大學(xué)物理：第5章 振動(dòng)和波動(dòng)

1、12 振動(dòng)依機(jī)理不同區(qū)分為機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)，振動(dòng)依機(jī)理不同區(qū)分為機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)，但描述和研究方法相同。本章通過討論機(jī)械振動(dòng)認(rèn)但描述和研究方法相同。本章通過討論機(jī)械振動(dòng)認(rèn)識(shí)其共性。識(shí)其共性。 振動(dòng)類型：自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)振動(dòng)類型：自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)狹義的振動(dòng)：狹義的振動(dòng)：指物體在其平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。指物體在其平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。廣義的振動(dòng)：廣義的振動(dòng)：指任一物理量指任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。數(shù)值附近反復(fù)變化。 振動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)形式，自然界中普遍存在。振動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)形式，自然界中普遍存在。5.1 5

2、.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)彈簧振子彈簧振子35.1.1 5.1.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)是理想化模型簡(jiǎn)諧振動(dòng)是理想化模型,許多實(shí)際的小振幅振動(dòng)許多實(shí)際的小振幅振動(dòng)都可看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)。都可看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)。例例. 雙原子分子雙原子分子 兩個(gè)原子之間的振動(dòng)。兩個(gè)原子之間的振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本最簡(jiǎn)單、最基本的振的振動(dòng)，可用來研究復(fù)雜的振動(dòng)。動(dòng)，可用來研究復(fù)雜的振動(dòng)。x0EPxx0omxA簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件：1、在平衡位置附近來回振動(dòng)。、在平衡位置附近來回振動(dòng)。2、受回復(fù)力作用。、受回復(fù)力作用。4彈簧質(zhì)量不計(jì)彈簧質(zhì)量不計(jì),不計(jì)摩擦。不計(jì)摩擦。xo彈F Fx x1.

3、 1. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù) 以彈簧振子為例：以彈簧振子為例：建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系，o點(diǎn)選在彈簧平衡位置處。點(diǎn)選在彈簧平衡位置處?；貜?fù)力回復(fù)力x xF Fk彈kxdtxdmmaF22220dxmkxdt一維振動(dòng)一維振動(dòng)令令mk20222xdtxd簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程5)cos(tAx其中其中A為振幅，為振幅，為圓頻率，為圓頻率，為初相位。為初相位。k m圓頻率圓頻率只與彈簧振子性質(zhì)有關(guān)。只與彈簧振子性質(zhì)有關(guān)。解微分方程得解微分方程得簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程定義：定義：凡是決定其位置的坐標(biāo)按余弦或正弦函數(shù)凡是決定其位置的坐標(biāo)按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化

4、的振動(dòng)都是規(guī)律隨時(shí)間變化的振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)：1. .判斷合外力與物體離開平衡位置的位移是否成判斷合外力與物體離開平衡位置的位移是否成F=-kxF=-kx的形式。的形式。2. .判斷位移與時(shí)間是否滿足微分方程：判斷位移與時(shí)間是否滿足微分方程：2220d xxdt3.3.根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)是否滿足方程：根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)是否滿足方程：cos()xAt6單擺單擺220dgdtl在角位移很小的時(shí)候，單擺的在角位移很小的時(shí)候，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。角頻率振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。角頻率,振動(dòng)振動(dòng)的周期分別為：的周期分別為：glTlg 22 結(jié)論gmfsin當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) sinmgdt

5、dml 22簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例72. 2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量由系統(tǒng)本身固有情況決定由系統(tǒng)本身固有情況決定( 彈性彈性, 慣性慣性 )(2)(2)角（圓）頻率角（圓）頻率 A 由初始條件（振動(dòng)能量）決定。由初始條件（振動(dòng)能量）決定。21T22T2T)cos(tAx單位：?jiǎn)挝唬簉ad/s單位：?jiǎn)挝唬篐zx x位移位移 振動(dòng)物體振動(dòng)物體離開平衡位置的位移。離開平衡位置的位移。三個(gè)特征量：三個(gè)特征量：(1)(1)振幅振幅A物體物體離開平衡位置的最大距離。離開平衡位置的最大距離。8 Av)tsin(Adtdxvm 2222 Aa)tcos(Adtxdam xa2 可見，有：可見

