材料力學(xué)ppt課件

1、. q材料力學(xué)的研究模型v材料力學(xué)研究的物體均為材料力學(xué)研究的物體均為變形固體變形固體，簡稱，簡稱“構(gòu)構(gòu)件件”；現(xiàn)實(shí)中的構(gòu)件形狀大致可簡化為四類，即；現(xiàn)實(shí)中的構(gòu)件形狀大致可簡化為四類，即桿、板、殼桿、板、殼和和塊塊。v桿桿-長度遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向尺寸的構(gòu)件。桿的長度遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向尺寸的構(gòu)件。桿的幾何形狀可用其幾何形狀可用其軸線軸線（截面形心的連線）和垂直（截面形心的連線）和垂直于軸線的幾何圖形（于軸線的幾何圖形（橫截面橫截面）表示。軸線是直線）表示。軸線是直線的桿，稱為直桿；軸線是曲線的桿，稱為曲桿。的桿，稱為直桿；軸線是曲線的桿，稱為曲桿。各橫截面相同的直桿，稱為等直桿；v材料力學(xué)的主要

2、研究對(duì)象就是等直桿。q變形v構(gòu)件在載荷作用下，其形狀和尺寸發(fā)生變化的現(xiàn)象；變形固體的變形通?？煞譃閮煞N：變形固體的變形通?？煞譃閮煞N：l彈性變形-載荷解除后變形隨之消失的變形l塑性變形-載荷解除后變形不能消失的變形v材料力學(xué)研究的主要是彈性變形，并且只限于彈材料力學(xué)研究的主要是彈性變形，并且只限于彈性小變形，即變形量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其自身尺寸的變形性小變形，即變形量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其自身尺寸的變形q變形固體的基本假設(shè)v連續(xù)性假設(shè)l假設(shè)在固體所占有的空間內(nèi)毫無空隙的充滿了物質(zhì)v均勻性假設(shè)l假設(shè)材料的力學(xué)性能在各處都是相同的。v各向同性假設(shè)l假設(shè)變形固體各個(gè)方向的力學(xué)性能都相同q材料的力學(xué)性能v-指變形固體在力的

3、作用下所表現(xiàn)的力學(xué)性能。q構(gòu)件的承載能力：v強(qiáng)度強(qiáng)度-構(gòu)件抵抗破壞的能力構(gòu)件抵抗破壞的能力v剛度剛度-構(gòu)件抵抗變形的能力構(gòu)件抵抗變形的能力v穩(wěn)定性穩(wěn)定性-構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力q內(nèi)力的概念v構(gòu)件在外力作用時(shí)，形狀和尺寸將發(fā)生變化，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力也將隨之改變，這個(gè)因外力作用而引起構(gòu)件內(nèi)部相互作用的力，稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。其中：其中：Mx、My、Mz為主矩為主矩在在x、y、z軸方向上的分量。軸方向上的分量。FNx、FQy、FQz為主矢在為主矢在x、y、z軸方向上的分量。軸方向上的分量。F FN Nx x使桿件延使桿件延x x方向產(chǎn)生軸向拉壓變形，稱為軸

4、力方向產(chǎn)生軸向拉壓變形，稱為軸力F FQ Qy,Fy,FQ Qz z使桿件延使桿件延y,zy,z方向產(chǎn)生剪切變形，稱為剪力方向產(chǎn)生剪切變形，稱為剪力Mx Mx 使桿件繞使桿件繞x x軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，稱為扭矩軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，稱為扭矩MyMy、MzMz使得桿件分別繞使得桿件分別繞y zy z軸產(chǎn)生彎曲變形，稱為彎矩軸產(chǎn)生彎曲變形，稱為彎矩利用力系簡化原理，截面m-m向形心C點(diǎn)簡化后，得到一個(gè)主矢和主矩。在空間坐標(biāo)系中，表示如圖q截面法求內(nèi)力步驟v將桿件在欲求內(nèi)力的截面處假想的切開；v取其中任一部分并在截面上畫出相應(yīng)內(nèi)力；v由平衡條件確定內(nèi)力大小。例：左圖左半部分：Fx=0 FP=FN右半部分：Fx

5、=0 FP,=FN,q已知小型壓力機(jī)機(jī)架受力F的作用，如圖，試求立柱截面m-n上的內(nèi)力解：1、假想從m-n面將機(jī)架截開（如圖）；2、取上部，建立如圖坐標(biāo)系，畫出內(nèi)力FN，MZ （方向如圖示）。（水平部分/豎直部分的變形？）3、由平衡方程得：Fy=0 FP-FN=0FN=FPMo=0 Fp a - Mz=0Mz =Fp a載荷特點(diǎn)：受軸向力作用變形特點(diǎn)：各橫截面沿軸向做平動(dòng)內(nèi)力特點(diǎn)：內(nèi)力方向沿軸向，簡稱 軸力FN軸力正負(fù)規(guī)定：軸力與截面法向相同為正FN=P載荷特點(diǎn)：作用力與截面平行（垂直于軸線）變形特點(diǎn)：各橫截面發(fā)生相互錯(cuò)動(dòng)內(nèi)力特點(diǎn)：內(nèi)力沿截面方向（與軸向垂直），簡稱 剪力剪力FQ剪力正負(fù)規(guī)定：

