ppt第三章變分法泛函極值問題

1、第三章第三章 用變分法解最優(yōu)控制用變分法解最優(yōu)控制 泛函極值問題泛函極值問題本章主要內(nèi)容3.1 變分法基礎(chǔ)3.2 無約束條件的泛函極值問題 3.3 有約束條件的泛函極值動態(tài)系 統(tǒng)的最優(yōu)控 制問題3.4 小結(jié)ft 在動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題中，性能指標(biāo)是一個泛函，性能指標(biāo)最優(yōu)即泛函達(dá)到極值。解決泛函極值問題的有力工具是變分法。所以下面就來列出變分法中的一些主要結(jié)果，大部分不加證明，但讀者可對照微分學(xué)中的結(jié)果來理解。3.1 變分法基礎(chǔ)變分法基礎(chǔ) 如果對某一類函數(shù) 中的每一個函數(shù) ，有一個實數(shù)值 與之相對應(yīng)，則稱 為依賴于函數(shù) 的泛函，記為)(tXJ)(tXJ)(tX)(tXJJ 粗略來說，泛函是以函數(shù)

2、為自變量的函數(shù)。1、泛函：先來給出下面的一些定義。0 若對任給的 ，存在0)()(tXtX當(dāng)時，就有)()(XJXJ則稱 在 處是連續(xù)的。 )(XJX2、泛函的連續(xù)性： 滿足下面條件的泛函稱為線性泛函 這里 是實數(shù)， 和 是函數(shù)空間中的函數(shù)。 XJXJ)()()(YJXJYXJXY3、線性泛函：4、自變量函數(shù)的變分： 自變量函數(shù) 的變分 是指同屬于函數(shù)類 中兩個函數(shù) 、 之差)(tXX)(tX)(1tX)(2tX)()(21tXtXX 這里, t 看作為參數(shù)。當(dāng) 為一維函數(shù)時， 可用圖3-1來表示。)(tXX圖3-1自變量函數(shù)的變分 這里， 是 的線性泛函，若 時，有 ，則稱 是泛函 的變分。

3、 是 的線性主部。XXJ,X0X0XXJ, XJJJ 當(dāng)自變量函數(shù) 有變分 時，泛函的增量為 )(tXXXXXJ, XJXXJJ 5、泛函的變分：6、泛函的極值： 若存在 ，對滿足的 一切X， 具有同一符號，則 稱 在 處有極值。0*XX)()(*XJXJ)(XJ*XX 定理： 在 處有極值的必要條件是對于所有容許的增量函數(shù) （自變量的變分），泛函 在 處的變分為零)(XJ*XX X)(XJ*X*(,)0J XX為了判別是極大還是極小，要計算二階變分 。但在實際問題中根據(jù)問題的性質(zhì)容易判別是極大還是極小，故一般不計算 。J2J23.2 無約束條件的泛函極值問題無約束條件的泛函極值問題3.2.1

4、 泛函的自變量函數(shù)為標(biāo)量函數(shù)的情況泛函的自變量函數(shù)為標(biāo)量函數(shù)的情況 為簡單起見，先討論自變量函數(shù)為標(biāo)量函數(shù) （一維）的情況。我們要尋求極值曲線 ，使下面的性能泛函取極值)()(*txtxfttdtttxtxFJ0),(),(（3-1）)()()(*txtxtx)()()(*txtxtx于是泛函J 的增量 可計算如下（以下將*號省去）JdttxxFtxxxxFJftt,0022() ,()fttFFxxoxxdtxx上式中 是高階項。22() ,() oxx為此，讓自變量函數(shù) 、 在極值曲線 、 附近發(fā)生微小變分 、 ，即)(tx)(tx )(*tx)(*tx xx 根據(jù)定義，泛函的變分 是 的