6、，有：)tcos(Ax 加速度與位移成正比而反向加速度與位移成正比而反向(3)(3)初相初相 由初始條件決定由初始條件決定, 初位相確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)初始時(shí)刻的初位相確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 (t)= t+ 位相位相 物體在任一時(shí)刻的位相。物體在任一時(shí)刻的位相。它確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。它確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。t=0t=0時(shí)物體的位相時(shí)物體的位相3. 3. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度9簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的 x-t,v-t,a-t圖圖注注意意三三者者相相位位的的關(guān)關(guān)系系)cos(tAx22cos()cos()aAtAt xa234o,xav,tAA

7、A2vsin()cos(/2)vAtAt 10000cossintxAvA 時(shí)，22002vAx00vtgx 3.3.振幅與初相的確定振幅與初相的確定初始條件：初始條件：0t00,vvxx)cos(tAxA、由初始條件（由初始條件（何時(shí)開始計(jì)時(shí)何時(shí)開始計(jì)時(shí)）決定。）決定。)cos(tAx 由由)sin(tAv解得：解得： 在在002 2 之間有兩個(gè)解，但只有一個(gè)解符合要求，之間有兩個(gè)解，但只有一個(gè)解符合要求，為此要根據(jù)已知的為此要根據(jù)已知的x x0 0、v v0 0的正負(fù)來判斷和取舍。的正負(fù)來判斷和取舍。11例題例題 在一輕彈簧下端懸掛在一輕彈簧下端懸掛m0=100克砝碼時(shí)，克砝碼時(shí)，彈簧伸彈

8、簧伸長(zhǎng)長(zhǎng)8厘米，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛厘米，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛m=250克的物體。將物克的物體。將物體從平衡位置向下拉動(dòng)體從平衡位置向下拉動(dòng)4厘米并給予向上的厘米并給予向上的21厘米厘米/秒的秒的初速度。選初速度。選X軸向下，求振動(dòng)的表達(dá)式。軸向下，求振動(dòng)的表達(dá)式。mNlgmk/08. 08 . 91 . 00 解：sradmk/0 . 725. 008. 08 . 91 . 0smvmx/21. 004. 000mvxA05. 0/22020100370.64vtgradx 0.05cos(70.64)(SI)xt00,sin0,v取正值.12xoxytM t=0, ,矢量與坐標(biāo)軸的夾角等矢量與

9、坐標(biāo)軸的夾角等于初相于初相P5.1.2 5.1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法矢量矢量 以角速度以角速度 逆時(shí)針作勻逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速圓周運(yùn)動(dòng)，A 在平面上作一坐標(biāo)軸在平面上作一坐標(biāo)軸Ox，由原點(diǎn)由原點(diǎn)O作一長(zhǎng)度等于振幅作一長(zhǎng)度等于振幅的矢量的矢量 。AA (1)解析法解析法振動(dòng)的表示法振動(dòng)的表示法 (2)振動(dòng)曲線法振動(dòng)曲線法 (3) 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法)tcos(Ax 133. . M 點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度2Aaxoxy0MMtAPa在在x軸上投影加速度軸上投影加速度)cos(2tAa2A利用旋轉(zhuǎn)矢量法還可以很容易確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初位相。利用旋轉(zhuǎn)矢量法還可以很容易確定簡(jiǎn)諧

10、振動(dòng)的初位相。 這種以一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的矢量這種以一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的矢量 ，在，在oxox軸上的投影軸上的投影來表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法，稱為來表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法，稱為旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法。A1. . M 點(diǎn)在點(diǎn)在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng))cos(tAx為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2. . M 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度)sin(tAv在在x軸上投影速度軸上投影速度Av 研究端點(diǎn)研究端點(diǎn) M 在在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，Av14oxyA0 x0v0 x0 x0 x0v0v0a0a0a0a0v旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相。旋轉(zhuǎn)矢量法確定初位相。0, 0 vx0, 0 vx0, 0 vx0, 0

