模糊圖像的盲去卷積算法

1、模糊圖像的盲去卷積算法肖宿 韓國強(qiáng) 沃焱（華南理工大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 廣州 510006）摘要 貝葉斯框架下圖像統(tǒng)計模型的選取和先驗?zāi)Ｐ偷慕?對于圖像盲去卷積算法結(jié)果的優(yōu)劣具有重要的影響.總變分模型是目前使用較多的先驗?zāi)Ｐ?其優(yōu)點(diǎn)是突出的邊緣保持能力.而總變分模型的缺點(diǎn)也是比較明顯的,它會給恢復(fù)的圖像帶來階梯效應(yīng),產(chǎn)生虛假的邊緣,邊緣的去噪效果不理想.同時,作為非線性模型,它還會降低算法的效率和提高算法的復(fù)雜度.為了解決以上問題,文中引入Sobolev圖像空間模型用于圖像的盲去卷積.該模型提高了算法的速度,降低了算法的整體復(fù)雜度,避免了階梯效應(yīng)和虛假邊緣的出現(xiàn).在用變分近似的方法估計最

2、優(yōu)解時,變分準(zhǔn)則的選取很重要,而常用的基于Kullback-Leibler測度的準(zhǔn)則有時會使計算變得復(fù)雜.本文提出了一種新的變分準(zhǔn)則,它有效地簡化了計算,提高了算法的速度.實驗結(jié)果證明了本算法的有效性,在算法簡化速度提升的同時,圖像的盲去卷積取得了令人滿意的效果.關(guān)鍵詞 圖像盲去卷積;貝葉斯方法;變分準(zhǔn)則;先驗?zāi)Ｐ?參數(shù)估計中圖分類號: TP751.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A Blind Deconvolution Algorithm of Blurred ImagesXiao Su Han Guoqiang Wo Yan(School of Computer Science and Engineer

3、ing, South China University of Technology, Guangzhou 510006)Abstract The selection of image statistical models and the construction of image prior models have important effects on the results of blind image deconvolution algorithms under Bayesian framework. Currently, the total variation model is a

4、commonly used prior model which has the outstanding virtue that it can preserve edges well. However, it has its obvious drawback that it brings restored images the staircase effect, fake edges and sometimes bad results of denoising at the image edges. Meanwhile, as a nonlinear model, the total varia

5、tion model will reduce the efficiency and increase the complexity of the algorithms. In order to solve the problems mentioned above, the Sobolev image space model is introduced to the blind image deconvolution. This model can increase the speed and reduce the overall complexity of the proposed algor

6、ithm without the staircase effects and the fake edges. Its important to select the proper variational criterion, when the variational method is used to obtain the optimal estimation, while the commonly used Kullback-Leibler divergence based criterion will sometimes make the calculations more complic

7、ated. This paper presents a novelty variational criterion which simplifies the calculations in the proposed algorithm and increases the speed of the algorithm. The experimental results show the validity of the presented algorithm which obtains the satisfied results in the image blind deconvolution w

8、ith the simplification and the acceleration of the algorithm.Keywords blind image deconvolution; Bayesian methods; variational criterion; prior models; parameter estimation線性系統(tǒng)信號盲分離問題的研究由來已久,在圖像恢復(fù)領(lǐng)域,由于圖像的退化過程通常由線性系統(tǒng)模型來描述,而且模型中與原始圖像卷積的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF, point spread function)往往是未知的,因此信號盲分離技術(shù)也越來越多地應(yīng)用于圖像恢復(fù)問題,被