6、左下（右上）為正左下：指左截面（左半邊物體）剪力向下載荷特點(diǎn)：受繞軸線方向力偶作用（力偶作用面平行于橫截面）變形特點(diǎn)：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)力：作用面與橫截面重合的一個(gè)力偶，稱為扭矩T正扭矩的規(guī)定：其轉(zhuǎn)向與截面外法向構(gòu)成右手系T=M載荷特點(diǎn)：在梁的兩端作用有一對(duì)力偶，力偶作用面在梁的對(duì)稱縱截面內(nèi)。變形特點(diǎn)：梁的橫截面繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度。中性軸（面）內(nèi)力：作用面垂直橫截面的一個(gè)力偶，簡稱彎矩M彎矩的正負(fù)規(guī)定：使得梁的變形為上凹下凸的彎矩為正。（形象記憶：盛水的碗）q應(yīng)力的概念v單位面積上內(nèi)力的大小，稱為應(yīng)力v平均應(yīng)力Pm，如圖所示FAPm=q正應(yīng)力 單位面積上軸力的大小，稱為正應(yīng)力；q切應(yīng)力 單位面

7、積上剪力的大小，稱為切應(yīng)力應(yīng)力單位為：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡)常用單位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2A截面面積q構(gòu)件在外力作用下，其變形的大小用位移和應(yīng)變來度量。q如圖：vAA連線稱為A點(diǎn)的線位移v角度稱為截面m-m的角位移，簡稱轉(zhuǎn)角v注意，單元K的形狀也有所改變q分析單元Kv單元原棱長為x，u為絕對(duì)伸長量，其相對(duì)伸長u/ x的極限稱為沿x方向的正應(yīng)變。u x即： x=limx2. a點(diǎn)的橫向移動(dòng)點(diǎn)的橫向移動(dòng)aa，使得使得oa直線產(chǎn)生轉(zhuǎn)角直線產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，定義定義轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角為為切應(yīng)變=aaoa=aax)q實(shí)驗(yàn)證明：v當(dāng)正應(yīng)力小于某一極限值時(shí)，正應(yīng)力與正應(yīng)變存在線性關(guān)

8、系，即：=稱為胡克定律，E為彈性模量，常用單位：Gpa（吉帕）v同理，切應(yīng)變小于某一極限值時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變也存在線性關(guān)系即：=G此為剪切胡克定律，G為切變模量，常用單位：GPa鋼與合金鋼E=200-220GPaG=75-80GPa鋁與合金鋁E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡膠E=0.008GPaq定義v以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉伸或壓縮q內(nèi)力的計(jì)算v截面法l如左圖q內(nèi)力的表示v軸力圖-形象表示軸力沿軸線變化的情況q例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 畫桿件軸力圖。解：1)截面法求AC段軸力，沿截面1-1處截開，取左段如圖14

9、-1-2所示Fx=0 FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段軸力，從2-2截面處截開，取右段，如圖14-1-3所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2= - F3=-1.5kN（負(fù)號(hào)表示所畫F FN2N2方向與實(shí)際相反）3)圖14-1-4位AB桿的軸力圖q扭轉(zhuǎn)變形的定義v橫截面繞軸線做相對(duì)旋轉(zhuǎn)的變形，稱為扭轉(zhuǎn)v以扭轉(zhuǎn)為主要變形的直桿，通常稱為軸v本課程主要研究圓截面軸q功率、轉(zhuǎn)速和扭矩的關(guān)系vM=9549 q扭矩圖v仿照軸力圖的畫法，畫出扭矩沿軸線的變化，就是扭矩圖。 nP其中：M為外力矩(N.m)P為功率(kW)n轉(zhuǎn)速(r/min)v如圖，主動(dòng)輪A的輸入功率PA=36kW，

10、從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=11kW，PD=14kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min.試畫出傳動(dòng)軸的扭矩圖解：1)1)由扭矩、功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)2)分別求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即為BC,CA,AD段軸的扭矩（內(nèi)力）如圖a)、b)、c);均有Mx=0 得：T1+MB=0T1=-MB= -350N.mMB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 T3=MD=446N.m3)3)畫出扭矩圖如 d)q彎曲梁的概念及其簡化v桿件在過桿軸線的縱向

11、平面內(nèi)，受到力偶或受到垂直于軸線的橫向力作用時(shí)，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，桿件的這種以軸線變彎為主要特征的變形稱為彎曲；以彎曲為主要變形的桿簡稱為梁。q常見梁的力學(xué)模型簡支梁一端為活動(dòng)鉸鏈支座，另一端為固定鉸鏈支座外伸梁一端或兩端伸出支座支外的簡支梁懸臂梁一端為固定端，另一端為自由端的梁。q梁的內(nèi)力v剪力FQv彎矩MCq梁內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定內(nèi)力方向梁的變形例14-3 簡支梁如左圖，已知a、q、M=qa2；求梁的內(nèi)力FAyFBy12 3aqF65AYaqF61BY2）1-1截面內(nèi)力：(0 x1 a)3）2-2截面內(nèi)力： (ax22a)解：1）求得A、B處反力FAY,FBY；1651AY1xaqxFM