11、 vx在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限oxyA0t2/0Ax 00v3315幾種特特殊位置初位相。幾種特特殊位置初位相。oxyA0t00Ax000voxyA00 x00v22oxyAoxyAAx000v00 x00v2/32316 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程在簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程x=Acos(x=Acos(t+) )中，中， ( (t+) )叫做振子在叫做振子在t時(shí)刻的位相。在旋轉(zhuǎn)矢量中，它還有一時(shí)刻的位相。在旋轉(zhuǎn)矢量中，它還有一個(gè)直觀的意義：個(gè)直觀的意義：在在t t時(shí)刻振幅矢量和時(shí)刻振幅矢量和x x軸的夾角。軸的夾角。 對(duì)一個(gè)確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來說，一定的相就對(duì)應(yīng)于振動(dòng)對(duì)一個(gè)

12、確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來說，一定的相就對(duì)應(yīng)于振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即一定時(shí)刻的位置和速度。質(zhì)點(diǎn)一定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即一定時(shí)刻的位置和速度。在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，常用相來表示質(zhì)點(diǎn)的某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，常用相來表示質(zhì)點(diǎn)的某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 相的概念在比較兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的步調(diào)時(shí)相的概念在比較兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的步調(diào)時(shí)特別有用：特別有用：1212)()(tt兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差：兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差：如：當(dāng)用余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，如：當(dāng)用余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)， t t+ + = 0= 0即位即位相為零的狀態(tài)表示質(zhì)點(diǎn)在正位移最大處而速度為零，相為零的狀態(tài)表示質(zhì)點(diǎn)在正位移最大處而速度為零

13、， t t+ + = = 表示質(zhì)點(diǎn)在負(fù)位移最大處而速度為零。表示質(zhì)點(diǎn)在負(fù)位移最大處而速度為零。 17A諧振動(dòng)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量t+T振幅振幅初相初相位相位相圓頻率圓頻率諧振動(dòng)周期諧振動(dòng)周期半徑半徑初始角坐標(biāo)初始角坐標(biāo)角坐標(biāo)角坐標(biāo)角速度角速度園周運(yùn)動(dòng)周期園周運(yùn)動(dòng)周期物理模型與數(shù)學(xué)模型比較：物理模型與數(shù)學(xué)模型比較：21 0 2超前超前 10 2落后落后 1=2n 同相同相=（2n 1） 反相反相18例例1.1.一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12mA=0.12m，周期，周期T=2sT=2s，當(dāng)當(dāng)t=0t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移x x

14、0 0=0.06m=0.06m，此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向向x x軸正向運(yùn)動(dòng)。求（軸正向運(yùn)動(dòng)。求（1 1）此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；（）此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式；（2 2）從初始時(shí)刻開始第一次通過平衡位置的時(shí)刻。從初始時(shí)刻開始第一次通過平衡位置的時(shí)刻。解：解：)(12. 0mA)/(2sradT3)cos(tAx取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，oxyA3由旋轉(zhuǎn)矢量法可得：由旋轉(zhuǎn)矢量法可得：)(3cos(12. 0SItx（2 2）由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，質(zhì)點(diǎn)第一次通過平衡位置）由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，質(zhì)點(diǎn)第一次通過平衡位置時(shí)，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：時(shí)，振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為：設(shè)設(shè)65)3(2)(83. 0st

15、 19例例2.2.一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A A點(diǎn)點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t=0t=0），經(jīng)過），經(jīng)過2s2s后第一次經(jīng)過后第一次經(jīng)過B B點(diǎn)，再經(jīng)過點(diǎn)，再經(jīng)過2s2s后后第二次經(jīng)過第二次經(jīng)過B B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A A、B B兩點(diǎn)具有相同的速率，且兩點(diǎn)具有相同的速率，且AB=10cmAB=10cm。求。求（1 1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)(2)質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在A A點(diǎn)處的速率。點(diǎn)處的速率。解：解： （1 1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖和）由旋轉(zhuǎn)矢量圖和v vA A=v=vB B可知，可知，由此兩

16、式解得：由此兩式解得：1tg,42sT),(8 sT 42T0tcos050A.x2t)2cos(05. 0AxsinA),(205. 0mA 因?yàn)橐驗(yàn)锳 A點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)速度大于零，點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)速度大于零，43振動(dòng)方程：振動(dòng)方程：)(434cos(205. 0mtxAst2st40toxAB20A A點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，4/ )434cos(205. 0tv（2 2）質(zhì)點(diǎn)在）質(zhì)點(diǎn)在A A點(diǎn)處的速率點(diǎn)處的速率（t=0t=0）)/(04. 0smv例例3.3.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T T。求：當(dāng)它由平衡位置向。求：當(dāng)它由平衡位置向x x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移

