劑量效應(yīng)曲線(xiàn)的累積正態(tài)分布擬合

1、 劑量效應(yīng)曲線(xiàn)的累積正態(tài)分布擬合劑量效應(yīng)曲線(xiàn)的累積正態(tài)分布擬合 摘要： 目的：研究 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)的累積正態(tài)分布函數(shù)擬合。方法：構(gòu)建累積正態(tài)分布函數(shù)的適當(dāng)表達(dá)形式，對(duì)作者實(shí)驗(yàn)室所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，同時(shí)與常用的四參數(shù)方程擬合進(jìn)行比較。結(jié)果：兩種擬合方法具有高度的一致性。結(jié)論：正態(tài)分布模型是一種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在此處的應(yīng)用為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合提供了另一個(gè)可能的選擇，并為藥效學(xué) S 型劑量效應(yīng)模型的研究分析提供了另一種思路。特別地，在常用于藥效學(xué) S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)擬合的數(shù)學(xué)模型中，其Hill 系數(shù)被認(rèn)為沒(méi)有任何生理學(xué)含義，而累積正態(tài)分布函數(shù)中的相應(yīng)參數(shù)卻有明確的生理學(xué)含義，從數(shù)學(xué)上體現(xiàn)了藥理與

2、藥效的內(nèi)在聯(lián)系。 關(guān)鍵詞：S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)，累積正態(tài)分布，四參數(shù)方程，一致性檢驗(yàn)。 前言： 劑量效應(yīng)曲線(xiàn)在藥效學(xué)研究中占有重要的地位。藥物的作用強(qiáng)度一般隨劑量增加而增大，但符合簡(jiǎn)單直線(xiàn)關(guān)系的較少，一般均為各種曲線(xiàn)關(guān)系。如以劑量的對(duì)數(shù)對(duì)藥效作圖，多呈 S 型曲線(xiàn)。在擬合過(guò)程中，因計(jì)算量方面的考慮，歷史上總是想辦法轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)進(jìn)行處理，如將 S 型曲線(xiàn)的 15%85%近似當(dāng)作直線(xiàn)處理，或用各種數(shù)學(xué)方法將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線(xiàn)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)關(guān)系，再利用對(duì)最小二乘法解偏微方程所獲的直線(xiàn)擬合公式，得出擬合方程參數(shù)。隨著計(jì)算機(jī)的普及和性能提高，計(jì)算量已不再作為一個(gè)主要的考慮因素，現(xiàn)在可根據(jù)最小二乘法的原理，用迭代

3、法直接對(duì)殘差平方和求極小值，避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換所帶來(lái)的誤差。用于擬合 S 型曲線(xiàn)的函數(shù)方程有多種，但未見(jiàn)以累積正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行擬合，現(xiàn)以細(xì)胞因子藥效測(cè)定數(shù)據(jù)對(duì)此進(jìn)行探討。 1 實(shí)驗(yàn)部份： 1.1 材料和方法： 1.1.1 材料：G-CSF、IL-6 活性測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由本室提供。 1.1.2 軟件：MS EXCEL XP 。 1.1.3 方法： MTT 法：細(xì)胞因子活性測(cè)定法參考文獻(xiàn) 1、2、3、4。 最小二乘法：以實(shí)驗(yàn)測(cè)定結(jié)果中的樣品濃度（取對(duì)數(shù)）或稀釋度單位為 x ，實(shí)測(cè)光密度值為 y ，組成一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。將每點(diǎn)的 x 值代入相應(yīng)的數(shù)學(xué)擬合模型，在假定的方程參數(shù)初值下得到 y 計(jì)算值，與各點(diǎn)

4、的實(shí)測(cè) y 值相減得殘差。求得所有點(diǎn)的殘差平方和，變動(dòng)方程參數(shù)值使殘差平方和最小。用 MS EXCEL 軟件，以規(guī)劃求解加載宏自動(dòng)調(diào)整參數(shù)值，獲得最終的擬合參數(shù)結(jié)果 5。 一致性檢驗(yàn)：擬合 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)的目的在于獲得相應(yīng)擬合參數(shù)，用于評(píng)價(jià)被測(cè)藥物的藥效學(xué)特征。因此，比較本文中兩種數(shù)學(xué)模型的擬合效果，可以用比較其獲得的具有相同生理意義的擬合參數(shù)，評(píng)價(jià)其擬合效果的一致性。 1.2 建立數(shù)學(xué)模型： 1.2.1 在藥效實(shí)驗(yàn)中，藥物劑量與藥效的關(guān)系是一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，如圖 1 所示。其中，以藥物劑量的對(duì)數(shù)對(duì)藥效作圖常呈 S 型，稱(chēng)為 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)。 1.2.2 在細(xì)胞因子類(lèi)生物藥品如 G-

