2816128NceBeBeBeB2244668831535315

29、(1coscoscoscos2816128MceBeBeBeB22446688(1coscoscoscosRceBeBeBeB將橢球參數(shù)代到上面的公式中，即得對應于各個橢球的數(shù)值計算將橢球參數(shù)代到上面的公式中，即得對應于各個橢球的數(shù)值計算公式，如克拉索夫斯基橢球，公式，如克拉索夫斯基橢球，19751975年國際橢球等。年國際橢球等。BN（m）R（m）M（m）01530456075906 378 2456 379 6756 383 5886 388 9546 394 3156 398 2556 399 6996 356 8636 359 7146 367 5186 378 2096 388 93

30、66 369 8116 399 6996 335 5536 339 8166 351 4886 367 4916 383 5616 395 3686 399 699第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學下面是三個曲率半徑的數(shù)值（克拉索夫斯基橢球）下面是三個曲率半徑的數(shù)值（克拉索夫斯基橢球）第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學 計算計算B=0B=0到到B B的子午圈弧長的子午圈弧長X X由由M=dX/dBM=dX/dB得：得： 將將 代入上式，得代入上式，得X X2244668831535315(1cosc

31、oscoscos2816128MceBeBeBeB0BXMdB22446688031535315(1coscoscoscos)2816128BXceBeBeBeB dB第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學根據(jù)三角函數(shù)的積分公式，有根據(jù)三角函數(shù)的積分公式，有12sincos1coscosnnnBBnBdBBdBnn依次求出余弦函數(shù)各次冪的定積分，經(jīng)整理得：依次求出余弦函數(shù)各次冪的定積分，經(jīng)整理得：35702468(coscoscoscos)sinXcBBBBBB式中：式中：24680345175110 251464256163 84eeee 2014684

32、151753 675323848 192eee68635735962 048ee 883151 024e第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學計算已知緯度計算已知緯度B1B1和和B2B2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長X X（1 1）分別計算）分別計算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長X1X1和和X2X2，然后求，然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2）用上述積分式求）用上述積分式求B1B1B2B2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長X X。l單位緯度的子午線弧長隨緯度的升高而緩慢地增大。單位緯度的子午線弧長隨緯度的

33、升高而緩慢地增大。第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學 平行圈是一個半徑等于平行圈是一個半徑等于 r=NcosBr=NcosB的圓，緯度的圓，緯度B B處經(jīng)度處經(jīng)度L1L1L2L2之之間的平行圈弧長間的平行圈弧長 l與緯度有關。緯度越高，平行圈半徑越小，單位緯度對應的弧長越與緯度有關。緯度越高，平行圈半徑越小，單位緯度對應的弧長越短。短。 B子午線弧長（m）平行圈弧長（m）B=111l=1110153045607590110 576110 656110 863111 143111 423111 625111 6961 842.941 844.261 84

34、7.711 852.391 857.041 860.421 861.6030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.027111 321107 552 96 488 78 848 55 801 28 902 01 855.361 792.541 608.131 314.14 930.02 481.71 0.0030.92329.87626.80221.90215.500 8.028 0.000第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學子午線弧長和平行圈弧長變化的比較子午線弧長和平行圈弧長變化的比較橢球面梯形圖幅面積的計算橢球面

35、梯形圖幅面積的計算dydxdPMdBdx BdLNdycosdBdLWBeadP422cos1具體的計算公式為2121422cos1LLBBdBdLWBeaP21223456721234sinsinsinsin357BBPbLLBeBeBeB地球全球的面積為地球全球的面積為5.15.1億億kmkm2 2，地球的半徑為，地球的半徑為6371.1km6371.1km第三節(jié)第三節(jié) 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學野外測量時，假設測站點的鉛垂線與法線重合，那么視準面就是法截野外測量時，