5、線性主部，即JJfttdtxxFxxFJ0fffttttttvduuvudv000對上式第二項作分部積分，按公式可得ffttttxxFxdtxFdtdxFJ00)(（3-2） J取極值的必要條件是 等于零。因 是任意的，要使（3-2）中第一項（積分項）為零，必有Jx0)(xFdtdxF（3-3）上式稱為歐拉拉格朗日方程。（3-2）式中第二項為零的條件要分兩種情況來討論： 1、 固定端點(diǎn)的情況 這時 ，它們不發(fā)生變化，所以 。而（3-2）中第二項可寫成ffxtxxtx)(,)(000)()(0ftxtx當(dāng) 時，（3-4）式自然為零。0)()(0ftxtx)()()()(000txxFtxxFxx

6、Fttfttttff（3-4）2、自由端點(diǎn)的情況 這時 和 可以發(fā)生化， ，而且可以獨(dú)立地變化。于是要使（3-2）中第二項為零，由（3-4）式可得)(0tx)(ftx0)(, 0)(0ftxtx0)()(00txxFtt（3-6）0)()(ftttxxFf（3-5） 因為這里討論 是標(biāo)量函數(shù)的情況， 和 也是標(biāo)量，且是任意的，故（3-5）、（3-6）可化為)(ftx)(tx)(0tx（3-7）、（3-8）稱為橫截條件橫截條件。0)()(00txxFtt（3-8）0)()(ftttxxFf（3-7） 當(dāng)邊界條件全部給定（即固定端點(diǎn)）時，不需要這些橫截條件。當(dāng)給定時，不要（3-8）。當(dāng)給定時，不要

7、（3-7）。)(ftx)(0tx3.2.2 泛函的自變量函數(shù)為向量函數(shù)的情況泛函的自變量函數(shù)為向量函數(shù)的情況現(xiàn)在，將上面對 是標(biāo)量函數(shù)時所得到的公式推廣到 是n維向量函數(shù)的情況。這時，性能泛函為)(tx)(tXfttdttXXFJ0),(3-9)()()(21txtxtxXn)()()(21txtxtxXn(3-10)式中0)(XFdtdXFffttttTTXFXdtXFdtdXFXJ00)( 向量歐拉拉格朗日方程為nxFxFxFXF21nxFxFxFXF21(3-11)式中泛函變分由（3-2）式改為 （當(dāng) 和 時）0tt ftt 0XF橫截條件為（自由端點(diǎn)情況） 例3-11022)(dtxx

8、J 取極值的軌跡 。 )(*tx求通過點(diǎn)（0，0）及（1，1）且使 解 0)2(2xdtdx0 xx 即BshtAchttx)(它的通解形式為2,2tttteeshteecht 式中：這是固定端點(diǎn)問題，相應(yīng)的歐拉拉格朗日方程為 由初始條件 ，可得A=0。0)0(x再由終端條 件 ，可得 ，1) 1 (x11 shB 1)(*shshttx因而極值軌跡為 例3-2 求使指標(biāo) 1032)(dtxxJ取極值的軌跡 ，并要求 ，但對 沒有限制。)(*tx0)0(*x) 1 (*x解0)32(2 xxdtd即 常數(shù)232xx于是 是常數(shù)， 則是時間的線性函數(shù)，令x xBAttx)( 由 可得 ，又終端是

9、自由的，由式（3-7）可得橫截條件為0)0(x0B0)32()(121ttxxxF這是終端自由的情況。歐拉拉格朗日方程為容易驗證 時， 對應(yīng)局部極小；時， ，對應(yīng)局部極大。0)(tx0J32)(ttx274J由上式解得 或 。 時的極值軌跡為 ； 時的極值軌跡為 。0A32A0A0)(*tx32A32)(*ttx0322 AA 即3.3 有約束條件的泛函極值有約束條件的泛函極值 動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題前面討論泛函極值問題時，對極值軌跡 沒有附加任何約束條件。但在動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題中，極值軌跡必須滿足系統(tǒng)的狀態(tài)方程，也就是要受到狀態(tài)方程的約束?？紤]下列系統(tǒng))(*tXttU