5、CSF、IFN、IL-6、IL-11、GM-CSF、EPO 等的生物學(xué)活性測(cè)定中，常采用 MTT 法。如以細(xì)胞因子濃度的對(duì)數(shù)（或者倍比稀釋度）對(duì)光密度讀數(shù)作圖，均呈典型的 S 型曲線(xiàn)。內(nèi)含微處理器或用外接微機(jī)處理數(shù)據(jù)的現(xiàn)代酶標(biāo)儀，可以直接給出按四參數(shù)方程（式 1）擬合得到的擬合參數(shù)，也可以按最小二乘法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合以獲得擬合參數(shù)，擬合曲線(xiàn)如圖 2。四參數(shù)方程是一個(gè)廣泛采用的 S 型曲線(xiàn)擬合模型，具有數(shù)據(jù)處理功能的酶標(biāo)儀多數(shù)具備，本文中以其作為對(duì)照模型。 1.2.3 正態(tài)分布曲線(xiàn)及累積正態(tài)分布曲線(xiàn)如圖 3，其中（式 2）為大家所熟知的正態(tài)分布方程，對(duì)（式 2）進(jìn)行積分得（式 3），為累積正態(tài)

6、分布方程。注意圖 2 中的四參數(shù)方程曲線(xiàn)非常類(lèi)似于如圖 3 中的累積正態(tài)分布曲線(xiàn)。 1.2.4 在細(xì)胞因子類(lèi)生物藥品活性的實(shí)際測(cè)定中，常以倍比稀釋度（濃度呈對(duì)數(shù)單位遞減）做橫座標(biāo)，以光密度讀數(shù)做縱座標(biāo)，繪制 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)如圖 4，函數(shù)關(guān)系上與圖 2 等價(jià)。 在式（1）中，參數(shù) A、D 分別代表最大（當(dāng)濃度極大時(shí)）最?。ó?dāng)濃度極小時(shí)）吸收（藥效指標(biāo)），也稱(chēng)為曲線(xiàn)的上下平臺(tái)；C 為中點(diǎn)濃度，當(dāng)樣品濃度等于 C 時(shí)的光密度等于(A+D)/2，正處于曲線(xiàn)的拐點(diǎn)處，此點(diǎn)為中點(diǎn)稀釋度，濃度為 ED50（EC50、TC50、TD50、LC50、LD50）；B 表示曲線(xiàn)的陡峭程度，稱(chēng)斜率因子，一般認(rèn)為無(wú)

7、明確的生理學(xué)含義。 1.2.5 在（式 3）表示的累積正態(tài)分布函數(shù)中，累積概率 F(X )的值域?yàn)?100%，除正態(tài)分布的兩個(gè)特征參數(shù)均值 u 、方差 外，引入兩個(gè)參數(shù) A、D，將值域轉(zhuǎn)化為最大、最小吸收（藥效），構(gòu)建用于擬合 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)的累積正態(tài)分布函數(shù)： 在筆者采用的 MS-EXCEL 軟件中，函數(shù) NORMDIST (x, ,TRUE)可獲得相應(yīng)的累積正態(tài)分布值，因此函數(shù)（式 4）可表達(dá)為 y = NORMDIST(LN(x), ,TRUE)*(A-D)+D。并且以為橫座標(biāo)，以 y 為縱座標(biāo)，可得適用于擬合處理 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的累積正態(tài)分布函數(shù)模型。其中 LN(x)x

8、 為藥品濃度，對(duì) x 進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理可用自然對(duì)數(shù)或以其它底數(shù)的對(duì)數(shù)； 為藥效指標(biāo)。 1.2.6 在細(xì)胞因子類(lèi)生物藥品的活性測(cè)定中，常以倍比稀釋度做橫座標(biāo)，則細(xì)胞因子濃度隨稀釋度增加而降低，代表細(xì)胞因子藥效作用的光密度讀數(shù)也隨稀釋度增加而降低，此時(shí)用于擬合的函數(shù)（式 4）應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的變換同樣，函數(shù)（式 5）可表達(dá)為 y = (1? NORMDIST(LN(x), ,TRUE)*(A-D)+D ，其中 x 為相應(yīng)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的藥品稀釋倍數(shù)，獲得如圖 4 擬合細(xì)胞因子活性測(cè)定的累積正態(tài)分布曲線(xiàn)。在圖 4 中，四參數(shù)方程曲線(xiàn)（式 1）參數(shù)取值為 A = 0.8，D = 0.1，C = 0.01，B = -1

