10 函數(shù)零點的個數(shù)問題

1、精選文檔10 函數(shù)零點的個數(shù)問題一、知識點講解與分析：1、零點的定義：一般地，對于函數(shù)，我們把方程的實數(shù)根稱為函數(shù)的零點2、函數(shù)零點存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得。（1）在上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提（2）零點存在性定理中的幾個“不一定”（假設(shè)連續(xù)） 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個 若，那么在不一定有零點 若在有零點，則不一定必須異號3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一4、函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像交點之間的聯(lián)系 設(shè)函數(shù)為，則的零點即為滿足方程的根，若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐標系中為交點的橫坐標，

2、其范圍和個數(shù)可從圖像中得到。 由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特點，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。（詳見方法技巧）二、方法與技巧：1、零點存在性定理的應(yīng)用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內(nèi)。例如：對于方程，無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點必在中2、函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用（1）函數(shù)的零點：工具：零點存在性定理作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內(nèi)。缺點：方法單一，只能判定零

3、點存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具：方程的等價變形作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對方程進行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)（3）兩函數(shù)的交點：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個主要是代數(shù)運算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)（即零點，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時，通常進行參變

4、分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因為另外一個只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡（作圖問題詳見：1.7 函數(shù)的圖像）3、在高中階段主要考察三個方面：（1）零點所在區(qū)間零點存在性定理，（2）二次方程根分布問題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第（3）個類型常要用到函數(shù)零點，方程，與圖像交點的轉(zhuǎn)化，請通過例題體會如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進而通過圖像解決問題的。三、例題精析：例1：直線與函數(shù)的圖象有三個相異的交點，則的取值范圍為 ()A B C D例2：設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有兩個相

5、異實根，則實數(shù)的取值范圍是_例3：已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.例4：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B. C D例5：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A 4 B6 C8 D10例6：對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 例7：已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時，則關(guān)于的函數(shù)的零點的個數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D0或2例8：定義域為的偶函數(shù)滿足對，有，且當(dāng)時，若函

6、數(shù)在上至少有三個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例9：已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，其中，若方程恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例10：（2014甘肅天水一中五月考）已知函數(shù) 的圖像上關(guān)于軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 三、模擬題題目精選：1、已知是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程有個根，則的取值范圍是( )A或 B C或 D2、若直角坐標平面內(nèi)A,B兩點滿足條件：點都在函數(shù)的圖像上；點關(guān)于原點對稱，則稱是函數(shù)的一個“姊妹點對”（與可看作同一點對），已知，則的“姊妹點對”有_個3、已知

7、函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 4、已知，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是_5、已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 6、已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 7、已知函數(shù)，若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_8、已知函數(shù)，則方程實根的個數(shù)為_9、已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且 ，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 10、對于函數(shù)，設(shè)，若存在使得，則稱與互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 11、已知偶函數(shù)滿足對任意，均有且，