10、tXfX),(),(（3-13）這是綜合指標(biāo)。我們要求出最優(yōu)控制 和滿足狀態(tài)方程的極值軌跡 ，使性能指標(biāo)取極值。)(*tU)(*tX式中， 為 維狀態(tài)向量， 為 維控制向量（這里假定 不受限制.)(tXn)(tUm( )U t否則不能用變分法求解，而要用極小值原理或動態(tài)規(guī)劃法求解） 是n維連續(xù)可微的向量函數(shù)。性能指標(biāo)如下：ttUtXf),(),(fttffdtttUtXFttXJ0),(),(),(（3-14） 在下面的討論中，假定初始時刻 和初始狀態(tài) 是給定的，終端則可能有幾種情況。我們將就幾種常見的情況來討論，即 給定， 自由和 自由, 屬于一個約束集。0t00)(XtXft)(ftXft

11、)(ftX3.3.1 終端時刻終端時刻 給定，終端狀態(tài)給定，終端狀態(tài) 自由自由ft)(ftX)(,),(),()(21ttttnT（3-16）0)(),(tXtUXf（3-15）與有約束條件的函數(shù)極值情況類似，引入待定的n維拉格朗日乘子向量函數(shù) 將狀態(tài)方程（3-13）寫成等式約束方程的形式 與以前不同的是，在動態(tài)問題中拉格朗日乘子向量 是時間函數(shù)。)(t在最優(yōu)控制中經(jīng)常將 稱為伴隨變量，協(xié)態(tài)（協(xié)狀態(tài)向量）或共軛狀態(tài)。引入 后可作出下面的增廣泛函)(t)(tfttTffadtXtUXfttUXFttXJ0),()(,),(（3-17） 于是有約束條件的泛函 的極值問題化為無約束條件的增廣泛函 的

12、極值問題。JaJ),(),(),(tUXftUXFtUXHT（3-18）再引入一個標(biāo)量函數(shù)它稱為哈密頓（Hamilton）函數(shù)，在最優(yōu)控制中起著重要的作用 于是 可寫成aJdtXtUXHttXJfttTffa0),(),()()()()(),(00tXttXtttXJTffTffadtXtUXHfttT0),(（3-19）對上式積分號內(nèi)第二項作分部積分后可得 設(shè) 、 相對于最優(yōu)值 、 的變分分別為 和 )(tX)(tU)(tX)(tU)(tX)(tU因為 自由，故還要考慮變分 。)(ftX)(ftX下面來計算由這些變分引起的泛函 的變分。aJaJ)()()()(ffTffTattXtXtXJf

13、ttTTdtUHUXHX0)( 為極小的必要條件是：對任意的 、 、 ，變分 等于零。由（3-18）及（3-20）可得下面的一組關(guān)系式XU)(ftXaJaJXH（協(xié)態(tài)方程） （3-21）HX（狀態(tài)方程） （3-22）)()(fftXt（控制方程） （3-23）0UH（橫截條件） （3-24） （3-21）（3-24）即為 取極值的必要條件，由此即可求得最優(yōu)值 ， ， 。aJ)(*tU)(*tX)(*t（3-22）式即為狀態(tài)方程，這可由 的定義式（3-18）看出，實 際解題時無需求 ，只要直接用狀態(tài)方程即可，這里為形式上對稱而寫成（3-22）式。HH（3-21）與（3-22）一起稱為哈密頓正則程

14、哈密頓正則程。 （3-23）是控制方程，它表示 在最優(yōu)控制處取極值。H注意，這是在 為任意時得出的方程，當(dāng) 有界且在邊界上取得最優(yōu)值時，就不能用這方程，這時要用極小值原理求解。U)(tU（3-24）是在 固定、 自由時得出的橫截條件。當(dāng) 固定時， ，就不需要這個橫截條件了。橫截條件表示協(xié)態(tài)終端所滿足的條件。ft)(ftX0)(ftX)(ftX 在求解（3-21）（3-24）時，我們只知道初值 和由橫截條件（3-24）求得的協(xié)態(tài)終端值 ，這種問題稱為兩點(diǎn)邊值問題，一般情況下它們是很難求解的。)(0tX)(ft 因為 不知道，如果假定一個 ，然后正向積分（3-21）（3-24），則在 時的 值一般