9、.4，此時(shí)的中點(diǎn)稀釋倍數(shù)為 6.6439( 稀釋倍數(shù)為 2)；以累積正態(tài)分布曲線(xiàn)（式 5）對(duì)之?dāng)M合得參數(shù)值為 A = 0.7938，D = 0.1066， = 6.6420， = 1.6846 時(shí)，兩曲線(xiàn)基本重合（12 等距點(diǎn)殘差平方和為9.4E-05），并且具有相同生理學(xué)含義的參數(shù)值也基本相等。 1.3 擬合處理： 以作者實(shí)驗(yàn)室中的部分細(xì)胞因子類(lèi)生物藥品的活性測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別用四參數(shù)方程（式 1）與累積正態(tài)分布（式 5）兩種擬合函數(shù)模型，采用 MS-EXCEL 軟件按最小二乘法原理以前述方法進(jìn)行擬合，獲得各樣品測(cè)試的擬合參數(shù)結(jié)果。 1.4 擬合效果比較： 殘差平方和的最小值是評(píng)價(jià)擬合好壞的

10、直接指標(biāo)。從實(shí)際應(yīng)用考慮，如上述兩種擬合方法無(wú)差別，則獲得的具有相同生理含義的相應(yīng)擬合參數(shù)應(yīng)相等，將多個(gè)樣品測(cè)試結(jié)果的相應(yīng)擬合參數(shù)成對(duì)作圖應(yīng)為一直線(xiàn)，以直線(xiàn)方程擬合，則有截距為 0、斜率為 1、相關(guān)系數(shù)為 1 的理論期望。因此，以四參數(shù)方程擬合的相應(yīng)參數(shù)值為橫座標(biāo)，以累積正態(tài)分布擬合的相應(yīng)參數(shù)值為縱座標(biāo)，對(duì)相應(yīng)的擬合參數(shù)結(jié)果作擬合效果一致性分析。 1.5 結(jié)果： 1.5.1 對(duì) 139 例 G-CSF 活性測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，兩擬合方法獲得的具有相同生理含義的相應(yīng)擬合參數(shù)及殘差平方和的最小值極為接近，因篇幅原因不能給出全部的數(shù)據(jù)。考慮到中點(diǎn)稀釋度是評(píng)價(jià)藥效的指標(biāo)，是最主要的參數(shù)，139 例數(shù)

11、據(jù)中的第 77 例樣品該指標(biāo)相對(duì)誤差最大，按倍比稀釋的 12 孔兩平行列原始測(cè)定數(shù)據(jù)為： 0.404、0.4、0.354、0.261、0.167、0.113、0.07、0.053、0.034、0.014、0.007、0 和 0.413、0.403、0.363、0.26、0.173、0.111、0.062、0.043、0.029、0.018、0.009、0；按（式 1）擬合所得的最大吸收 A 0.446954、最小吸收 D 0.011734、斜率因子 B -1.15479、中點(diǎn)濃度 C 0.045794 換算為中點(diǎn)稀釋度 4.448687、殘差平方和 0.00112，按（式 5）擬合所得的最大吸

12、收 A 0.437945、最小吸收 D 0.015487、方差 S 2.003633、均值 U 或中點(diǎn)稀釋度 4.495227、殘差平方和 0.001474。表 1 給出全部 139 例所得的各項(xiàng)可比較指標(biāo)，按上述一致性檢驗(yàn)方法的分析結(jié)果，均與理論期望非常接近。 1.5.2 對(duì) 47 例 IL-6 活性測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果見(jiàn)表 2，兩擬合方法同樣有很好的一致性。 2 討論： 2.1 用于描述藥物濃度與藥效學(xué)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，一般有線(xiàn)性、對(duì)數(shù)線(xiàn)性、雙曲線(xiàn)、S 曲線(xiàn)等 6、7、8。最常見(jiàn)的 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為（式 6），變換后可得（式 7）。 可以看出，當(dāng) E = y,c