17、處到最大位移處這段軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間。路程所需要的時(shí)間。解：解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向x x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處從二分之一最大位移處到最大位移處時(shí)，轉(zhuǎn)過的角度為：時(shí)，轉(zhuǎn)過的角度為：oxyA33)3(0所需的時(shí)間為：所需的時(shí)間為：622TTTt215.1.3 5.1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量221mvEk 221kxEp m/k)tsin(Av)tcos(Ax 2 與與及及考考慮慮到到)(cos21)(sin212222tkAEtkAEpk221kAE

18、EE:pk 彈彈簧簧振振子子的的總總機(jī)機(jī)械械能能為為因因此此，幅幅的的平平方方成成正正比比。簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的總總能能量量和和振振）（其其機(jī)機(jī)械械能能守守恒恒。）作作簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的物物體體，（結(jié)結(jié)論論：21我們以彈簧振子為例來討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量問題。我們以彈簧振子為例來討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量問題。設(shè)振動(dòng)物體在任一時(shí)刻設(shè)振動(dòng)物體在任一時(shí)刻t 的位移為的位移為x ，速度為，速度為v ，于是，于是它所具有的動(dòng)能它所具有的動(dòng)能Ek 和勢(shì)能和勢(shì)能Ep 分別為分別為22otkEpEE動(dòng)能的時(shí)間平均值動(dòng)能的時(shí)間平均值:TkdttkATE022)(sin211241kA勢(shì)能的時(shí)間平均值勢(shì)能的時(shí)間平均值:T

19、PdttkATE022)(cos211241kA彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等，彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能的平均值相等，且等于總機(jī)械能的一半。且等于總機(jī)械能的一半。23例：例：一輕彈簧倔強(qiáng)系數(shù)為一輕彈簧倔強(qiáng)系數(shù)為k，下端懸掛一靜止的，下端懸掛一靜止的質(zhì)量質(zhì)量為為m的盤子。現(xiàn)有一質(zhì)量為的盤子?，F(xiàn)有一質(zhì)量為M的物體從離盤的物體從離盤h高度處高度處由靜止落下并與盤粘在一起，使盤上下振動(dòng)。（由靜止落下并與盤粘在一起，使盤上下振動(dòng)。（1）求振幅求振幅A；（2 2）當(dāng)）當(dāng) x x 值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半？能量的一半？ （3 3）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到此位置所）質(zhì)點(diǎn)從平衡位

20、置移動(dòng)到此位置所需最短時(shí)間為多少？需最短時(shí)間為多少？Xk/mgk/Mg取取M、m一起振動(dòng)的平衡位置一起振動(dòng)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn):總能量總能量22020212121kAv )Mm(kx 解：解：動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒02v )Mm(ghM kMgx 0k)Mm(ghM)kMg(A 22224（2）勢(shì)能勢(shì)能總能總能由題意，由題意，最短時(shí)間為最短時(shí)間為 T / 8。,/kxEp22 22/kAE ,/kA/kx4222 2/Ax 2Ax kMmt 4281 Mmk （3）從平衡位置運(yùn)動(dòng)到）從平衡位置運(yùn)動(dòng)到255.2.1 5.2.1 同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成)cos()cos(

21、222111tAxtAx)cos(tAx合成仍為合成仍為仍然是同頻率仍然是同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)xxx1x2 12 2A1AA)cos(AAAAA122122212 22112211 cosAcosAsinAsinAtan 1. 1. 同方向、同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向、同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成21xxx合振動(dòng)的位移：合振動(dòng)的位移：26討論一：討論一：,2, 1,0212kk21AAA合振幅最大。稱為合振幅最大。稱為干涉相長(zhǎng)干涉相長(zhǎng)2AA1A討論二：討論二：稱為干涉相消。稱為干涉相消。2AA1A1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情況：一般情