12、aqFF65AyQ122AYQ2xqaq611a)(xqFF222222AY2a)(xq21-xaq65a)(xq21-xFM4）3-3截面內(nèi)力：(0 x3 a，此處x3的起點(diǎn)為B點(diǎn)，方向如圖)aq61FFBYQ3323BY3xaq61aqxFMM1.當(dāng)：0 x1a 時(shí)AC段 FQ1=5q.a/62.當(dāng)：ax22a 時(shí),即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直線x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ）x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）3.當(dāng)： 0 x3a (起點(diǎn)在B點(diǎn)）FQ3=-q.a/6v當(dāng)：0 x1a 時(shí)，M1=5q.a.x1/6為直線2651C1

13、1A1aqMax點(diǎn)：C0；M0 x點(diǎn)：A2672D22652C2q.a M, a2 xD q.a M, a xC點(diǎn)：點(diǎn)：MaqM, 0 xBMaqM, axD2B33D2267D33點(diǎn)：點(diǎn)：v當(dāng)：ax22a 時(shí)，為二次曲線；M2=5qax2-q(x2-a)2/2v當(dāng)： 0 x3a時(shí)（原點(diǎn)在B點(diǎn)，方向向左），M3為直線M3=qa2+q.a.x3/6; q已知：G,a,b,l,畫梁AB內(nèi)力圖解：1求A,B支座反力( a+b=l )lGbAyFlGaByF2求x截面內(nèi)力a) 0 xalGbAyQFF1xxFMlGbAy1b) axa)（或CB,ab）段Qmax=Gb/ll最大彎矩在C截面處Mmax=

14、Gab/l本例中，剪力和彎矩的表達(dá)式與截面的位置形式上構(gòu)成了一種函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系稱為剪力方程和彎矩方程；即：FQ=FQ(x)Mc=M(x)q簡支梁受力偶作用求支座反力FAY,FBY得：FAY=- FBY =M/lAC段X截面處剪力FQ=Fay,同理可求得BC段剪力與AC段相同，剪力圖如左AC段彎矩方程M1M1=FAYx=M x /LBC段彎矩方程M2M2=FAY x-M=M(x - L)/L懸臂梁作用均布載荷q，畫出梁的剪力圖和彎矩圖寫出A點(diǎn)x處截面的剪力方程和彎矩方程剪力圖、彎矩圖如右，最大剪力、彎矩均發(fā)生在B點(diǎn)，且xqFQxqM21qlMqlFmaxmaxQ21v設(shè)梁上作用任意載荷，坐標(biāo)

15、原點(diǎn)選在A點(diǎn)（左端點(diǎn)形心），現(xiàn)分析剪力、彎矩與載荷集度的關(guān)系。取x處一小段dx長度梁，如圖，由平衡方程得：Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a)MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b)在上式中略去高階微量后，得q(x)dx(x)dFQ(x)FQdxdMq(x)dxdFQdxMd22q(x)=0的區(qū)間q(x)=C的區(qū)間集中力F作用處力偶M作用處FQ 圖水平線q(x)0,斜直線，斜率0q(x)0,斜直線，斜率0,斜直線，斜率0FQ 0,斜直線，斜率0,拋物線，上凹q(x)0,拋物線，下凹FQ =0,拋物線有極值斜率由突變圖形成折線有突變突變量=MvM=3k

16、N.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B處支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力圖：如圖，將梁分為三段AC：q=0,FQC= FAYCB：q0,FQB=-8.5kNBD：q0,直線,MC=7KN.MCB：q0,拋物線,FQ=0,MB=6.04BD：q0;MBC|x=3a/4=021289aqA、B支反力：FA=qa/2;FB=5qa/2AB段：q0；斜直線（左上右下）A點(diǎn)：FQA=FA=qa/2；B點(diǎn)：FQB=FA-2qa=-3qa/2D點(diǎn)：FQAB=0；x=a/2BC段：q=0；直線（水平）C點(diǎn)：FQC=F=qa=FQB彎矩圖：AB段：q0；拋物線，上凸A點(diǎn)： MC=0，D點(diǎn)

17、： MD= FA a/2 q.a2/8=qa2/8B點(diǎn)： MB=FA.2a-2qa2=-qa2；BC段:q=0 直線（左下右上）MC=0,MB=-F.a=-qa2Dq平面假設(shè)v桿件的橫截面在變形后仍保持為平面，且垂直于桿的軸線。橫截面上各點(diǎn)只產(chǎn)生沿垂直于橫截面方向的變形，故橫截面上只有正應(yīng)力。兩橫截面之間的縱向纖維伸長都相等，故橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)變都相等；根據(jù)胡克定律，其正應(yīng)力也相等，即橫截面上的正應(yīng)力均勻分布。1.桿件軸向拉壓時(shí)橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式AFNFN軸力A-橫截面面積的正負(fù)號(hào)與FN相同；即拉伸為正壓縮為負(fù)v一中段開槽的直桿如圖，受軸向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0