9、稱為圖像盲去卷積算法.目前,圖像盲去卷積算法主要分為兩大類:基于貝葉斯框架的隨機(jī)性(stochastic)方法1-5和非貝葉斯框架的確定性(deterministic)方法6-10.確定性方法可以看作帶約束的最小化問題,這些約束可以是原始圖像的亮度保持假設(shè),點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的平滑估計等;隨機(jī)性方法把未知的變量看作是隨機(jī)變量,借助統(tǒng)計學(xué)的理論,利用圖像的統(tǒng)計特性和成像系統(tǒng)的先驗知識來求解盲去卷積問題.相對確定性的方法,隨機(jī)性方法可以利用已有的模型和引入先驗假設(shè)來幫助問題的求解.在問題的推導(dǎo)過程,它可以根據(jù)不同的情況,靈活地選擇推導(dǎo)方法.目前,常用的貝葉斯推導(dǎo)方法主要有11:最小均方誤差法,隱變量法(h

10、idden variables),最大后驗概率法,抽樣法(sampling methods)和變分法(variational methods)等.其中,變分法因其適用的范圍廣且對問題求解的效果較好,越來越多地被用于貝葉斯框架下問題的推導(dǎo).從以上的討論可知,對基于貝葉斯框架的隨機(jī)性方法而言,其重點(diǎn)在于先驗?zāi)Ｐ偷慕⒁约巴茖?dǎo)方法選擇.針對本文提出的隨機(jī)性算法,文中使用Sobolev圖像空間模型12來描述原始圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù).同時基于共軛先驗13的考慮,采用gamma分布作為未知參數(shù)的分布模型.變分法求解最優(yōu)估計問題的重點(diǎn)在于變分準(zhǔn)則的選取,基于已有的kullback-Leibler散度準(zhǔn)則14,本

11、文提出了一種新的變分準(zhǔn)則.在新的準(zhǔn)則下,原始圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的貝葉斯推導(dǎo)過程變得更簡單有效.1 先驗?zāi)Ｐ偷慕⒊上裣到y(tǒng)在成像過程中,不可避免會受到一些退化因素的干擾,這些因素使得觀察圖像不能正確反映客觀的場景,圖像恢復(fù)的目的就是獲得反映客觀場景的"真實圖像",退化過程通常由線性系統(tǒng)模型來描述.標(biāo)準(zhǔn)的退化模型定義如下:其中,表示卷積;,和分別表示觀察圖像,原始圖像和噪聲.它們的支撐域均可定義為,和屬于正整數(shù);即上文提到的"真實圖像"是具有線性平移不變(shift-invariant)特性的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),其支撐域可以定義為,和屬于正整數(shù).通常,和要遠(yuǎn)小于和;本

12、文從實際問題出發(fā),不考慮噪聲的存在,則公式(1)的模型用向量-矩陣(vector-matrix)的形式重新定義為:其中,和是的向量,分別由以上定義的觀察圖像,原始圖像和噪聲以字典順序(lexicographically)按列排列而成的;表示的卷積矩陣,是通過循環(huán)平移形成的.貝葉斯框架下,未知變量和隨機(jī)過程都可以看作是隨機(jī)變量,隨機(jī)變量是以它們的分布函數(shù)來描述的.在圖像處理領(lǐng)域,常用高斯分布來描述圖像的統(tǒng)計分布特性.觀察圖像的形成可以看作是一個隨機(jī)過程,且這個過程是依賴于原始圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的,因此本文用高斯概率函數(shù)來表示其概率分布.點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)也可以形成一幅圖像,可以認(rèn)為它是屬于圖像的范疇.對于

13、未知的原始圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),本文同樣采用高斯函數(shù)作為其概率分布函數(shù).定義分布函數(shù)最重要的原因是,可以通過分布函數(shù)引入一些重要的先驗?zāi)Ｐ蛠砬蠼鈭D像的盲去卷積問題,這些模型與圖像的特性有關(guān),針對問題本身的求解而言,它們的影響是非常重要的.因此,先驗?zāi)Ｐ偷倪x擇是盲去卷積問題求解的關(guān)鍵,也是本文討論的重點(diǎn).,和作為分布函數(shù)的參數(shù),可以約束先驗?zāi)Ｐ?調(diào)整先驗?zāi)Ｐ偷淖饔?控制問題的求解.對于這些未知的參數(shù),通常認(rèn)為它們是符合特定分布的隨機(jī)變量.1.1觀察模型觀察模型的建立是基于數(shù)據(jù)保真度約束的,即對噪聲沒有任何先驗知識或不考慮噪聲的情況下,由退化模型獲得的原始圖像估計值,使得盡可能接近觀察圖像,接近程度通