36、假設測站點的鉛垂線與法線重合，那么視準面就是法截面，它和橢球面的截線就是法截線。但是事實上，測站點的鉛垂線一面，它和橢球面的截線就是法截線。但是事實上，測站點的鉛垂線一般不可能與法線重合，不同測站點的法線也不相交，兩個對向觀測的般不可能與法線重合，不同測站點的法線也不相交，兩個對向觀測的測站之間就會出現(xiàn)兩條不相重合的法截線。測站之間就會出現(xiàn)兩條不相重合的法截線。 sinCKNB2(1)sinCONeB2sinOKCKCOe NB緯度不同，交點緯度不同，交點K K的位置就不的位置就不同，并且緯度越高，同，并且緯度越高，K K的位置的位置就越靠下。就越靠下。TWyCPPEEGQQOVOUKKNss

37、BBB+90 N=bxyxrra第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學設設Q Q1 1和和Q Q2 2兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線線Q Q1 1n n1 1和和Q Q2 2n n2 2不相交。法截線不相交。法截線Q Q1 1m m1 1Q Q2 2和和Q Q2 2m m2 2Q Q1 1稱為兩點間的相對法截線。稱為兩點間的相對法截線。圖中，圖中，Q Q1 1比比Q Q2 2低，低，n n1 1比比n n2 2高，所以高，所以m m1 1比比m m2 2低，即偏南。正反

38、法截線。低，即偏南。正反法截線。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學令令Bm=45Bm=45，A=45A=45，不同距離，不同距離S S求得的求得的值為：值為： S S 100km 100km 0.042 0.042 60km 60km 0.015 0.015 30km 30km 0.004 0.004 在長距離的測量中，對向觀測所得在長距離的測量中，對向觀測所得3 3個內(nèi)角不能組成個內(nèi)角不能組成閉合三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線閉合三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線大地線。大地線。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球

39、面 應用大地測量學應用大地測量學大地線大地線曲面上兩點間的最短曲線。在微分幾何學中，大地線（又曲面上兩點間的最短曲線。在微分幾何學中，大地線（又稱測地線）是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處的密切平面都包稱測地線）是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處的密切平面都包含曲面在該點的法線。也即大地線上各點的主法線與該點的曲面法線含曲面在該點的法線。也即大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合。重合。曲線切線：當曲線切線：當P P1 1和和P P2 2點無限接近點無限接近P P點時，割線點時，割線P P1 1P P2 2的極限位置。的極限位置。切平面：曲面上通過切平面：曲面上通過P P點的一切曲線的切

40、線均在同一平面上。點的一切曲線的切線均在同一平面上。曲面法線：垂直于切平面的直線曲面法線：垂直于切平面的直線PKPK。密切平面：密切平面：ds1ds1、ds2ds2無限小時，無限小時，P P1 1，P,PP,P2 2所確定的平面。所確定的平面。曲線的主法線：在密切平面內(nèi)垂直于曲線切線的直線。曲線的主法線：在密切平面內(nèi)垂直于曲線切線的直線。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學Kddss2211PPPBA線法曲 面切 平 面密 切 平 面在在Howard D.CurtisHoward D.Curtis著的著的軌道力學軌道力學中有密切平面的定義：加

41、速中有密切平面的定義：加速度度 ， 為為 的切向分量，的切向分量， 為為 的法向分量，單位矢量的法向分量，單位矢量 和和 所形成的平面稱之為密切平面。所形成的平面稱之為密切平面。nnttuauaatanaaatunuO第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學31 =BELDK大地線與法截線的差異：大地線與法截線的差異：大地線為雙曲率曲線大地線為雙曲率曲線大地線與正法截線間的夾角為大地線與正法截線間的夾角為=/3/3。大地線與相對法截線間的長度之差甚微，大地線與相對法截線間的長度之差甚微，600km600km時二者之差僅為時二者之差僅為0.007m