18、=10mm，b=20mm；試求桿內(nèi)的最大正應(yīng)力解：求軸力FN;FN=-F=-20kN=-20 x103N求橫截面面積：A1=bh=20 x25=500mm2A2=b(h-h0)=20 x(25-10)=300mm2求應(yīng)力由于1-1，2-2截面軸力相同，所以最大應(yīng)力應(yīng)該在面積小的2-2截面上=FNA=-20X103300=-66.7MPa （負(fù)號(hào)表示為壓應(yīng)力）設(shè)等截面直桿原長l0，截面面積A0，在軸力F作用下，其長度變?yōu)閘1，截面面積變?yōu)锳1；其軸向絕對(duì)變形l和軸向（相對(duì)變形）線應(yīng)變分別為：l=l1-l00010lllll直桿橫截面上的正應(yīng)力：AFAFN當(dāng)應(yīng)力不超過某一值時(shí)，正應(yīng)力與線應(yīng)變滿足胡

19、克定律：=E由以上可以得到：EAlFlN式中EA稱為桿件的抗拉壓剛度此式稱為拉壓變形公式如果等直桿在變形前后的橫向尺寸為：b0、b1； 那么其橫向絕對(duì)變形和橫向線應(yīng)變分別為b和;b=b1-b0= b /b0實(shí)驗(yàn)表明：桿件軸向拉伸時(shí)，橫向尺寸減小， 為負(fù) ；桿件軸向壓縮時(shí)，橫向尺寸增大， 為正；可見， 軸向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變恒為異號(hào)實(shí)驗(yàn)還表明：對(duì)于同一種材料，當(dāng)應(yīng)力不超過某一極限時(shí)，桿件的橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變之比為一負(fù)常數(shù)：即：,或,比例系數(shù)稱為泊松比，是量剛為一的量q一板狀試樣如圖，已知：b=4mm，h=30mm，當(dāng)施加F=3kN的拉力時(shí)，測(cè)的試樣的軸向線應(yīng)變=120 x10-6,橫向線應(yīng)變

20、=-38x10-6；試求試樣材料的彈性模量E和泊松比解：求試件的軸力FN=F=3kN;橫截面面積A=bh=120mm2,橫截面上的應(yīng)力=F/A)(251201033MPaxAFN根據(jù)胡克定律=E得：泊松比：316701203810120103866.xx,(GPa)3320812102500101202536.Exx鋼制階梯桿如圖所示；已知軸向力F1=50kN，F(xiàn)2=20kN，桿各段長度l1=120mm，l2=l3=100mm，桿AD、DB段的面積A1、A2分別是500和250mm2，鋼的彈性模量E=200GPa，試求階梯桿的軸向總變形和各段線應(yīng)變。解：畫出桿件的軸力圖求出個(gè)段軸向變形量AC段

21、：CD段：DB段：mmEALFlN3331111036500102001201030mmEALFlN3333331040250102001001020總變形：l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm由=L/L得：1= -300 x10-62= 200 x10-63= 400 x10-6mmEALFlN3332221020500102001001020q平面假設(shè)：圓周扭轉(zhuǎn)變形后各個(gè)橫截面仍為平面，而且其大小、形狀以及相鄰兩截面之間的距離保持不變，橫截面半徑仍為直線v橫截面上各點(diǎn)無軸向變形，故橫截面上沒有正應(yīng)力。v橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，故橫截面上有剪應(yīng)力存在。v各橫截面半

22、徑不變，所以剪應(yīng)力方向與截面徑向垂直推斷結(jié)論：q橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比由剪切胡克定律可知： 當(dāng)切應(yīng)力不超過某一極限值時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。即：dxdGGdxddxdR橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，切應(yīng)力的方向垂直于該點(diǎn)和轉(zhuǎn)動(dòng)中心的連線q根據(jù)以上結(jié)論：v扭轉(zhuǎn)變形橫截面上的切應(yīng)力分布如圖a)所示扭矩和切應(yīng)力的關(guān)系： TdA如圖b)所示：微面積dA上內(nèi)力對(duì)o點(diǎn)的矩為dM=dA整個(gè)截面上的微內(nèi)力矩的合力矩應(yīng)該等于扭矩即：由推導(dǎo)的結(jié)論式TIGdAGdApdxddxd2dxdGG TdA可以得到：或：pGITdxd變形計(jì)算公式于是有：PIT扭轉(zhuǎn)變形橫

23、截面任意點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式外邊緣最大切應(yīng)力計(jì)算公式ppWTrITmaxq極慣性矩p扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)pdAdAIAp22rIWpp4164322.01.044dWdIdpdp434164443212 .0111 .0134DWDIDpDpDd其中d為圓截面直徑（d、D為圓環(huán)內(nèi)外徑）dxGITdp由扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算公式可以計(jì)算出，兩個(gè)相距dx的橫截面繞軸線的相對(duì)角位移，即相對(duì)扭轉(zhuǎn)角drad對(duì)于相距L的兩個(gè)橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角可以通過積分求得：dxdllGITp0rad對(duì)于等截面圓軸，若在長度為l的某兩個(gè)截面之間的扭矩均為T，那么該兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為pIGlTrad單位長度相對(duì)扭轉(zhuǎn)角pIGTlrad/m在圖