14、常用和之間的歐氏距離來度量.因此,在觀察圖像的高斯分布函數(shù)中引入觀察模型后,觀察圖像的分布函數(shù)定義表示如下:或者其中,的定義如公式(2);是的卷積矩陣,由循環(huán)平移形成.1.2原始圖像的先驗?zāi)Ｐ拓惾~斯框架下,圖像盲去卷積效果的優(yōu)劣主要依靠圖像的先驗?zāi)Ｐ?建立圖像先驗?zāi)Ｐ屠碚撚泻芏?常見的有信息熵理論,隨機(jī)場理論,幾何模型理論,有界變分(BV, bounded variation)理論等.有界變分理論目前受到比較多的關(guān)注,其應(yīng)用最成功的模型就是總變分(TV, total variation)模型.總變分模型的特點(diǎn)是可以有效地保持圖像的邊緣信息,但它的缺點(diǎn)也是很明顯的.由于TV模型是"分片

15、常數(shù)的",因此用作圖像的先驗?zāi)Ｐ?會給恢復(fù)的圖像帶來階梯效應(yīng)15.另外,TV模型是各項異性擴(kuò)散的(anisotropic)有時會給恢復(fù)的圖像帶來"虛假邊緣".此外,它對梯度比較大的區(qū)域懲罰作用較小,這樣會使得某些情況下其除噪效果不是很理想.因TV模型的不可微分性(non-differentiability)5,從計算成本和算法的速度出發(fā),它相比一些常用的平滑先驗?zāi)Ｐ吞幱诹觿?為避免以上問題的出現(xiàn),本文采用Sobolev圖像空間理論來建立圖像先驗?zāi)Ｐ?在Sobolev空間理論中,基于范數(shù)的調(diào)和模型(harmonic model)是使用最多的模型,屬于平滑模型,在眾多

16、平滑模型中,其邊緣保持能力較強(qiáng).調(diào)和模型是可微的,因此它可以把最優(yōu)估計問題轉(zhuǎn)化為求解線性系統(tǒng)方程問題.所以,調(diào)和模型作為圖像的先驗?zāi)Ｐ涂梢蕴岣咚惴ㄋ俣?降低算法復(fù)雜度.在原始圖像的高斯概率分布函數(shù)中引入調(diào)和先驗?zāi)Ｐ秃?可以建立如下的表達(dá)式:其中, ;和分別表示水平和豎直的一階差分算子.令表示原始圖像位置的像素,屬于圖像的支撐域,則表示減去其左邊最鄰近像素的灰度值,表示減去其上邊最鄰近像素的灰度值;，是分布函數(shù)參數(shù),作為隨機(jī)變量,其概率分布模型將稍后給出.1.3 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的先驗?zāi)Ｐ屯ǔＵJ(rèn)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的圖像是不具有明顯邊緣的,即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的支撐域是相對較平滑的,因此用平滑模型作為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的先驗

17、模型是合適的.常用的平滑模型包括了高斯模型,拉普拉斯模型,自回歸模型(AR, autoregressive model)等,但這些模型會使得點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的支撐域過于平滑,它們會平滑掉支撐域中那些不明顯的邊緣,對于準(zhǔn)確地估計模糊而言是不利的.為了避免以上問題出現(xiàn),本文用Sobolev空間的調(diào)和模型作為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的先驗?zāi)Ｐ?因此,點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的高斯概率分布函數(shù)可定義如下:其中,;在此通過外圍補(bǔ)零的方式,將點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的支撐域由擴(kuò)展到,以方便計算;和分別表示水平和豎直的一階差分算子,其定義同上;,是分布函數(shù)參數(shù),作為隨機(jī)變量,其概率分布模型將稍后給出.1.4 參數(shù)的概率分布模型未知變量,和既可以看作是常數(shù)

