材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)(1)

1、.第第 三三 章章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn).31 31 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第三章第三章 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn).以扭轉(zhuǎn)為主要變形的工程構(gòu)件有：傳動(dòng)軸、鉆桿等。以扭轉(zhuǎn)為主要變形的工程構(gòu)件有：傳動(dòng)軸、鉆桿等。.傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸汽車轉(zhuǎn)向軸、機(jī)械傳動(dòng)軸、絲錐等汽車轉(zhuǎn)向軸、機(jī)械傳動(dòng)軸、絲錐等. 桿件受到大小相等桿件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用面垂直于桿件軸線的力偶作用, , 桿件的橫截桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。面繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)及變形特點(diǎn)及變形特點(diǎn): :3.1 3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例.直接計(jì)算直接計(jì)算1.1.外力偶矩外

2、力偶矩3.2 3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖.按傳遞功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按傳遞功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：1000(N m)WP602nMWe已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me ePP3.2 3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖.T = Me2.2.扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖3.2 3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖用截面法研究橫截面上的內(nèi)力用截面法研究橫截面上的內(nèi)力構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩

3、，記作構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T T ”。扭矩：扭矩：.扭矩正負(fù)規(guī)定扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)橛沂帜粗钢赶蛲夥ň€方向?yàn)檎?+),(+),反之為反之為負(fù)負(fù)(-)(-)3.2 3.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖.扭矩沿桿件軸線變化規(guī)律的圖線。扭矩沿桿件軸線變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；扭矩變化規(guī)律；| |T T | |maxmax值及其截面位置值及其截面位置 強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。 xT扭矩扭矩圖圖. 已知：一傳動(dòng)軸，已知：一傳動(dòng)軸，n n =300r/min=300r/min，主動(dòng)輪輸

4、入，主動(dòng)輪輸入 P P1 1=500kW=500kW，從動(dòng)輪輸出，從動(dòng)輪輸出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，試?yán)L制扭矩圖。試?yán)L制扭矩圖。解：解：（1 1）計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩115009.559.55300 15.9(kN m)PMn2231509.559.554.8 (kN m)300PMMn442009.559.556.3 (kN m)300PMn例題例題1 1nA B C DM2 M3 M1 M4.nA B C DM2 M3 M1 M4112233解：解：（2）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正

5、方向設(shè)）124.8kN mTM 223 (4.84.8)9.6kN mTMM 3231 0 TMMM0 xM120TM1-1 截面截面2-2 截面截面0 xM2230 TMM0 xM3-3 截面截面AM21T312316.9 4.8 26.3kNTMMM34 6.3kNTM115.9M 234.8 MM46.3 M .max9.6 kN mTBC BC 段為危險(xiǎn)截面段為危險(xiǎn)截面: :9.6xT4.86.329.6km NT 14.8km NT 3 6.3kN mT 解：解：（3）繪制扭矩圖繪制扭矩圖nA B C DM2 M3 M1 M4.9.6xT4.86.329.6km NT 14.8km

6、NT 3 6.3kN mT 解：解：（3）繪制扭矩圖繪制扭矩圖nA B C DM2 M3 M1 M4從左向右，上下對(duì)應(yīng).練 習(xí)P78 31.薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力1.1.實(shí)驗(yàn)前：實(shí)驗(yàn)前：1) 1) 繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；2) 2) 施加一對(duì)外力偶施加一對(duì)外力偶 M M。33 33 純剪切純剪切.2.2.實(shí)驗(yàn)后：實(shí)驗(yàn)后：1) 1) 圓周線不變；圓周線不變；2) 2) 縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。1) 1) 圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未

7、改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 2) 2) 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。3) 3) 所有矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形。3.3.結(jié)論：結(jié)論：4) 4) 與與 的關(guān)系的關(guān)系 RL一、一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力LR.1) 1) 在小變形下，沿桿的軸線方向無(wú)變形，即無(wú)正應(yīng)力；在小變形下，沿桿的軸線方向無(wú)變形，即無(wú)正應(yīng)力；2) 2) 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一

