隨機(jī)事件及其運(yùn)算

1、2021/4/21高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程教案制作：潘 小 平2021/4/22本章學(xué)習(xí)要求：v 理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算。v 理解事件頻率的概念，理解概率的古典定義。v 掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理。v 理解條件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事件的獨(dú)立性概念。v 掌握貝努利概型和二項(xiàng)概率的計(jì)算方法。第一章 隨機(jī)事件及其概率2021/4/23第一節(jié) 隨機(jī)事件及其運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間二、隨機(jī)事件三、事件的關(guān)系與運(yùn)算2021/4/24一、隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象; ;在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)出不確定性, 在大量重復(fù)試驗(yàn)

2、中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象, 稱為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.2021/4/25我們把對隨機(jī)現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察、實(shí)驗(yàn)或試驗(yàn)E都稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，記為 ，它具有三個(gè)1、可在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行;2、每次試驗(yàn)前能知道所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且可能特點(diǎn)：結(jié)果不止一個(gè)。3、進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).2021/4/26 試驗(yàn)的例:E1:拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況.E2:將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況.E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).E4:拋一顆骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

3、E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).E6:在一批燈泡中任取一只, 測試它的壽命.E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.2021/4/27 樣本空間 對于隨機(jī)試驗(yàn), 盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)的結(jié)果, 但試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果組成的集合是已知的, 將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間, 記為. 樣本空間的元素, 即E 的每個(gè)結(jié)果, 稱為樣本點(diǎn) ，記為.2021/4/28例例1 11E: 拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況. ,1TH2E: 將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況.2HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH

4、,TTT;: 將一枚硬幣拋擲三次, 觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).3E30, 1, 2, 3;: 拋一顆骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).4E41, 2 , 3, 4, 5, 6 .2021/4/29要注意的是：樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的。例如，在 和 中同是將2E3E一枚硬幣連拋三次，由于試驗(yàn)的目的不一樣，其樣本空間也不一樣。2021/4/210二、隨機(jī)事件稱試驗(yàn)E的樣本空間的子集為E的隨機(jī)事件, 簡稱事件.常用英文大寫字母 等表示。,CBA僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí), 稱這一事件發(fā)生.特別地, 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集, 稱為基本事件。擲一次骰子的實(shí)驗(yàn) 有6個(gè)基本事件1,2,3,4,5,6.4

5、E在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且1E例如, 擲一次硬幣的試驗(yàn)T;有兩個(gè)基本事件H和2021/4/211樣本空間包含所有的樣本點(diǎn), 它是自身的子集, 在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的, 稱為必然事件； 何樣本點(diǎn), 它也作為樣本空間的子集, 空集 不包含任發(fā)生, 稱為不可能事件.它在每次試驗(yàn)中都不必然事件和不可能事件本質(zhì)上沒有不確定性，但是為了方便，仍把它們看作隨機(jī)事件。2021/4/212幾個(gè)事件的例子:例: 在 :擲三次硬幣觀察正反面出現(xiàn)情況中事件 :第一次2E1A出現(xiàn)的是 H , 即=HHH, HHT, HTH, HTT .1A事件 : 三次出現(xiàn)同一面, 即2A=HHH, TTT2A在 : 測試任取的一只燈泡壽

6、命中, 事件 : 壽命小于10006E3A小時(shí), 即=t | 0 t 1000.3A2021/4/213三、事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算為了通過簡單事件去表示和研究復(fù)雜事件，需要討論事件之間的關(guān)系和運(yùn)算。設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) 的樣本空間為E,而 及CBA,1( iAi),2,是事件。2021/4/2141. 事件的包含與相等如果事件 發(fā)生必然導(dǎo)致事件 發(fā)生，則稱事件 包ABB含事件 ，或稱 是 的子事件，記為 或ABABA.AB 如果 且 ，則稱 與 相等，記為BAAB AB.BA2021/4/2152. 事件的和事件 與事件 中至少有一個(gè)發(fā)生是一個(gè)事件，稱為 AB事件 與事件 的和，記為 即AB,BA.B

7、ABA或事件的和可以推廣到任意有限個(gè)或可列無窮多個(gè)事件的情形。2021/4/216事件 中至少有一個(gè)發(fā)生稱為這 個(gè)事件nAAA,21n的和，記為 或nAAA21.1iniA可列無窮多個(gè)事件 的和記為,21nAAA.1iiA2021/4/2173. 事件的積.BAAB且事件的積可以推廣到任意有限個(gè)或可列無窮多個(gè)事件的情形。事件 與事件 同時(shí)發(fā)生是一個(gè)事件，稱為事件 與 ABA事件 的積，記為 或 即BBA,AB2021/4/218事件 同時(shí)發(fā)生稱為這 個(gè)事件的積，nAAA,21n可列無窮多個(gè)事件 的積記為,21nAAA.1iiA記為 或 或nAAA21.1iniAnAAA212021/4/219

8、4. 事件的互不相容不可能事件 則稱 與 互不相容或互斥。AB如果事件 和 不能同時(shí)發(fā)生，即 和 同時(shí)發(fā)生是ABBA,AB2021/4/2205. 對立事件如果兩事件 滿足BA,BA 且,ABAB.AB 是 的對立事件(或逆事件，補(bǔ)事件)，記為則稱AB也是的對立事件。當(dāng)然，這時(shí) 若 與 互為對立事件，則在每一次試驗(yàn)中，ABBA與必有且僅有一個(gè)發(fā)生。2021/4/2216. 事件的差由對立事件和兩事件的積的定義可知：.BABA與事件 的差，記為 B,BA事件 出現(xiàn)而事件 不出現(xiàn)是一個(gè)事件，稱為事件ABA. BABA且即2021/4/222概率論中事件之間的關(guān)系和運(yùn)算與集合的相應(yīng)關(guān)系和運(yùn)算是一致的

9、。集合的運(yùn)算規(guī)則對事件運(yùn)算同樣適用：(1) 交換律：;,ABBAABBA(2) 結(jié)合律：;)()(,)()(CBACBACBACBA2021/4/223(3) 分配律：; )()()(CABACBA; )()()(CABACBA(4) 對偶律(德摩根律)：.,BABABABA2021/4/224例例2 2 : 擲三次硬幣觀察正反面出現(xiàn)的情況。2E=HHH, HHT, HTH, HTT .1A事件 : 三次出現(xiàn)同一面, 即2A=HHH, TTT.2A“第一次出現(xiàn)的是 H ”, 即:1A事件. ,21TTTHTTHTHHHTHHHAA. 21HHHAA. 12TTTAA若則. ,21TTHTHTTHHAA2021/4/225 如圖所示的電路中, A表示信號燈亮, B, C, D表示繼電器接點(diǎn)I,II,III閉合.IIIIII例例3 32021/4/226則 BC A, BD A, BC BD =A, .ABIIIIIIABCD2021/4/227例例4 4從一批產(chǎn)品中每次取出一件進(jìn)行檢驗(yàn)(每次取出的產(chǎn)品不放回), 事件 表示第i 次取到合格品(i =1, 2, 3). 試用 iAiA表示下列事件: 三次都取到了合格品; (1)(2) 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有兩次取到合格品; (3)(4) 三次中最多有一次取到合格品321AAA321AAA321