18、,直接賦給它們某個固定值;也可以把它們當(dāng)作隨機(jī)變量.后者相對于前者的好處是,未知的原始圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)都是依賴這些變量的,對于這些參數(shù)的選擇如果可以利用融入更多的先驗知識,將更有利于圖像盲去卷積問題的求解.因為貝葉斯框架下,先驗知識越完備,圖像盲去卷積的效果越好,這正是本文把,和當(dāng)作隨機(jī)變量的原因.根據(jù)共軛先驗的理論,未知參數(shù)的先驗概率分布和后驗概率分布屬于同一種分布,即忽略表達(dá)式中的常數(shù)系數(shù),先驗概率分布模型和后驗概率分布模型的表達(dá)式應(yīng)該是相同的,gamma分布正好可以滿足共軛先驗的要求.因此,文中使用gamma分布作為未知參數(shù)的概率分布模型,其表達(dá)式如下:其中, ,它們均是某一給定的常數(shù);

19、,代表未知參數(shù);2圖像盲去卷積算法在貝葉斯框架下,圖像盲去卷積就是利用觀察圖像來估計原始圖像,點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和未知的參數(shù),即求解最大的后驗概率.由條件概率公式:其中, 表示未知參數(shù)集合. .從公式(8)可推知,給定觀察圖像,最大后驗概率推導(dǎo)就等同于對最大聯(lián)合概率的推導(dǎo),即求解使最大的,和.對聯(lián)合概率的計算有兩種方式:精確計算和近似計算.通常情況下,精確計算獲得的精度提升,相比于計算代價的提升和時間的耗費(fèi)不成正比.而且在某些情況下,的精確計算是不可行的16.因此,通常采用近似計算的方法來求解此類問題.使用近似的方法還有一個好處,它可以讓計算過程變得更簡單.常用的近似方法中,變分法越來越多地被應(yīng)用到各

20、類問題的求解,并且取得了較好的效果17.在變分近似的算法中,變分準(zhǔn)則(variational criterion)的選取很重要,變分準(zhǔn)則用來度量近似值與準(zhǔn)確值之間的差異程度.變分法的推導(dǎo)過程主要是基于變分準(zhǔn)則最小化,因此變分準(zhǔn)則的選取決定了算法的推導(dǎo)過程.基于Kullback-Leibler散度的變分準(zhǔn)則可以準(zhǔn)確的反映分布函數(shù)與其及近似值之間所包含信息的差異程度,越來越多的算法引入Kullback-Leibler散度作為變分準(zhǔn)則,并取得了不錯的效果.但是有時Kullback-Leibler散度會使計算變得比較繁瑣,尤其對本文而言會降低算法執(zhí)行的效率.因此,本文基于Kullback-Leible

21、r散度的思想,提出了一種簡化的差異度量函數(shù)作為變分準(zhǔn)則,它的定義如下:其中,是未知變量的集合, 的定義如公式(8); ,即為的近似值.為了保證距離,定義,即是的下界.顯然,距離函數(shù)最小時,為最優(yōu)解.因此,的最優(yōu)估計可由如下公式求得:根據(jù)公式(10),對于集合中的任意一個未知變量,其近似概率的最優(yōu)估計可以定義如下:其中,代表集合中的某個元素,表示其近似概率;表示集合中除去某一元素后,剩下元素組成的集合,比如:時,.這樣,未知變量的最優(yōu)估計可以通過進(jìn)一步求得,即:綜上所述,本文求解圖像盲去卷積問題的框架如下:圖1 圖像盲去卷積算法框架圖根據(jù)圖1的框架,以及公式(11)和(12),本文的交替最小化迭