8、致。，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析：根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析：3 3、理論分析、理論分析LRT.4 4、薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力、薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力 000 d2 ArArr tT A A0 0：平均半徑所在圓的面積。：平均半徑所在圓的面積。靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：0d AA rT20 0 2 2TTr tA tT.acddxbdytzxy單元體單元體 邊長(zhǎng)為微量的正六面體邊長(zhǎng)為微量的正六面體 二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理截取截取abcd abcd 正六面體，正六面體， 純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài):單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力單元體的四個(gè)側(cè)面上

9、只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。LRabcddb.0zM 該定理表明：在單元體相互垂直的在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在，兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。背離該交線。二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理t dydxt dxdy LRacddxbdytzxy . T=M = RL 剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（ p p

10、 ) )，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。三、切應(yīng)變、剪切胡克定律三、切應(yīng)變、剪切胡克定律0 = 2 TA t.G 式中：式中：G G 是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為切變模量是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為切變模量切變模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常切變模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：2(1)EG拉壓胡克定律：拉壓胡克定律：E三、切應(yīng)變、剪切胡克定律三、切應(yīng)變、剪切胡克定律.34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)

11、時(shí)橫截面應(yīng)力變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力. 1. 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 2. 軸向無(wú)伸縮；軸向無(wú)伸縮； 3. 3. 縱向線變形后仍為平行線?？v向線變形后仍為平行線。一、圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：一、圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力ababxdxj1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系dx)(djRdtgdRx.1. 1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：dtgdxddx

12、與與 成正比。成正比。ddx 扭轉(zhuǎn)角沿軸線方向變化率。扭轉(zhuǎn)角沿軸線方向變化率。34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：dx)(djR.2. 2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：虎克定律：GddddGGGxxd dGx代入上式得：代入上式得：ddx1. 1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：.3. 3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：d ATA 2dpAIA 令d dpT xGI代入物理關(guān)系式得：代入物理關(guān)系式得： d dGxpTIOdAd

13、A22dddd ddAATGAxGAx 極慣性矩極慣性矩34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.式中：式中： T T 橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離。 I Ip p 極慣性矩，與截面形狀和尺寸有關(guān)的量。極慣性矩，與截面形狀和尺寸有關(guān)的量。pTI圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力公式：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力公式：34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是極慣性矩是極慣性矩I Ip p值

14、不同。值不同。222044d 2d 0.132pADIADD 對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于實(shí)心圓截面：DdO 4. 4. 公式的討論：公式的討論：34 34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.對(duì)于空心圓截面：2222444444d 2d ()32 (1)0.1(1)32pADdIADdDD )(DddOdD 4. 4. 公式的討論：公式的討論：.應(yīng)力分布應(yīng)力分布實(shí)心截面實(shí)心截面空心截面空心截面 4. 4. 公式的討論：公式的討論：.pTI當(dāng)當(dāng)令：令：maxRmaxtTWpTRIPtIWR橫截面上最大切應(yīng)力公式橫截面上最大切應(yīng)力公式式中：式中：T橫截面上的扭矩橫截面上的扭矩tW抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù).

15、對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于實(shí)心圓截面：330.2216ptIDWDD對(duì)于空心圓截面：對(duì)于空心圓截面：3434(1)0.2(1-)216ptIDWDDdD. 例：內(nèi)外徑分別為例：內(nèi)外徑分別為20mm20mm和和40mm40mm的空心圓截面的空心圓截面軸，受扭矩軸，受扭矩T=1kNmT=1kNm作用，計(jì)算橫截面上作用，計(jì)算橫截面上A A點(diǎn)點(diǎn)的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。的剪應(yīng)力及橫截面上的最大和最小剪應(yīng)力。.解：解：maxTWt10000041610534.(.) 8488.MPaminmax.10204244MPaAApTI100000150043210544.(.) 6366.MPa1kNm

16、20mm40mm.強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：對(duì)于等截面圓軸：max max tTW強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)度計(jì)算三方面： 校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：計(jì)算許可載荷：maxmax tTWmax tTWmax tTW334 16 = 116tDWD實(shí)：空：（）.由公式由公式d dpxI TG0dlpTdxGI 35 35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形當(dāng)長(zhǎng)為當(dāng)長(zhǎng)為 一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為為l式中：式中：T內(nèi)力扭矩（可以是內(nèi)力扭矩（可以是x 的函數(shù)）的函數(shù)）pI極慣性矩（可以是極慣性矩（可以是x 的函數(shù)）的函數(shù)）G切變模量切變

