氣墊導軌上彈簧振子振動的研究

1、T。阻尼振13-1所示。x時，m只受彈氣效導軌k(x X0) k(x X0) mx 氣墊導軌上彈簧振子振動的研究力學實驗最困難的問題就是摩擦力對測量的影響。氣墊導軌就是為消除摩擦而設計的力學實驗的裝置，它使物體在氣墊上運動，避免物體與導軌表面的直接接觸，從而消除運動物體與導軌表的摩擦，也就是說，物體受到的摩擦阻力幾乎可以忽略。利用氣墊導軌可以進行許多力學實驗，如測速度、加速度，驗證牛頓第二定律、動量守恒定律，研究簡諧振動、動等，本實驗采用氣墊導軌研究彈簧振子的振動。一、必做部分：簡諧振動實驗目的1 .測量彈簧振子的振動周期2 .求彈簧的倔強系數k和有效質量m0。儀器儀器氣墊導軌、滑塊、附加祛碼

2、、彈簧、光電門、數字毫秒計。實驗原理在水平的氣墊導軌上，兩個相同的彈簧中間系一滑塊，滑塊做往返振動，如圖如果不考慮滑塊運動的阻力，那么，滑塊的振動可以看成是簡諧振動。設質量為m的滑塊處于平衡位置，每個彈簧的伸長量為太，當m距平衡點性力k1(xX0)與k1(xk1是彈簧的倔強系數。根據牛頓第二定律，其運動方程為圖13-1簡諧運動原理圖k2kl方程（1）的解為 x Asin（ 0t 0）(2)說明滑塊是做簡諧振動。式中:A一振幅;0一初相位。0叫做振動系統(tǒng)的固有頻率。而式中：m計振動系統(tǒng)的有效質量;mm0(4)m一彈簧的有效質量；m滑塊和祛碼的質量。0由振動系統(tǒng)本身的性質所決定。振動周期T與0有下

3、列關系:m1m0k在實驗中，我們改變 m,測出相應的T,考慮T與m的關系，從而求出 k和m0。實驗內容1 .按氣墊導軌和計時器的使用方法和要求，將儀器調整到正常工作狀態(tài)。2 .測量圖13-1所示的彈簧振子的振動周期T,重復測量6次，與T相應的振動系統(tǒng)的有效質量是mm1m0,其中m就是滑塊本身（未加祛碼塊）的質量，m為彈簧的有效質量。3 .在滑塊上對稱地加兩塊祛碼，再按步驟2測量相應的周期T,這時系統(tǒng)的有效質量mm2m0,其中m2應是滑塊本身質量加上兩塊祛碼的質量和。4 .再用mm3m0和mm4m0測量相應的周期T。式中：m3m1“4塊祛碼的質量”；m4m1“6塊祛碼的質量”。（注意記錄每次所加

4、祛碼的號數，以便稱出各自的質量。）5 .測量完畢，先取下滑塊、彈簧等，再關閉氣源，切斷電源，整理好儀器。6 .在天平上稱衡兩彈簧的實際質量與其有效質量進行比較。7.求出彈簧的倔強系數k和有效質量mo,以及彈簧的有效質量與實際質量之比。數據處理1 .用逐差法處理數據。由下列公式:T124, (mik4 2,-(m2 k4 2,-(m3 k4 2(m4 kmo)mo)mo)mo)(6)4k4k-(m32-(m4m1)m2)4 2(m3 m1)T32 T14 2(m4m2)2(k(8)如果由（7）式得到卜和卜的數值是一樣的（即兩者之差不超過測量誤差的范圍），說明（5）式中T與m的關系是成立的。將平均

5、值k代入（6）式，得moikTi2mi(i=1,4)(9)m0moi4ii(10)平均值m0就是彈簧的有效質量。mO2 .用作圖法處理數據_2_2T為縱坐標，m為橫坐標，作Timi圖，得直線。其斜率為k,截距為k由此可求出k和m。思考題仔細觀察，可以發(fā)現滑塊的振幅是不斷減小的，那么為什么還可以認為滑塊是做簡諧振動?實驗中應如何盡量保證滑塊做簡諧振動？二、選做部分：阻尼振動實驗目的1 .觀測彈簧振子在有阻尼情況下的振動，測定表征阻尼振動特性的一些參量，如對數減縮、馳豫時間、品質因數Q的方法;2 .利用動態(tài)法測定滑塊和導軌之間粘性阻尼常量bo實驗儀器氣墊導軌，滑塊，彈簧，光電門，數字毫秒計，附加物