15、與給定的 不同，于是要反復(fù)修正 的值，直至 與給定值的差可忽略不計為止。)(0tftt )(ft)(0t)(0t)(ft非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制兩點(diǎn)邊值問題的數(shù)值求解是一個重要的研究領(lǐng)域。對于線性系統(tǒng)兩點(diǎn)邊值問題的求解，則可尋找缺少的邊界條件并只要進(jìn)行一次積分，下面的例3-4給出了求解過程。 例3-3 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 的邊界條件為 。求最優(yōu)控制 ，使下列性能指標(biāo) 為最小。)()(tutxx)(tx0)(, 1)0(ftxx)(tuftdtuxJ02221 解 這里 、 均給定，故不需要橫截條件（3-24）式。作哈密頓函數(shù))0(x)(ftx)()(2122uxuxHxxH0uuH則協(xié)態(tài)方程和控制方程

16、為u即 故可得正則方程 )()()(ttxtx)()()(ttxt對正則方程進(jìn)行拉氏變換，可得 ( )(0)( )( )sX sxX ss （3-25）( )(0)( )( )ssX ss （3-26）1)()0()(ssxsX（3-27）由（3-25）式可求得 )0()0() 1()()2(2xsss于是，解出 為)(s) 0 ()2)(2(1) 0 ()2)(2(12) 0 () 0 () 1()(2xssssssxss（3-28）代入（3-26），即得)0()(221)(22xeettt)0() 12() 12(22122ttee（3-29）反變換可求得 將（3-28）代入（3-26）可

17、得 )0()2)(2(1)0()2)(2(1)(ssxssssX)0() 12() 12(221)(22xeetxtt故 由 ， 從上式可得1)0(x0)(ftxfffftttteeee2222) 12() 12()0(把 代入（3-29），可得 ，而最優(yōu)控制為)(t)0(tttttttteeeeeeeettuffff22222222*) 12() 12() 12() 12(221) () (設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)()(21txtx)()(2tutx要求確定最優(yōu)控制 ，使指標(biāo)泛函)(*tudttuuJ)(21)(102例3-41)0(1x1)0(2x初始條件為取極小值0) 1 (1x) 1 (2

18、x終端條件為自由 這里 是自由的，所以要用到橫截條件（3- 24）式，因終端指標(biāo) ) 1 (2x(),0ffX tt011xH解:作哈密頓函數(shù)由（3-21）（3-23）可求得0) 1 () 1 (22X所以（3-30）uxuH221221（3-31）122xH0uH將 代入狀態(tài)方程，可得)(*tu02u 即)()(2*ttu得（3-32）邊界條件為 1)0(1x1)0(2x0) 1 (1x0) 1 (2（3-37）)(12t（3-36）01（3-35）)(22tx（3-34）)(21txx （3-33） 222( )(0)( )sXsxs （3-39）112( )(0)( )sX sxXs（3

19、-38）11( )(0)0ss（3-40）221( )(0)( )sss （3-41） 可見這是兩點(diǎn)邊值問題，對正則方程（3-33）（3-36）進(jìn)行拉氏變換，可得 43211221( )(0)(0)(0)(0)s Xss xs xs代入初始條件 ， ，可得1)0(1x1)0(2x)0(1)0(111)(142321sssssX31221)0(61)0(211)(ttttx故由（3-38）（3-41）可解出 同樣可解得 0) 1 (1x0) 1 (2利用終端條件 ， ，由（3-42）、（3-43）可得0)0(61)0(212120)0()0(12tt)0()0()(122（3-43）)0(1)0

