河北省承德市高中數學第三章導數及其應用3.3.2函數的極值與導數導學案新人教A版選修1

1、結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性.重點：利用導數的知識求函數的極值.難點：函數的極值與導數的關系.方法：合作探究一新知導學1 .如圖是函數y=f(x)的圖象，在x=a鄰近的左側f(x)單調遞,f'(x)0,右側f(x)單調遞,f'(x)0,在x=a鄰近的函數值都比f(a)小，且f'(a)0.在x=b鄰近情形恰好相反，圖形上與a類似的點還有,(e,f(e),與b類似的點還有.我們把點a叫做函數f(x)的極值點，f(a)是函數的一個極值；把點b叫做函數f

2、(x)的極值點，f(b)是函數的一個極值.2 .一般地，已知函數y=f(x)及其定義域內一點x0,對于包含x0在內的開區(qū)間內的所有點x,如果都有,則稱函數f(x)在點x0處取得，并把x0稱為函數f(x)的一個;如果都有,則稱函數f(x)在點x0處取得,并把x0稱為函數f(x)的一個.極大值與極小值統稱為,極大值點與極小值點統稱為3 .理解極值概念時需注意的幾點(1)函數的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側的點而言的.(2)極值點是函數的點，而函數定義域的端點絕不是函數的極值點.(3)若f(x)在定義域a,b內有極值，那么f(x)在a,b內絕不是單調函數，即在定義域區(qū)間上的單調函數極

3、值.(4)極大值與極小值沒有必然的大小關系.一個函數在其定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值可能大于另一點的極值.(如圖)(2)牛刀小試1 .函數y=x3+1的極大值是()A.1B.0C.2D.不存在2 .下列說法正確的是()A.函數在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大B.函數在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值小C.函數f(x)=|x|只有一個極小值D.函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在極值3 .函數y=x36x的極大值為()A.45B.3心C.-3/2D.-4a/24 .函數y=2x315x2+36x24的極大值為,極小值為二例題分析例1求函數y=3x3x+1的極值.練習：設

4、函數f(x)=x3ax29x的導函數為f'(x),且f'(2)=15.(1)求函數f(x)的圖象在x=0處的切線方程；(2)求函數f(x)的極值.例2已知函數f(x)=x3-3ax2+2bx在點x=1處的極小值為一1,試確定a、b的值，并求f(x)的單調區(qū)間.練習：設函數f(x)=(xa)21nx,aCR.若x=e為y=f(x)的極值點，求實數a.例3右圖是函數y=f.(x)的導函數y=f'(x)的圖象，對此圖象，有如下結論：在區(qū)間(一2,1)內f(x)是增函數；r在區(qū)間(1,3)內f(x)是減函數；OI23/45xx=2時，f(x)取到極大值；/2在x=3時，f(x)

5、取到極小值.其中正確的是(將你認為正確的序號填在橫線上).練習：函數f(x)的定義域為R,導函數f'(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)()A.無極大值點、有四個極小值點B.有一個極大值點、兩個極小值點C.有兩個極大值點、兩個極小值點D.有四個極大值點、無極小值點例4若aw0,試求函數f(x)=3ax3x2+a2x2+2ax的單調區(qū)間與極值.例5已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=1時有極值0,求常數a、b的值.三作業(yè)后記與感悟：一、選擇題1. (2015杭州高二檢測)函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數f'(x)在(-a,b)內的圖象如圖所示，則函數f(x

6、)在開區(qū)間(a,b)內有極小值點()A.1個B.2個C.3個D.4個2.已知函數y=x33x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c=()A. 2 或 2C. 1 或 13.設函數 f(x) =xex,貝U ()A. x= 1為f(x)的極大值點C. x=- 1為f (x)的極大值點B. 9 或 3D. 3 或 1B. x=1為f (x)的極小值點D. x= 1為f(x)的極小值點4 .函數y=ax3+bx2取得極大值或極小值時的x的值分別為。和J則()3A. a-2b=0C. 2a+b=0、一一25 .設函數 f(x)=+lnx,則()xB. 2a-b=0D. a+2b=01A. x= 2為f

7、(x)的極大值點1B. *=為£(沖的極小值點C. x=2為f(x)的極大值點D. x=2為f (x)的極小值。點6.若a>0,b>0,且函數f(x)=4x3ax22bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9二、填空題7.函數f (x)-3x3+12一，一，2x2 +2x取得極小值時,x的值是58 .(2015陜西文)函數y=xex在其極值點處的切線方程為.9 .若函數f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內有極小值，則實數b的取值范圍是三、解答題10.設函數y=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示，且與y=0在原點相切,若函數的極小值為一

8、4.(1)求a,b,c的值；(2)求函數的遞減區(qū)間.答案aadddd17. 一18.y=一一e19.0<b%10.解析(1)因為函數的圖象經過點(0,0),易得c=0.又圖象與x軸相切于點(0,0),且y'r=3x2+2ax+b,故0=3X02+2ax0+b,解得b=0.所以y=x3+ax：則y'=3x2+2ax.令y'=0,解得x=0或x=2a,3一一2，即x=0和x=-3a是極值點.由圖象知函數在x=r0處取極大值,故在x=2Ya時取極小值.當x=,時，函數有極小值一4,所以(一|a)3+a(2a)2=-4,3整理得a=27,斛得2=3.故2=3,b=0,c=0.(2)由