42、m0.007mm。兩點位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。兩點位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。曲面上的曲線并不都是大地線，如球面上曲面上的曲線并不都是大地線，如球面上的小圓弧。對于橢球，假想在其上拉緊一的小圓弧。對于橢球，假想在其上拉緊一條既無重力又無摩擦力的細繩，細繩的平條既無重力又無摩擦力的細繩，細繩的平衡位置就是一條大底線。衡位置就是一條大底線。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學 大地線的解析特性大地線的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA與與dSdS的關系：的關系： 大地線的三個微

43、分方程：大地線的三個微分方程：1-+c o s=rro9 0 KMTNNNLLSPPPBBB BdddddAdAAAP2P PMdBcosMdBdSAdSMAdBcos1cosPPNBdL cossinNBdLdSAdSBNAdLcossin1cosNBdLdAPTsindAdLBBdSNAdAtansin1costan(90)cotsinNBPTNBNBB大地線的大地線的克萊勞方程克萊勞方程 ： 應用大地測量學應用大地測量學第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面BdSNAdAtansindSMAdBcosAMdBdScosdBBNABMAdAcoscossinsinBdB

44、drMsinrdrAAdAcossinrdrAdAcotCrAlnlnsinln積分積分CArsin這就是著名的克勞來方程，也叫克勞來定理這就是著名的克勞來方程，也叫克勞來定理第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學對于橢球面上一大地線而言，每點對于橢球面上一大地線而言，每點處平行圈半徑與該點處大地線方位處平行圈半徑與該點處大地線方位角正弦的乘積是一個常數(shù)。角正弦的乘積是一個常數(shù)。C C叫做大地線常數(shù)，不同的大地線對叫做大地線常數(shù)，不同的大地線對應的大地線常數(shù)不同。應的大地線常數(shù)不同。赤道：赤道：C=aC=a，子午圈：，子午圈：C=0C=0圖中的

45、大地線圖中的大地線EDKCEDKC，其常數(shù)等于，其常數(shù)等于a asinAsinA0 0或極小平行圈的半徑或極小平行圈的半徑r r0 0。sinrAC用來驗證大地方位角計算的正確性用來驗證大地方位角計算的正確性第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學 將地面測站點鉛垂線為基準的觀測方向換算成橢球面上以法線為將地面測站點鉛垂線為基準的觀測方向換算成橢球面上以法線為準的觀測方向，其改正數(shù)準的觀測方向，其改正數(shù)1 1為：為：例：例：A=0A=0，tan=0.01tan=0.01，=5=5，則，則1 1=0.05=0.05。 垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于

46、測站點的垂線偏差和觀測方向垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂直角）。僅在國家一、二等三角測量計算中，才規(guī)定的天頂距（或垂直角）。僅在國家一、二等三角測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。加入此項改正。 11cotcossinzAA第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學 因照準點因照準點 B B高出橢球面某一高度高出橢球面某一高度 H H2 2，使得在，使得在A A點照準點照準B B點的法截點的法截線線AbAb與與AbAb之間有一夾角之間有一夾角2 2。B B2 2 照準點的大地緯度；照準點的大地緯度；A A1 1

47、測站點至照準點的大地方位角；測站點至照準點的大地方位角；H H2 2 照準點高出橢球面的高程；照準點高出橢球面的高程；M M1 1 測站點子午圈曲率半徑。測站點子午圈曲率半徑。例：例：A A1 1=45=45，B B2 2=45=45，H H2 2=2000m=2000m，2 2=0.1=0.1局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學 將橢球面上法截線方向換算為大地線方向將橢球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數(shù)所加的為截面差改正數(shù)3 3。例：例：A

48、A1 1=45=45，Bm=45Bm=45，S=30km S=30km 3 3=0.001=0.001 截面差改正主要與測站點至照準點間的距截面差改正主要與測站點至照準點間的距離有關。只有在國家一等三角測量計算中，才離有關。只有在國家一等三角測量計算中，才進行改正。進行改正。 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學 設設A A、B B兩點的大地高分別為兩點的大地高分別為H H1 1為為H H2 2，h=Hh=H2 2-H-H1 1，d d為空間直線長。為空間直線長?，F(xiàn)在要求測站點現(xiàn)在要求測站點A A的投影點的投影點a a到照準點到照準點B B的