20、(1)(1222sss（3-42） 由上二式可解出 32*131)(ttttx6)0(16)0(2由（3-42）式可得最優(yōu)狀態(tài)軌跡由（3-43）式可得最優(yōu)協(xié)態(tài) ) 1(6)(*ttu2*2361)(tttx)1 (6)(*2tt由（3-32）式可得最優(yōu)控制同理還可求出圖3-2 最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌跡解 注意，這個系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)，這種線性兩點(diǎn)邊值問題的解可以通過尋找缺少的邊界條件，并且進(jìn)行一次積分而求得其解。 對非線性兩點(diǎn)邊值問題，則要借助于迭代方法產(chǎn)生一個序列，來多次修正缺少的初始條件的試探值，直到滿足兩點(diǎn)邊值的條件。圖3-2是最優(yōu)解的軌跡曲線。3.3.2 終端時刻自由，終端狀態(tài)受約束終端

21、時刻自由，終端狀態(tài)受約束設(shè)終端狀態(tài) 滿足下面約束方程)(ftXdtttUtXFttXJfttff0),(),(),(（3-46）ffqffffttXGttXGttXGG),(),(),(21（3-45）0),(ffttXG（3-44）性能指標(biāo)為其中 引入n維拉格朗日乘子向量函數(shù) 和 維拉格朗日乘子向量 ，作出增廣性能泛函 將 代入（3-47），可得H)(tqvfttTffTffadtXtUXHttXGvttXJ0),(),(),(（3-49）),(,),(tUXftUXFtUXHT（3-48）fttTffTffadtXtUXfttUXFttXGvttXJ0),()(),(),(),(（3-47

22、）引入哈密頓函數(shù) 與 固定時的情況不同，現(xiàn)在 由 、 、 和 所引起。這里 不再為零，而 可計算如下（參見圖3-3）：ftaJUX)(ftXftft)(ftXdtXtUXHttXJfttTffa0),(),(（3-51）則ffTffffttXGvttXttX),(),(),(（3-50）令圖3-3 各種變分的表示)()()()()()(*ffffffftXtXttXtXtXtXfffttXtX)()(*（3-52）fffttt*令一是在 時函數(shù) 相對 的變化 .)(*ftX)(*ftX)(ftX*ft另一是因 的變化所引起的函數(shù)值的變化量 后者可用它的線性主部 來 近似。)()(*ffftXt

23、tXffttX)(*ft注意，這里 和 不同，故*號不能省去。上式表明 由兩部分組成：)(ftX)(*ftX)(ftX 現(xiàn)在來計算 （只計算到一階小量）。aJfftttTffffadtXXtUUXXHtttXtXJ*0*)(),(),()(*0),(),(fttTffdtXtUXHttX 上式中方括號外的下標(biāo)*表示 、 、 是最優(yōu) 值 、 、 。 是上式的線性主部，故 XUft*X*U*ftaJdtXUUHXXHtttXtXJfttTTTfffTfa*0)()(ffftttTdtXXtUUXXH*)(, )()(*0fttfTTTtXtdtUUHXXHf對第三項作分部積分，可得ffftttTT

24、TTdtXXUUHXXHtUXH*)()(),(fffTfttXtttUXH)()(),(*)()()(*fffTftXtXttH 第四項可表示為（忽略二階小量） fffTfatttXtXJ*)()()()(*0*fttfTfTTtXttHdtUUHXXHf 上式最后一個等號用到了（3-52）式。 表示 的自變量取最優(yōu)值時 的值。*HHH根據(jù)上面的結(jié)果可得 取極值的必要條件為 因 、 、 、 為任意，故得（省去*號）aJ0aJ)(ftXftXUXH（協(xié)態(tài)方程） （3-53）HX（狀態(tài)方程） （3-54）0UH（控制方程） （3-55）)()()()(fTffftXGtXtXt（橫截方程） （3

25、-56） 與 固定情況相比，這里多了一個方程， ，用它可求出最優(yōu)終端時間 。ftffttH)(*fftt fTffftGtttH)(（3-57）要求確定最優(yōu)控制 ，使 最小。*uJftfdtutJ0221ux 例3-5設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為邊界條件為1)0(x0)(ftxft自由性能指標(biāo)為 解0)(ftx這是 自由問題。終端狀態(tài)固定， 是滿足約束集的特殊情況，即ft0)(),(ffftxttXGuuH221作哈密頓函數(shù)uHx0 xH0uuHu正則方程是控制方程是將 代入，可得)()(ttu01)()(2122fftt1)()()(212ffftuttu1)(ffffftttttH因邊界條件全部給定，