24、示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，功率從B輪輸入，再通過錐齒輪將一半傳遞給鉛垂軸C，另一半傳遞給水平軸H。若已知輸入功率P1=14kW，水平軸E和H的轉(zhuǎn)速n1=n2=120r/min，錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為z1=36，z2=12，圖中d1=70, d2=50, d3=35.求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力.分析：此機(jī)構(gòu)是典型的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，各傳動(dòng)軸均為扭轉(zhuǎn)變形。欲求各傳動(dòng)軸橫截面上的切應(yīng)力，必須求得各軸所受的扭矩，即各軸所受到的外力偶矩。由題意可知，E、H、C軸所傳遞的功率分別為：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H軸轉(zhuǎn)速為120r/min,由傳動(dòng)比可計(jì)算出C軸的轉(zhuǎn)速為：n3=(z1/z2)n1 =3

25、n1=360r/min再通過公式：nWM9549可以求得各軸所受到的外力矩M1M2M3解：1、求各軸橫截面上的扭矩：)(111412014954995491111mNnPMTE 軸：)(5571207954995492222mNnPMTH 軸：)(7.1853607954995493333mNnPMTC 軸：2、求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力：)(24.16702 .01011143311maxMPaWTPEE 軸：)(28.22502 .0105573322maxMPaWTPHH 軸：)(66.21352 . 0107 .1853333maxMPaWTPCE 軸：如圖所示,已知：M1=5kNm;

26、M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此軸的最大切應(yīng)力2、C截面相對(duì)于A截面的扭轉(zhuǎn)角CA；3、相對(duì)扭轉(zhuǎn)角AB、 BC；解：1、求最大切應(yīng)力扭矩圖如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根據(jù)切應(yīng)力計(jì)算公式MPaWTABABAB83.48802 . 010536maxMPaWTBCBCBC72502 . 0108 . 136max2、求C截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式：)(1005. 310801 . 0108010200105343933radGILTpABABABBA)(10510501

27、 .0108010250108 .1343933radGILTPBCBCBCCB)(1005. 810)505. 3(33radCBBACAC截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角為：3、相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：)/(100 .210250105)/(10525.1102001005.3233233mradLmradLBCBCCBABBAAB扭轉(zhuǎn)圓軸的切應(yīng)力計(jì)算公式：pIT最大切應(yīng)力公式pWTmax扭轉(zhuǎn)圓軸的橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律相對(duì)扭轉(zhuǎn)角dxGITdp單位長度相對(duì)扭轉(zhuǎn)角)(mradpGITlpGITl)(180180mpGITlq第三講 彎曲梁正應(yīng)力v彎曲正應(yīng)力公式v彎曲梁截面的最大正應(yīng)力v慣性矩的平行軸定理v平行軸

28、定理應(yīng)用舉例1v平行軸定理應(yīng)用舉例2v彎曲正應(yīng)力計(jì)算 習(xí)題15-14p271v作業(yè)平面彎曲橫力彎曲純彎曲剪力FQ0彎矩M 0剪力FQ=0彎矩M 0純彎曲：平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)：如上圖1、2得縱向變形：ydddydxdxbb)(根據(jù)胡克定律，可知：yEE由圖3得：幾何關(guān)系物理關(guān)系MdAy即zEIdAyEdAyM2對(duì)照以上各式，得：yIMz其中：Iz為截面對(duì)z軸的慣性矩由正應(yīng)力公式可知，彎曲梁截面上的最大正應(yīng)力應(yīng)該在其上下邊緣：即|y|的最大值處.maxmaxyIMz引入彎曲截面系數(shù)Wz=Iz/ymax，最大正

29、應(yīng)力公式為：zWMmax慣性矩計(jì)算：A 定義式：dAyIz2B 積分式：AzdAyI2矩形截面Iz的計(jì)算： 如圖12)(32222bhbdyydAyIAzhh622maxbhIyIWhzzz由慣性矩的定義式可知：組合截面對(duì)某軸的慣性矩，等于其組成部分對(duì)同一軸慣性矩的代數(shù)和即：Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi設(shè)某截面形心在某坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(a,b),如圖，則其對(duì)坐標(biāo)軸的慣性矩為：AbIIzcz2對(duì)于z軸的慣性矩：AaIIycy2對(duì)于y軸的慣性矩：工字形截面梁尺寸如圖，求截面對(duì)z軸的慣性矩。解：可以認(rèn)為該截面是由三個(gè)矩形截面構(gòu)成，所以：Iz=Iz1+Iz2+Iz3（-）（+）（+）)(1024

30、33109129040124443331mmbhIz)(1067.1703108128040124443332mmbhIz)(1053.8610812802124433333mmbhIz123Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)求圖示截面對(duì)z軸的慣性矩解： 截面可分解成如圖組合，A1=300 x30=9000mm2A2=50 x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mmyc2=135-75=60mmA1、A2兩截面對(duì)其型心軸的慣性矩為：I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4I2cz=50 x

