求函數(shù)極限方法和技巧匯總

1、求函數(shù)極限方法和技巧匯總26種技巧】一，求函數(shù)極限的方法K運用極限的定義例：用極限定義證明;證；由X1 3x T-2Vo取5=則當(dāng)0上-25時，就有x3M+2由函數(shù)極限一gJC-g時也同樣成立x+工+a例：求lim1x+414中工+占+中白0hm=-1H+T+tY九約去零因式（此法適用于H/時4型）aA+x3-16x-20如r求hm：2x+7jT+16k+12日(aj-Sx2-I0x)+(2j2-6a-20)解:原土品正扁石FE(x+2)Cv2-3x-IO)hm：j*(工+2)(14-5x+6)=lim071)=lim%”)t-T(九上+5x+6)工+rM-v+r)lim工一=_v犯U通分法(

2、適用于B-g里)t例：求hmt-7-;)上一_rTr.*一。十月解:原心理再布一Um (1)1 L + k)(t -x)limTtY+工6.利用無方小量性質(zhì)法(罰別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無療小量的性質(zhì)設(shè)函數(shù)北)、&M滿足工(Tlim/(x)=*)|現(xiàn)為止整數(shù))則，師g/=。,.1例：求limxsLnfx解：由limx = 0 丁 Ttl故原式叱N叫二limi-=0fix)(TT)若：lim/Cv) = OIL f(x)芋口 則 lim- = 例：求下列極限Ilim】imkt-一r十口itix-i解；巾！則，+$)=8故由吧產(chǎn)T)=故1.等價無窮小代換法設(shè)a。/都是同一極限過程中的無窮

3、小量.且有.aa-a,p-plim-存在.va.aa則hm也存在，住rfhm彳二hm.hcel1-COSJl例：求極限hm-rijf，sinjt解：sinxT-jf-cos.v1*-COSJC1hm-二=2_1IXSinx_rxx2注在利用等價無方小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、色出現(xiàn)時.不要輕易代他囚為此時經(jīng)過代換下，注在改變它的無窮小量之比的“階數(shù)即8、利用兩個幣要的極限二(J)lim=1(B)lim(l+)A-vfTfl工f1但我們約招使用的是它們的變形：(/)limL!2=ls(k)tO)做M宙)HmQ+刎力=(修a)TB)P(y)例：求下列函數(shù)極限lT+，一hi

4、costrx(zhlimi“ncusbK解：)例：求下列函數(shù)極限.一1111COStJXJm-土fxIneosfev5八、丁，.aInf14-z/)_nT-Inn解：()令一二/則a=-于是=Inoxln(+w).由她土衛(wèi)=3i+X令朝T=(1+x),故市:ln(l+x),-,-Urn=limln(l+x)=ln(lim(l+Tv)1)=Ine=1tt。v10%變量替換法f適用于分子%分科的根指數(shù)不相同的極限類型）特別地有工k,1為正整數(shù).例：求下列函數(shù)極限IIiIT1尸(陽、nEN)解：。熟U毛則當(dāng)XT，時FTl,于是原式=1麗(1，)(1+r+/+*J*+f*1)=Inn；(1-0(1+，

5、+1+/)Z”、T由于陽嚴(yán)二!酬+不2x I令：丁二則 AT + 1 =- + F.2工則+B廣區(qū)+產(chǎn)1lim(l+r)flim(l+/)?=tK利用函數(shù)極限的存在制定理定理：設(shè)在工的某空心鄰域內(nèi)恒有葛Wh(x)且有:Hing(x)=limh(x)=AIT%則極限電”存在，(I有wlimf(x=A例：求lim(aLn0)解：當(dāng)X時,存在唯一的正整數(shù)k,使kWxEk+】于是當(dāng)n0時有:乂函當(dāng)*-+時d-+有12 .用左右極限與極限關(guān)系（適用于分段函數(shù)求分段點處的極限,以及用定義求極限等情形3定理：函數(shù)極限!T八幻存在且等于a的充分必要條件是左極l；Uf（x）及右極.1J.J.|限，”/（巧都存在

6、都等于上即彳。lim不)=Aobm/(a)=bm/(a)=aKTX,TTJt,TIT：1n求處/（力及曾/&）解：/（lim=lim。-“t）二JTT#一工Tlimf(x)=lim(-)=lim(4-1)二一1丫一/jrr，q/yxr+山lim/(x)=lim/(jc)=-HThTT/JimJx)-K又lim/(x)=Umx=二KmC/x-)=XflNKA_*limf(x)=limx-1*rTftfo-)*/(+*)alim/(k)不存在13 .羅比塔法則(適用丁未定式極限)定理若(/)lim/(a)=0,hm=0()/與g在x曲某空心鄰域火飛訥可導(dǎo).fig(x)=0(布=/可為實數(shù)*也可為g