26、故不用橫截條件。確定最優(yōu)終端時刻的條件（3-57）式為 因為由正則方程 ，所以 ，于是最優(yōu)控制02)()(ftt2)(*tu再由正則方程 ，可得 ux cttx2)(2)(ft由上式求得 由初始條件 ，求得 ，故最優(yōu)軌跡為1)0(x1c12)(*ttx0)(*ftx22*ft以終端條件代入上式，即求得最優(yōu)終端時刻 火箭發(fā)射最優(yōu)程序問題。設(shè)火箭在垂直平面內(nèi)運(yùn)動，加速度 與水平面夾角為 ， 是控制作用，見圖3-4。令 )(t)(ta)(t例3-6)(1tVxL（水平速度）)(2tVxh（垂直速度）)(3tLx （水平距離）)(4thx （垂直高度） 圖3-4 火箭發(fā)射示意圖0)0(2xsin2ax

27、 0)0(1xcos1ax 忽略重力和空氣阻力時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件為0)0(4x24xx 0)0(3x13xx (3-58)要求選擇最優(yōu)控制程序 ，使性能指標(biāo))()(ttuffhtx)(4自由)(3ftx0)(2ftxUtxf)(1終端狀態(tài)為ftftdtJ0為最小。0)(11UtxGf0)(22ftxG因為要求 最小，故是 自由問題。由給 定的終端狀態(tài)可得三個約束方程為ftft解0)(43ffhtxG(3-59)241321sincos1xxaafFHT033xH422xH311xH作哈密頓函數(shù)協(xié)態(tài)方程為044xH（3-60） )()()()(fTfTfftXGtXGtXt343242

28、1413332321313232221213132121113213214321)(,)()()()(xGxGxGxGxGxGxGxGxGxGxGxGtXGGGttttfffff橫截條件為即0)(3ft22)(ft11)(ft上式右端矩陣中 的自變量 已省略。由（3-59）式求出上式中的偏導(dǎo)數(shù)，可得協(xié)態(tài)的終值為ft4 , 3 , 2 , 1,ixi34)(ft（3-61）131ct 242ct 434)(ft常數(shù)積分協(xié)態(tài)方程可得30)(3ft常數(shù)11223,fcct代入?yún)f(xié)態(tài)終值條件后，得11)(322ttf0334故（3-62）由控制方程 ，得0HUH0cossin21aa)(tan2112t

29、tf（3-63）即 下面來積分狀態(tài)方程（3-58），為此將自變量 變成 。由（3-63）式得t 為了確定最優(yōu)程序 ，還需確定拉格朗日未定常數(shù) 、 。)(t1222sectandtddtddd22secdtdcoscos21addtaddx222cossinsinaddtaddx321)tanln(seccax322seccax將上面關(guān)系代入狀態(tài)方程，即得積分上面兩式得0)0(1x0)0(2x0)0(由初始條件可求得0021sectansectanlnax(3-64)sec(sec022ax（3-65） 將上面的 和 代入狀態(tài)方程（3-58）的后兩式，積分并經(jīng)較復(fù)雜運(yùn)算得 1x2x0000022

30、4sectansectanlntan)sec(secsec)tan(tan2ax（3-66）)sectansectanlntansec(sec000223ax（3-67） （注：另一解為 ，但這時由（3-67）式可得出 與給定終端條件 不符，故略去 的解）0f0)(4ffhtx0)(4ftx0f由終端條件 和（3-65）式得 0)(2ftx0sec)(secft故02)(fft（3-68）t20tantanfft20tantan02tan2ft由（3-63）式得于是0tan)21 (tanftt（3-70）故ft02tan2（3-69） 將終端條件 和（3-69）式代入（3-64）式，可得Utxf)()214tan(lntantansectansecln21tan0000000