31、2703/12=82.0125x106mm4 由平行軸定理得：I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1A2已知：A=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm求：1) B, D ；2) max(拉）解：A=40MPa(拉),y1=10mm; 由公式： AzAyIMAAzyIM由于A點(diǎn)應(yīng)力為正，因此該梁上半部分受拉，應(yīng)力為

32、正，下半部分受壓，應(yīng)力為負(fù)，因此有： maxmaxyyyyIMDDBBAAz32MPa40108yyAABBMPa120-401030yyAADD最大拉應(yīng)力在上半部邊緣MPa60401015yyAAmaxmaxq橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上切應(yīng)力分布。q橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式如圖所示，已知6120柴油機(jī)活塞銷的外徑D=45mm，內(nèi)徑d=28mm，活塞銷上的載荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，連桿作用力F=88.4kN。求活塞銷的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。解：活塞銷所受的載荷簡化為均布載荷，其均布集度為mkNbFq3311027.210394 .88mkNaFq3321030. 1

33、103424 .88剪力圖如例15-11 b）FQmax=44.2kN彎矩圖如例15-11 c)Mmax=1.18kN.m363445283431075. 76 .7746)(1451 . 0)(11 . 0mmmDWDdz已知活塞銷截面為薄壁圓環(huán)，那么：2222268.9744/ )2845(4/ )(mmdDA活塞銷的最大正應(yīng)力為彎矩最大處，即銷子中心點(diǎn)：MPaWMz32.1526 .77461018.16maxmax由切應(yīng)力近似計(jì)算公式可以得出，活塞銷的最大切應(yīng)力為：MPaAF7 .9068.974102 .44223maxmaxq梁彎曲變形的概念撓度-梁的橫截面形心在垂直雨量軸線方向的

34、位移稱為撓度，用w表示。正負(fù)規(guī)定：圖示坐標(biāo)中上正下負(fù)轉(zhuǎn)角-梁的橫截面相對(duì)于變形前后初始位置轉(zhuǎn)過的角度，用表示。正負(fù)規(guī)定：逆時(shí)針為正，反之為負(fù)撓曲線-梁在彈性范圍彎曲變形后，其軸線變成一條光滑連續(xù)曲線，稱為撓曲線，其表示式為轉(zhuǎn)角與撓度w的關(guān)系如圖所示：tan =dw(x)/dx=w即：橫截面的轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率w=w(x)q積分法求梁的變形撓曲線公式簡單推導(dǎo)zEIxMx)()(1由前可知：而在數(shù)學(xué)中有：232) (1 )(1wwx略去高階無窮小，得到：zEIxMw)( 撓曲線近似微分方程積分后：CdxEIxMdxxdwz)()( DxCdxEIxMwz)(式中的積分常數(shù)C、D由梁

35、的邊界條件和連續(xù)條件確定習(xí)題15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；解：求A,B支座反力FA=FB=ql/2=8kN寫出梁的彎矩方程（如圖b)：M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1)CqxqlxwEIz6/4/32積分后得到:DCxqxqlxwEIz24/12/43CONTINUE)(1065. 71016601021024210824489333maxradEIqlz)(1078. 41662138464010166010210384210853845489434maxmEIqlwzFINE邊

36、界條件：x=0, w=0；D=0； x=l , w=0；C=-ql3/24由（1）可知： max 為 M(x)=0的點(diǎn)；即 x=0 和 x=l 處（A,B端點(diǎn)）max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIzz)w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)；w=0；x=l/2；w x=l=5ql4/(384EIz)q疊加法求梁的變形v疊加法l當(dāng)梁受多個(gè)載荷作用時(shí)，梁的變形是每個(gè)獨(dú)立載荷作用時(shí)變形的疊加。v理論基礎(chǔ)l（略）參見教材v常見簡單載荷作用下梁的變形l教材P261。q用疊加法求圖示梁B截面的轉(zhuǎn)角和C截面的撓度zbzBbEIMlwEIMll16;322zczBcEI

37、FlwEIFll48;16322疊加結(jié)果為)316(48FlMEIlzBcBbB)3(482FlMEIlwwwzCcCbC查表q低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能v試件v儀器l壓力實(shí)驗(yàn)機(jī)l游標(biāo)卡尺q應(yīng)力應(yīng)變曲線v比例極限pv彈性極限ev屈服極限sv抗拉強(qiáng)度b滑移線頸縮q伸長率q斷面收縮率v塑性材料： 5% v脆性材料：5%100001LLLq鑄鐵拉伸v鑄鐵等脆性材料在拉伸時(shí)，變形很小，應(yīng)力應(yīng)變曲線圖沒有明顯的直線部分，通常近似認(rèn)為符合胡克定律。其抗拉強(qiáng)度b是衡量自身強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。%100001AAA時(shí)衡量材料塑性的一個(gè)重要指標(biāo)q低碳鋼壓縮q鑄鐵壓縮q對(duì)于沒有明顯屈服階段的塑性材料，在工程上常以卸載后產(chǎn)生