6、。實驗原理一個自由振動系統(tǒng)由于外界和內部的原因，使其振動的能量逐漸減少，振幅因之逐漸衰減，最后停止振動，這就是阻尼振動。在單擺和天平的實驗中我們觀察到阻尼振動，實際上不僅在力學實驗中，也不限于機械運動，例如，電流指針的運動，LRC振蕩電路中的電流、電壓變化等也是阻尼振動。本實驗的阻尼諧振子由氣墊導軌上的滑塊和一對彈簧組成，如圖13-2。此時滑塊除受彈簧恢復力作用外，還受到滑塊與導軌之間的粘性阻力的作用。在滑塊速度較小時，粘性阻力F阻和滑塊的速度成正比，即F阻bvbdxdt (11)圖13-2阻尼振動原理圖kx和阻式中b為粘性阻尼常量。氣墊導軌上由滑塊和一對彈簧組成的振動系統(tǒng)，在彈性力尼力F阻作

7、用下，滑塊的運動方程為d2x,dxm-rkxbdtdt（12）2式中m為滑塊質量。令m,其中常數稱為阻尼因數，0為振動系統(tǒng)的固2有頻率，則式(12)可改寫為d2xdxdt20X0(13)當阻力較小時，此方程的解為其中A0etcos(ft)(14)而阻尼振動周期T為2(15)由以上可知，阻尼振動的主要特點是:1.阻尼振動的振幅隨時間按指數規(guī)律衰減，如圖13-3,即AtA0e。顯然，振幅衰減的快慢和阻尼因數的大小有關，而因而和粘性阻尼常量b及振子質量m有關。周期越長。為直觀地反映阻尼振動的衰減特性，常用對數減縮、弛豫時間及品質因數Q來表不。T()2.阻尼振動周期T要比無阻尼振動周期0略長，阻尼越大

8、,而且提供了粘性阻在弱阻尼情況下，它們清楚地反映了振動系統(tǒng)的振幅及能量衰減的快慢,尼常量b的動態(tài)測量方法。(1)對數減縮是指任一時刻t的振幅A(t)和過一個周期后的振幅A(t+T)之比的對數，即A°etAe(tT)T將2m代入上式，得(16)即測出，就能求得或b。(2)弛豫時間它是振幅A)衰減至初值e -1 (=0.368)倍所經歷的時間，即AoerAoe所以(17)(3)品質因數Q一個振動系統(tǒng)的品質因素又稱Q值，是一個應用極為廣泛的概念，它在交流電系統(tǒng)及無線電電子學中是一個很常見的術語。品質因數是指振動系統(tǒng)的總能量E與在一個周期中所損耗的能量DE之比的2P倍，用Q表示，則Q2E(2

9、-19)阻尼振動中，能量的損耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小bv乘以運動速率v,即等于bv2。在振動時，bv2是一個變量，可用一個周期中的平均值作為這一周期中的平均效果。這樣，一個周期中的能量損耗DE等于一個周期中克服阻尼力作的功，所以2、一E(bv)平均T而對于振動系統(tǒng)而言，一個周期中的平均動能等于平均勢能，且均等于總能量的一半，即/1212、1(2mv)平均(2kx)平均-E(v)平均Eb-T因而(20)綜合式(20)、(17)、(19),得出Q一)從以上的討論可知，只要測出阻尼振動的對數減縮，就能求出反映阻尼振動特性的其它量,如b、Q。實驗內容1 .利用半衰期法求。測定滑塊、彈簧組成的阻尼諧振子的對數減縮，弛豫時間及品質因數Q半衰期是指阻尼振動的振幅從初值A減到A/2時所經歷的時間，記為Th,則AoA°eTh由此可得ln2Tln2參照式（16）可得，Th（22）用停表測出阻尼諧振子的振幅從A減小到A/2的時間Th及周期T,計算對數減縮，進而求出和Q值以及阻尼常量b值。2 .考查振子質量及彈簧的勁度系數k對阻尼振動各常數的影響。在滑塊上附加質量、改換不同勁度系數的彈簧再測b、&Q值，從對比中分析其影響。思考題1 .阻尼振動周期比無阻尼（或阻尼很小時）振動周期長，你能否利用此實驗裝置設法加以證明？2