7、或g),則gMr0,x0)Iln(l+aj)1”工解：令6)=-Qig(x)=1nl+A-2)=產(chǎn)g(x)=7T*+j/=/+C+如3=X。+工).U山于/卜)=/(0=%g(9=g，(*)t=*但，=rgr)二t從而運用羅比塔法則兩次后得到bT(1+24)/J8(1+2工泮,d+n+2幻-為2Ilim：=Inn=hm：=II*ln(+jv2)e2$t2(1-x1)2NV(1+x2)2由limlnx=Jimxi,=故此例屬于二型,由羅比塔法則有,rf*口*mjOQInXxlim=lim-=lim=h*,a,)廿二_L_3一,一一_口”1事x20工工fax利用泰勒公式對于求臬些不定式的帔限來說，

8、應(yīng)用泰勒公式比使用歲比塔法則更為方便*下列為常用的展開式；I、jc1jcdIf*rra1（xe=1+AHFH+（X）2!也VI*4、lnp+x）=x-+TflW.圖07）二（7一）（Of討+、）0一5、C+K）=+CtV+XT+心）丫！h6、=I+x+x“+x+u（x）-x上述展升式中的符4。3）都彳1;例:求lim而可一巫五aX解:利用泰勒公式，當(dāng)戈一有-r-B.TJt+2jc-Ji+_v1- .iClimIIJU*1+。（工）午j-工+”幻=liin-=limH15、利用利格朗日中值定理定理元函數(shù)f滿足加下條件:(I)f在閉區(qū)間上逑續(xù)(IT)f在gJ)內(nèi)可導(dǎo)則在3.匕)內(nèi)至少存在點5，使得

9、/加第2%ba此式變形可為：“不一/2)二八口+仇分.助卜日、)b-a一日例：求lim；x-sinx解：令二/對它膿用中值定曲鈿-e1=/(A)-/(sinx)=(x-sina)/(sinx+fl(A-sin.r)(*(a0 工0也=0)當(dāng);VT 8時，有口.b.r. P(x) r 口口+區(qū)4”十十 hm = lim = *m Q(工)ate h,x + b,x +瓦GO用=m n）當(dāng)XT,時有:若。（與）=0則若0G）=U而P（：）孑*1 .P(x) 則山“二一 r 0( x)若03J=,P（xJ=,則分別考慮若小為尸（刈=,的s重根，U|l:產(chǎn)（#=（x-x.YP,（X）也為0（）二+的r

10、市根，即:Q（x）=（x-x.yQ,（x）可得結(jié)論如卜;.納二.七口23IX,。 f .06)P(*) s =。值)8 .S )LAP(.v)=xr-r.t+Y*;.P(1)二*/。(X)=jt一-e+*.QO)=7，現(xiàn)SU)必含有x-T之因子,即有1的重根故有:-ix + rlim C U + + r)盟)無理式的情況上顯然無理式情況不同于方理式.但求極限法正全類同.這里就不再一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限,例；求lim(vx+4-Vx)TTrh*r2=1亞一& +Jx + & + 4二、多種方法的綜合運用因此我們上述介紹了求解極限的限的方法,燃而,每一道題目并:非只有一種方

11、法:在倒超/要許意各種方法的綜合運用的技巧,使得計算大為簡化，例:求1而11cosI，xsic,解法T:I-cosx2lim-r1n尸sin丁戶2xsinxs】n#=hm；r=hm：rtT2xcosx+2xsinxr-lflxcosx+sinxxin/=lim二I2sinjt22cost+；-x注:此法采用羅比塔法則配價使用兩個前要概限法,v-cosx72sin2sin1hmy-r221xsitijr=bmyl,rT1:rxsinxxsinxT丁注：此解法利用“二知和差化積法E配合使用兩個歪要極限法。解法三:-cosjf1.cosxtjvsint*sinxInn；-=Inn；-=Lini=lim丫xsinxxxr+r-x.v注:此解注利川F兩個用要極限注配介使用無窮小代換工以及羅比塔法則解法四:-COSAlirntixsina-1-85工X1.I=lim；-=limsin.r注:此解法利用了無分小代換法配音使用兩個通塞報限的法.22sin2()x1I-cosx2i-7v2lim;r=lini；彳=hm,一,=lim4=xsinjrA_*xsinxx(x)A0x2注:此解注利用“二角利益化枳法r配合使用無窮小代換法【解法六】:一1-cosjtfTr-