49、投影的投影點點b b之間的大地線長度之間的大地線長度S S。兩個近似：兩個近似：1 1）大地線長度與法截線長度之間）大地線長度與法截線長度之間的差值忽略不計；的差值忽略不計；2 2）法截線長度與以）法截線長度與以R RA A為半徑為半徑的圓弧的長度之差忽略不計。的圓弧的長度之差忽略不計。兩個步驟：兩個步驟：1 1）將空間距離轉化為弦長）將空間距離轉化為弦長S S0 0；2 2）將弦長將弦長S S0 0轉換為弧長轉換為弧長S S2221coscosmAmNReBA第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學2221212()() 2()()cosAAA

50、AdRHRHRHRH2cos1 2sin2 22221221()4(1)(1)sin ()2AAAHHdHHRRR02sin()2ASR21hHH222120(1)(1)AAHHdhSRR22012122212122222212(1)(1) (1)(1) 12(1)AAAAmAmAmAdhSHRHRdhHRHRdhHRHRdhHR第一步完成第一步完成第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學02arcsin()2AAASSRRR300224ASSSR2322()24mmAAAHHsSssRRR 22sdh第一項是測距儀與反光鏡平均高程面上的水平距離

51、，第一項是測距儀與反光鏡平均高程面上的水平距離，第二項是水平距離換算成橢球面上相應弦長的改正第二項是水平距離換算成橢球面上相應弦長的改正數(shù)，第三項是弦長換算成橢球面上圓弧長的改正數(shù)。數(shù)，第三項是弦長換算成橢球面上圓弧長的改正數(shù)。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學 目的目的將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。算未知邊長。又因為地球橢球又因為地球橢球扁率不大，三角鎖網(wǎng)中的三角形比較小，橢球面上的率不大，三角鎖網(wǎng)中的三角形比較小，橢球面上的三角形解算完全可以在球面上進

52、行。三角形解算完全可以在球面上進行。200km200km，0.0010.001，1mm方法一：按球面三角形解算公式，例如球面三角形的正弦定理方法一：按球面三角形解算公式，例如球面三角形的正弦定理 00sinsinsinsinabBARR兩個缺點：兩個缺點：1）解算前需要將已知邊長除以球）解算前需要將已知邊長除以球半徑轉化為球心角，解算后再將球心角轉化為半徑轉化為球心角，解算后再將球心角轉化為長度，很不方便；長度，很不方便；2）球心角很小，而小角度）球心角很小，而小角度的正弦函數(shù)值變化很快，難以保證解算精度。的正弦函數(shù)值變化很快，難以保證解算精度。第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸

53、算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學方法二：將球面三角形改化為對應邊相等的平面三角形，按平面三角方法二：將球面三角形改化為對應邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。公式解算三角形求得球面邊長。 103AA103BB103CC000() 180ABC 球面角超球面角超公式推導：公式推導：球面上的一個角按余弦定理有：球面上的一個角按余弦定理有： 平面上的一個角平面上的一個角 第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學0coscoscossinsincosabcbcARRRRR242424242424033332224442222

54、222(1)(1)(1)224224224cos()()66222 224aabbccRRRRRRAbbccRRRRbcaabca ba cb cbcR bc22212cosabcbcA2221cos2bcaAbc第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學4442222221024442222222222221122222coscos24222 ()64 (1 cos)sin66abca ba cb cAAR bcbcabca ba cb cRR b cbcbcAARR 21010122sinsinsin226AAAAbcAR1010101sin,

55、 sinsin222AAAAAAA10122sin63bcAAARR 11sin2bcA 2R令：令：則：則：103AA同理：同理：103BB103CC第四節(jié)第四節(jié) 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學101010333AABBCC這就是解算球面三角形這就是解算球面三角形的勒讓德定理的勒讓德定理該定理表明，如果將球面三角形的每個角度減去其球面角超的三分該定理表明，如果將球面三角形的每個角度減去其球面角超的三分之一，就得到對應邊相等的平面三角形，按平面三角形的正弦公式之一，就得到對應邊相等的平面三角形，按平面三角形的正弦公式解算，即可得出球面三角形的邊長。解