17、模量1 1、相對(duì)扭轉(zhuǎn)角、相對(duì)扭轉(zhuǎn)角.由公式由公式0dlpTdxGI 式中：式中：T截面上的扭矩截面上的扭矩pI極慣性矩極慣性矩G切變模量切變模量考慮圓軸的特點(diǎn)，在一定長(zhǎng)考慮圓軸的特點(diǎn)，在一定長(zhǎng)度上，扭矩、直徑是常量：度上，扭矩、直徑是常量：pTlGI當(dāng)圓軸是階梯軸時(shí)：當(dāng)圓軸是階梯軸時(shí)：1ni iipiTlGI35 35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.2 2、單位長(zhǎng)度上的扭轉(zhuǎn)角：、單位長(zhǎng)度上的扭轉(zhuǎn)角：d (rad/m)dpTxGI d180 ( /m)dpTxGI 或或GIGIp p 反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。的抗扭剛度。35 3

18、5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 .3 3、剛度條件、剛度條件 max (rad/m )pTGI max180 ( /m)pTGI或或稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。 .例：實(shí)心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時(shí)，例：實(shí)心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時(shí)，橫截面的最大剪應(yīng)力是原來(lái)的橫截面的最大剪應(yīng)力是原來(lái)的 倍？圓軸倍？圓軸的扭轉(zhuǎn)角是原來(lái)的的扭轉(zhuǎn)角是原來(lái)的 倍？倍？max316tTTDWtp=432pTlTlDGIGjp=8 81616.例例1 1：在：在強(qiáng)度相同強(qiáng)度相同的條件下，用的條件下，用d/D=0.5d/D=0.5的空心圓軸取的空心圓軸取代實(shí)心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少代

19、實(shí)心圓軸，可節(jié)省材料的百分比為多少? ?解：設(shè)實(shí)心軸的直徑為解：設(shè)實(shí)心軸的直徑為 d d1 1 ，由，由TdT.)Dd11022 .得：得：AADd空實(shí)2212410540783(.).0.80.80.80.81.1921.1920.80.80.5120.512. 從力學(xué)角度來(lái)看，扭轉(zhuǎn)時(shí)采用空心軸要比實(shí)心軸來(lái)的經(jīng)濟(jì)、合理。這樣，它的強(qiáng)度并未削弱多少，但卻大大減輕了自重。. 例例2 2：傳動(dòng)軸傳遞外力偶矩：傳動(dòng)軸傳遞外力偶矩M M5kNm5kNm，材料的材料的=30MPa, G=80GPa, =30MPa, G=80GPa, =0.5=0.5/m,/m,試選擇軸的直徑。

20、試選擇軸的直徑。解：解：由500016301036d得d 947 . mm由50008010321800594d.得 d 924 . mm.例例3 3 由無(wú)縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸，外徑由無(wú)縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸，外徑D D=90=90mmmm、內(nèi)、內(nèi)徑徑d d=85=85mmmm，工作工作時(shí)的時(shí)的最大扭矩最大扭矩1.5kN1.5kN* *m,m, =60=60MPaMPa. .校校核此軸的強(qiáng)度。核此軸的強(qiáng)度。若保持最大切應(yīng)力不變，將若保持最大切應(yīng)力不變，將ABAB軸改用實(shí)心圓軸，試比軸改用實(shí)心圓軸，試比較實(shí)心軸和空心軸的重量較實(shí)心軸和空心軸的重量. 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n n=500r

21、/min=500r/min，主動(dòng)輪，主動(dòng)輪A A 輸入功輸入功率率P P1 1=400kW=400kW，從動(dòng)輪，從動(dòng)輪C C，B B 分別輸出功率分別輸出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知。已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)試確定試確定AC AC 段的直徑段的直徑d d1 1 和和BC BC 段的直徑段的直徑d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 兩段選同一直徑，試確定直徑兩段選同一直徑，試確定直徑d d； (3)(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理主動(dòng)輪和

22、從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理? ?1eMABC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例題例題4 4. 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按剛度條件按剛度條件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直徑直徑d d1 1的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件mN7640mN4580 187mmd 1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT. 按剛度條件