38、0.2%的殘余應(yīng)變的應(yīng)力作為屈服應(yīng)力，稱為名義屈服極限，用P0.2來表示q冷作硬化v對(duì)于這種對(duì)材料預(yù)加塑性變形，而使其比例極限或彈性極限提高，塑性變形減小的現(xiàn)象稱之為冷作硬化。q拉壓桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為v拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的，而且各點(diǎn)均為單向應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)材料的失效判據(jù)，拉壓桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為：)(maxmaxAFN式中vmax為拉壓桿橫截面上的最大工作應(yīng)力v為材料的許用應(yīng)力v對(duì)于塑性材料= s/nsv對(duì)于脆性材料拉= b拉/nb; 壓= b壓/nb；q對(duì)于等截面桿，其強(qiáng)度準(zhǔn)則可以寫成maxmaxAFN1、強(qiáng)度校核max2、選擇截面尺寸maxNFA 3、確定許可載荷max AFN某

39、銑床工作臺(tái)的近給液壓缸如圖示，缸內(nèi)工作壓力p=2MPa，液壓缸內(nèi)徑D=75mm，活塞桿直徑d=18mm，已知活塞桿材料的許用應(yīng)力=50MPa，試校核活塞桿的強(qiáng)度。解：求活塞桿的軸力：NdDpApFN3221033.8)(4橫截面上的應(yīng)力為：7.32181033.8243MPaAFN活塞桿強(qiáng)度足夠注：在工程中，允許工作應(yīng)力大于許用應(yīng)力但不可超出5。習(xí)題173，已知：h=2b，F(xiàn)=40kN，=100MPa；試設(shè)計(jì)拉桿截面尺寸h、b。解：求出拉桿的軸力FN;FN=F=40kN拉桿的工作應(yīng)力 FN/A根據(jù)強(qiáng)度準(zhǔn)則，有 , 即 AFN/；而A=hb=2b2 所以：2b2 40103/100=400mm2

40、求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm考慮安全，可以取 b=15mm，h=30mm結(jié)束如左圖，已知：木桿面積A1=104mm2， 1=7MPa鋼桿面積A2=600mm2，2=160MPa,確定許用載荷G。解：1、求各桿的軸力如圖b)列平衡方程，得Fx=0 FN1FN2cos300=0Fy=0 FN2sin300G=0求解上式，得：FN1= 1.73G, FN2=2G2、用木桿確定G由強(qiáng)度準(zhǔn)則： 1 =FN1/A1 1 得：G 1 A1 /1.73=40.4kN3、校核鋼桿強(qiáng)度即： 2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8103/600 =134.67MPa2 強(qiáng)度足夠，故許可載荷

41、G=40.4kN結(jié)束q梁在彎曲變形時(shí)，其截面上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力，故有：)(maxmaxzWM和max對(duì)于等截面梁，可以寫成：maxmaxzWM對(duì)于脆性梁，其抗拉、抗壓性能不等時(shí)，應(yīng)分別予以設(shè)計(jì)。maxmaxzIyMmaxmaxzIyM通常在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，先以彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)出截面尺寸，然后按照彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行校核。q彎曲正應(yīng)力圖示T形截面鑄鐵外伸梁，其許用拉應(yīng)力30MPa，許用壓應(yīng)力60MPa，截面尺寸如圖。截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz763mm4，且y1=52cm。試校核梁的強(qiáng)度。分析：1、畫出梁的彎矩圖（確定最大彎矩及其所在截面）2、求出梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力值3、校核強(qiáng)度

42、解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，畫出彎矩圖如 b)，最大正彎矩在C點(diǎn)，最大負(fù)彎矩在B點(diǎn)，即：C點(diǎn)為上壓下拉，而B點(diǎn)為上拉下壓FAFB2、求出B截面最大應(yīng)力最大拉應(yīng)力（上邊緣）：最大壓應(yīng)力（下邊緣）：27.26MPa1076352104461zBBIyMMPa13.641076388104462zBBIyM3、求出C截面最大應(yīng)力最大拉應(yīng)力（下邊緣）：最大壓應(yīng)力（上邊緣）：MPa83.821076388105 .2462zCCIyMMPa04.171076352105.2461zCCIyM由計(jì)算可見：最大拉應(yīng)力在C點(diǎn)且Cmax=28.83MPa=30MPa最大壓應(yīng)力在B點(diǎn)

43、且Bmax=46.13MPa60MPa故梁強(qiáng)度足夠簡支梁AB如圖所示，已知：=160MPa，=100MPa，a=0.2m，l=2m，F(xiàn)=200kN，試選擇工字鋼型號(hào)。FAFB解：1、計(jì)算梁的約束力FA、FB;由于機(jī)構(gòu)對(duì)稱，所以FA=FB=210kN2、畫出梁的剪力圖可以看出FQmax=FA=FB=210kN3、畫出梁的彎矩圖，其最大彎矩在梁的中點(diǎn)，計(jì)算得：Mmax=45kN.m4、應(yīng)用梁的彎曲正應(yīng)力準(zhǔn)則選擇截面尺寸：max(Mmax/Wz)變形可以得出：336625.2811028125.01601045cmmmMWz查附錄C選取22a工字鋼，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5m