56、算，即可得出球面三角形的邊長。第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應用大地測量學應用大地測量學 大地問題正解大地問題正解已知已知P P1 1點大地坐點大地坐標（標（B B1 1，L L1 1）、）、P P1 1P P2 2大地線長大地線長S S和大地方位和大地方位角角A A1212，推求，推求P P2 2點大地坐標（點大地坐標（B B2 2，L L2 2）和大）和大地方位角地方位角A A2121。 大地問題反解大地問題反解已知已知P P1 1P P2 2兩點的大兩點的大地坐標（地坐標（B B1 1，L L1 1）、（）、（B B2 2，L L2 2）反算）反算P P1 1P

57、 P2 2的的大地線長大地線長S S和大地方位角和大地方位角A A1212、A A2121。 實質是：大地極坐標和大地坐標之間實質是：大地極坐標和大地坐標之間的變換的變換橢球面上的大地經(jīng)度橢球面上的大地經(jīng)度L L、大地緯度、大地緯度B B、兩點間的大地線長度、兩點間的大地線長度S S及其正反大及其正反大地方位角地方位角A A1212、A A2121通稱為大地元素。已知一部分求另一部分，就是大地通稱為大地元素。已知一部分求另一部分，就是大地問題解算，或稱大地坐標解算。問題解算，或稱大地坐標解算。第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應用大地測量學應用大地測量學 1 1、按解算的

58、長度分為短距離（、按解算的長度分為短距離（400km)0,0 0,0 0,02 0,0 0,02mmmmmATblATblATblATblAbl為了解算大地問題，高斯于為了解算大地問題，高斯于18461846年對勒讓德級數(shù)進行了改化，提出了年對勒讓德級數(shù)進行了改化，提出了以大地線兩端點平均緯度及平均方位角為依據(jù)的高斯平均引數(shù)公式，以大地線兩端點平均緯度及平均方位角為依據(jù)的高斯平均引數(shù)公式，它具有收斂速度快，公式項數(shù)少，計算精度高，計算較簡便，使用范它具有收斂速度快，公式項數(shù)少，計算精度高，計算較簡便，使用范圍大等優(yōu)點。圍大等優(yōu)點。 屬于間接解法，適用于短距離屬于間接解法，適用于短距離基本思路：

59、基本思路：a a、首先把勒讓德級數(shù)在、首先把勒讓德級數(shù)在P1P1點展開改為點展開改為在大地線中點在大地線中點M M展開，以使級數(shù)公式項展開，以使級數(shù)公式項數(shù)少，收斂快，精度高。數(shù)少，收斂快，精度高。b b、考慮到求定中點、考慮到求定中點M M的復雜性，將的復雜性，將M M點點用大地線兩端點平均緯度及平均方位用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應的角相對應的m m點來代替，并借助迭代計點來代替，并借助迭代計算，便可順利實現(xiàn)大地問題正算。算，便可順利實現(xiàn)大地問題正算。 第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應用大地測量學應用大地測量學第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大

60、地問題解算 應用大地測量學應用大地測量學（一）將（一）將l、b、a在大地線中點在大地線中點M處展開為處展開為S的冪級數(shù)的冪級數(shù) 22332231122468MMMMdBSd BSd BSBBdSdSdS22331231122468MMMMdBSd BSd BSBBdSdSdS 兩式相減得：兩式相減得： 33213124MMdBd BbBBSSdSdS（5-805-80）同理可得：同理可得： 第五節(jié)第五節(jié) 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應用大地測量學應用大地測量學33213124MMdLd LlLLSSdSdS33213124MMdAd AaAASSdSdS雖然只有兩項，實際上已達到