22、代算法描述如下:設(shè)定初始值,;,直到迭代終止第一步:由公式(11)計算,和: 其中, ,用于指代,;const表示任意常數(shù),忽略其存在不影響最優(yōu)化問題的求解;, 表示,和組成的參數(shù)集合;,和以此類推.第二步:根據(jù)公式(12),對第一步求得的,和進(jìn)一步計算,以獲得,和:已知:可得:則和的求解可以此類推.其中,公式中的上標(biāo)表示轉(zhuǎn)置;, 為給定常數(shù),的定義如公式(7).參數(shù)估計的不確定性,估計值與總體參數(shù)是存在一定誤差,這個誤差在允許范圍的概率用置信度表示.本文引入置信參數(shù)的概念18,由公式(23)-(26)中參數(shù)的近似表達(dá)式,可得:其中,;表示置信參數(shù),其取值范圍屬于.調(diào)整置信度可以調(diào)整參數(shù)估計值

23、的誤差范圍,使參數(shù)估計更準(zhǔn)確.;的定義如公式(7).3 實驗結(jié)果本文進(jìn)行三組對比試驗,參與比較的算法包括MM算法5與本文提出的算法,每組實驗均以256×256的標(biāo)準(zhǔn)圖像Lena和Cameraman為原始圖像.第一組實驗,使用大小為5×5,方差為9的高斯模糊作用于Lena和Cameraman圖像,分別用MM算法和本文提出的算法對模糊圖像進(jìn)行去卷積,其數(shù)值結(jié)果和Lena圖像實際的去卷積效果如表1和圖2(c),(d)所示;第二組實驗,使用大小為5×5的均勻模糊作用于Lena和Cameraman圖像,分別用MM算法和本文的算法對其進(jìn)行去卷積,對比的數(shù)值結(jié)果如表2所示;第三

24、組實驗,使用尺度為9,方向角度為45的運(yùn)動模糊作用于Lena和Cameraman圖像,分別用MM算法和本文的算法對其進(jìn)行去卷積,對比的數(shù)值結(jié)果如表3所示.表1,表2和表 3中用信噪比(SNR, signal-to-noise ratio)作為算法評價的標(biāo)準(zhǔn). MM算法的每次迭代, 都要用共軛梯度(CG, conjugate gradient)法來估計原始圖像,因此表1,表2和表3中MM算法的迭代次數(shù)用平均CG迭代次數(shù)來表示.算法的時間耗費(fèi),需視軟硬件的情況而定.表中列出的算法運(yùn)行時間,是在操作系統(tǒng)為Windows XP SP2,算法程序的運(yùn)行環(huán)境為Matlab2009a,機(jī)器硬件配置為Inte

25、l Duo T2450 CPU,2G內(nèi)存的情況下得到的.本文算法初始參數(shù)的選擇如表4所示.表1 第一組對比實驗的結(jié)果Lena圖像恢復(fù)結(jié)果算法SNR (dB)迭代次數(shù)時間耗費(fèi)(秒)MM算法20.326253.61本文算法21.9780.88Cameraman圖像恢復(fù)結(jié)果算法SNR (dB)迭代次數(shù)時間耗費(fèi)(秒)MM算法19.604656.28本文算法19.14111.18 (a) 原始圖像 (b) 模糊的原始圖像 (c) MM算法恢復(fù)結(jié)果 (d) 本文算法恢復(fù)結(jié)果圖2 第一組實驗Lena圖像去卷積效果圖從圖2可以看出,MM算法對圖像去卷積后,任能較好的保持圖像的邊緣.但是,作為一種基于非均勻擴(kuò)散