44、m；t=12.3mm。校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度：工字鋼腹部切應(yīng)力最大，對(duì)應(yīng)面積A1=(h-2t)d；則有：100MPa143.3MPa5.7)3.122220(1021031maxmaxAFQ由于切應(yīng)力大出其許用應(yīng)力很多，故再選大一號(hào)，選22b并校核其切應(yīng)力強(qiáng)度。相應(yīng)尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：100MPa93.75MPa10)132250(1021031maxmaxAFQ切應(yīng)力強(qiáng)度足夠，故選22b號(hào)工字鋼fine鋼板如圖所示，試校核強(qiáng)度（不考慮應(yīng)力集中影響）已知：F80kN,b=80,t=10,=10,=140MPa解：如圖b)；FNF=80kN,eb/2(b-t)/2=80/2(

45、80-10)/2=5M=FNe=400kN.mmFN引起的應(yīng)力114.3MPa)1080(101080)(3tbFAFNFM引起的應(yīng)力48.98MPa6)1080(10510806)(232tbeFWMzM因此，最大拉應(yīng)力為（上缺口最低點(diǎn)）：MPaMPaMF1403 .16398.483 .114max下邊緣應(yīng)力為：)(3 .6598.483 .114max拉應(yīng)力MPaMF討論：顯然，鋼板的強(qiáng)度不夠；引起應(yīng)力增大的原因是偏心距造成的。因此，解決此類問題就是消除偏心距，如左：正應(yīng)力分布圖如下：MPaMPatbFAFN1403 .133)10280(101080)2(3maxq純扭圓軸橫截面切應(yīng)力

46、分布q圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則q等截面圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則maxmaxPWTmaxmaxPWT為許可切應(yīng)力；通常，對(duì)于塑性材料 （0.50.6) ；對(duì)于脆性材料： （0.81.0) q某傳動(dòng)軸所傳遞的功率P=80kW，其轉(zhuǎn)速n=580prm，直徑d=55mm，材料的許可切應(yīng)力=50MPa，試校核軸的強(qiáng)度。解：傳動(dòng)軸的外力偶矩為：1317.1N.m5808095499549nPM工作切應(yīng)力的最大值：50MPa39.58MPa552 . 0101 .13172 . 0333maxdMWpT強(qiáng)度足夠！q汽車傳動(dòng)軸由45無縫鋼管制成。已知：=60MPa，若鋼管的外徑D90mm，管壁厚t=2.5mm，軸

47、所傳動(dòng)的最大扭矩M=1.5kN.m.試：1、校核傳動(dòng)軸的強(qiáng)度；2、與同性能實(shí)心軸的重量比。解：1、校核強(qiáng)度)(12.0105.1)1(2.0423643maxDtDPDDMWT帶入數(shù)據(jù)后得：max50.33MPa60MPa;強(qiáng)度足夠2、設(shè)計(jì)實(shí)心軸直徑D1（兩軸的最大工作切應(yīng)力相等)mmTDDTWTP03.533 .502 . 0105 . 12 . 02 . 0363max3max；即3、兩軸重量比21. 3859053222222121dDDLALAGG空心軸實(shí)心軸q軸向拉伸桿件：lEAlFlN式中：l為軸向拉伸的許可伸長量或縮短量q平面彎曲梁：maxmax式中：為許用撓度；為許用轉(zhuǎn)角。q扭

48、轉(zhuǎn)變形圓軸：)(180)(maxmaxmaxmaxmPmradPGITGIT。；或式中：max為許用扭轉(zhuǎn)角。q飛機(jī)系統(tǒng)中的鋼拉索，其長度為l=3m，承受拉力F=24kN，彈性模量E=200GPa，需用應(yīng)力=120MPa，要求鋼拉索在彈性范圍內(nèi)的許用伸長量l=2mm，試求其橫截面面積至少應(yīng)該為多少？解：鋼拉索發(fā)生軸向拉伸變形，其軸力為FN=F=24kN232001201024mmFAN1、由等截面軸向拉伸桿件的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則， 得：23331802102001031024mmlElFAN2、由軸向拉壓桿件的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則， 得：綜合上列強(qiáng)度和剛度設(shè)計(jì)結(jié)果，鋼拉索的橫截面面積至少應(yīng)該為：200mm2q

49、如圖所示階梯軸，已知：d1=40mm，d2=55mm，MC=1432.5N.m，MA=620.8N.m。軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角=20/m，許用切應(yīng)力=60MPa，切變模量G=80GPa，試校核軸的強(qiáng)度和剛度。解：由階梯軸的計(jì)算簡圖b)畫出軸的扭矩圖c)，得出AB、BC段的扭矩mNMTmNMTCBCAAB.5 .1432.8 .620；顯然，在AB段上AD段各個(gè)截面是危險(xiǎn)截面，其最大切應(yīng)力為：MPaWTpADABAD5 .48402 . 0108 .62033maxBC段的最大切應(yīng)力為：MPaWTpBCBCBC05.43552 . 0105 .143233max整個(gè)軸的最大切應(yīng)力所以軸的強(qiáng)度足夠MPaMPaAD605 .48maxmax剛度校核AD段的單位長度扭轉(zhuǎn)角mpADABADGIT737. 1