13、= x, E = D, E = A ? D, EC = C, r = ?B 0 max 50 時(shí)，（式 7）則變?yōu)椋ㄊ?1），即兩個(gè)不同表達(dá)的數(shù)學(xué)模型是完全等價(jià)的。換言之，用于細(xì)胞因子活性測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，常見(jiàn)于現(xiàn)代酶標(biāo)儀內(nèi)置處理程序的四參數(shù)方程，等同用于藥效學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的 S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)方程。特別是當(dāng) 1, 0 max 0 E = E = （以藥效百分?jǐn)?shù)表達(dá)）時(shí)，則方程更為簡(jiǎn)捷。 2.2 在藥理學(xué)教科書(shū)中，還簡(jiǎn)單提及了質(zhì)反應(yīng)量效曲線(xiàn)如圖 5 與統(tǒng)計(jì)分布的關(guān)系，文獻(xiàn) 7 中也明確提及了質(zhì)反應(yīng)的“正態(tài)累積曲線(xiàn)”，但無(wú)進(jìn)一步的介紹。本文中的數(shù)據(jù)及分析顯示（式 3）與（式 1）的曲線(xiàn)極為相似，

14、從而采用累積正態(tài)分布擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；作者認(rèn)為量反應(yīng)與質(zhì)反應(yīng)的 S 型量效曲線(xiàn)均可能采用此法擬合，雖沒(méi)有從數(shù)學(xué)上證明（式 3）可完全替代（式 1），也因數(shù)據(jù)來(lái)源的局限沒(méi)有討論適用的范圍，但為擬合方程的選擇提出了另一種可能，是否可用（式 3）擬合其它情況下的 S 型量效曲線(xiàn)，應(yīng)視具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。 2.3 （式 6）中的 r 稱(chēng)為 Hill 系數(shù)，以及等價(jià)函數(shù)（式 1）中的參數(shù) B，一般認(rèn)為沒(méi)有任何生理學(xué)含義，只表示曲線(xiàn)的陡峭程度。如采用本文介紹的累積正態(tài)分布函數(shù)（式 3），對(duì) S 型劑量效應(yīng)曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，除相應(yīng)參數(shù)與（式1）、（式 6）中相應(yīng)參數(shù)同樣具有生理學(xué)含義外，特別是參數(shù) ，代表正態(tài)分布方

15、差，也就是測(cè)試藥物在實(shí)驗(yàn)個(gè)體上藥效分布的數(shù)學(xué)描述，具有明確的生理學(xué)含義。對(duì)照兩種擬合方法，有理由相信，上述表示曲線(xiàn)陡峭程度的參數(shù)其生理學(xué)含義，同樣是代表測(cè)試藥物在實(shí)驗(yàn)個(gè)體上的藥效分布，不同處在于它們并不能直接代表分布方差。 2.4 藥效學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用（式 3）擬合，則比用（式 6）或等價(jià)的（式 1）擬合可提供更多的有價(jià)值信息。如在細(xì)胞因子類(lèi)生物藥品的活性測(cè)定中，有可能通過(guò)有目的調(diào)整細(xì)胞培養(yǎng)條件，調(diào)整檢測(cè)細(xì)胞對(duì)細(xì)胞因子敏感性的分布方差，從而調(diào)整擬合曲線(xiàn)的陡峭程度，以獲得更好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在藥效學(xué)實(shí)驗(yàn)中，如果不同的性別、年齡分組，其擬合曲線(xiàn)的陡峭程度表現(xiàn)出不同，則暗示不同分組對(duì)藥物敏感性的分布方差不同。而且可借鑒統(tǒng)計(jì)學(xué)中正態(tài)分布及方差的知識(shí)，幫助設(shè)計(jì)最佳推薦用藥劑量。 2.5 更進(jìn)一步，傳統(tǒng)的擬合模型，如稱(chēng)為 Hill 經(jīng)驗(yàn)公式或 Wagner 公式的（式 6），是一種經(jīng)驗(yàn)公式，由大量的實(shí)驗(yàn)觀(guān)察得來(lái)，與藥物的藥理無(wú)直接關(guān)系。從藥理學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)講，藥物在生物體內(nèi)所產(chǎn)生的藥效會(huì)受到多種因素的影響，這些影響是相互的并且大多數(shù)是微弱而難于精確分析的，適用于用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法加以描述分析；而統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為當(dāng)多種影響因素中沒(méi)有起主要作用的因素時(shí)，會(huì)導(dǎo)致藥效呈正態(tài)分布，因此，可認(rèn)為按累積正態(tài)分布函數(shù)（式 3）擬合是符合理論推導(dǎo)的擬合模型。同時(shí)也提示我們，如果藥效學(xué)資料用（式 1）、（式 6