26、模型的算法,它會給恢復(fù)的圖像帶來階梯效應(yīng)和虛假的邊界.主要原因是非均勻擴(kuò)散模型是分片常數(shù)的,而且在平滑區(qū)域它也是各項異性擴(kuò)散的,會破壞平滑區(qū)域的連續(xù)性.通過合理選擇參數(shù)可以一定程度上解決以上問題的出現(xiàn);本文提出的算法也能較好地保持圖像邊緣的信息,并且不會產(chǎn)生階梯效應(yīng)和虛假邊界.但是,在圖像不連續(xù)的區(qū)域附近不可避免地出現(xiàn)Gibbs偽影20(Gibbs artifacts).這是因為,圖像通常是分片平滑的,作為基于平滑模型的算法,本文提出的算法不可避免地會使圖像邊緣及邊緣周圍的區(qū)域變得較平滑.而且迭代的次數(shù)和參數(shù)的選擇,都有可能造成偽影.因此,通過參數(shù)的合理選擇,或者引入一些抑制Gibbs偽影的算

27、法可以一定程度上解決這個問題.表2 第二組對比實驗的結(jié)果Lena圖像恢復(fù)結(jié)果算法SNR (dB)迭代次數(shù)時間耗費(fèi)(秒)MM算法20.315753.41本文算法28.8650.78Cameraman圖像恢復(fù)結(jié)果算法SNR (dB)迭代次數(shù)時間耗費(fèi)(秒)MM算法19.186065.50本文算法26.86101.18表3第三組對比實驗的結(jié)果Lena圖像恢復(fù)結(jié)果算法SNR (dB)迭代次數(shù)時間耗費(fèi)(秒)MM算法22.264751.55本文算法21.60352.28Cameraman圖像恢復(fù)結(jié)果算法SNR (dB)迭代次數(shù)時間耗費(fèi)(秒)MM算法21.915360.30本文算法20.41372.32表4

28、本算法初始參數(shù)的選擇第一組實驗Lena2.60×1035.80×1033.80×1032.96×1020.880.850.780.65Cameraman1.72×1031.15×1031.55×1031.20×1030.921.000.720.80第二組實驗Lena1.25×1068.30×1052.23×1034.30×1040.920.860.770.85Cameraman2.55×1072.33×1063.00×1046.50×1

29、030.790.981.000.74第三組實驗Lena4.00×1024.30×1023.00×1022.20×1021.001.001.001.00Cameraman1.90×1023.50×1032.26×1033.43×1051.001.000.890.63本文算法的每步迭代都是在求解線性方程組,方程組中計算的類型也僅限于加,減,點(diǎn)乘和點(diǎn)除.而且,都已知的常數(shù)矩陣,未知參數(shù),和都是通過矩陣,求解,因此計算所涉及的未知變量實際上只有和.新的變分準(zhǔn)則的引入,計算過程的得到了簡化,不會出現(xiàn)如和這樣帶有循環(huán)分塊的分塊

30、循環(huán)矩陣19(BCCB, block circulant matrix with circulant blocks).因此,算法的計算負(fù)擔(dān)相對較小.包括卷積在內(nèi)的所有運(yùn)算都在傅里葉域中進(jìn)行,算法的速度可以得到進(jìn)一步的提升.4 結(jié)語本文提出一種用于圖像盲去卷積問題的有效算法,原始圖像和點(diǎn)擴(kuò)散先驗?zāi)Ｐ偷倪x擇,給算法帶來的效率的提升和復(fù)雜度的降低.調(diào)和模型雖然屬于平滑模型,但是本文通過合理地選擇參數(shù)的,避免了細(xì)節(jié)的丟失問題.同時,一種新的變分準(zhǔn)則的使用,更進(jìn)一步提升了算法的速度.實驗結(jié)果顯示了本算法的優(yōu)點(diǎn),在較少的迭代次數(shù)和較少的時間耗費(fèi)下,無論數(shù)值結(jié)果還是視覺效果都令人滿意.參考文獻(xiàn)：1A. To

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