22、況：A1=A2 時(shí)，時(shí)， A=0同相同相反相反相|21AAA27例題例題 三個(gè)諧振動(dòng)方程分別為三個(gè)諧振動(dòng)方程分別為)tcos(Ax6113 )2cos(1tAx)tcos(Ax672 畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。并在同一畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。并在同一 x-t 坐標(biāo)上畫出坐標(biāo)上畫出振動(dòng)曲線。寫出合振動(dòng)方程。振動(dòng)曲線。寫出合振動(dòng)方程。3x2x1x合振動(dòng)方程合振動(dòng)方程 x=03x2x1x28)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx)cos()cos()(21tAtAtx合成振動(dòng)表達(dá)式合成振動(dòng)表達(dá)式： 為了簡(jiǎn)單起見，討論兩個(gè)振幅相同，初相位也為了簡(jiǎn)單起見，討論兩個(gè)振幅相同，初相位也相同，在同方向

23、上以不同頻率振動(dòng)的合成。其振相同，在同方向上以不同頻率振動(dòng)的合成。其振動(dòng)表達(dá)式分別為：動(dòng)表達(dá)式分別為：2)(cos2)(cos21212ttA2. 2. 同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成隨隨t變化緩慢變化緩慢隨隨t變化較快變化較快2921與當(dāng)當(dāng) 都很大，且相差甚微時(shí)，可將都很大，且相差甚微時(shí)，可將 視為振幅變化部分，合成振動(dòng)是以視為振幅變化部分，合成振動(dòng)是以 為角頻率為角頻率的近似諧振動(dòng)。的近似諧振動(dòng)。2/ )(1221()|2 cos|2tA這種振動(dòng)的振幅也是周期性變化的，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱。這種振動(dòng)的振幅也是周期性變化的，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱。 由于振幅是周期性變化的

24、，所以合振動(dòng)不再是由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍拍。振幅振幅tAtA2cos2)(1230播放動(dòng)畫播放動(dòng)畫1. .振幅是周期變化的，振幅是周期變化的，,21振幅振幅A（t）隨時(shí)間）隨時(shí)間t緩慢緩慢地變化地變化-“拍拍”現(xiàn)象，現(xiàn)象，最大值為最大值為 2A。2. .合振幅變化頻率合振幅變化頻率-“-“拍頻拍頻”。221很小，很小，單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻拍頻|21vvv 拍拍31tx1 2=6tx2 1=7 = 1 - 2 拍頻拍頻tx（可測(cè)頻，或得到更低頻的振動(dòng)）（

25、可測(cè)頻，或得到更低頻的振動(dòng)）325.2.2 5.2.2 相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1. 1. 同頻率同頻率)(cos)(cos2211 tAytAx)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx將兩式聯(lián)立，消去將兩式聯(lián)立，消去t,可得可得 )sin(cossinsin)sin(sincoscos121221121221 tAyAxtAyAx再將上兩式平方后相加即可得再將上兩式平方后相加即可得33)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx1 1） 合振動(dòng)為合振動(dòng)為線線振動(dòng)。振動(dòng)。, 012 2 2） 合振動(dòng)為合振動(dòng)為正橢圓正橢圓。21

26、2 3 3） 一般情況下，合振動(dòng)為一般情況下，合振動(dòng)為斜橢圓。斜橢圓。且當(dāng)且當(dāng) A1=A2 時(shí)時(shí),即為即為圓圓。344/yx13482567x12345687y12345678352/xy13482567x12345687y123456783637合成運(yùn)動(dòng)又具有合成運(yùn)動(dòng)又具有穩(wěn)定的封閉軌跡穩(wěn)定的封閉軌跡, ,稱為李薩如圖。稱為李薩如圖。例如例如. .)(cos)(cosyyyxxxtAytAx 右圖：右圖：23 yx yxAyAxo-Ax- Ay達(dá)達(dá)到到最最大大值值的的次次數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值的的次次數(shù)數(shù)yxyxyx 具體的圖形與具體的圖形與yx ,有關(guān)有關(guān), ,可以畫出可以畫出。應(yīng)用舉例

27、：應(yīng)用舉例：測(cè)定未知頻率。測(cè)定未知頻率。當(dāng)兩個(gè)頻率有微小差別時(shí)當(dāng)兩個(gè)頻率有微小差別時(shí), ,位相在緩慢變化位相在緩慢變化, ,軌跡形狀也會(huì)緩慢變化軌跡形狀也會(huì)緩慢變化, ,不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。2. 2. 不同頻率不同頻率, ,但有簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)，但有簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)，380 x 412143yx :1:21:32:3李薩如圖的一些例子李薩如圖的一些例子xy;costAyyy 3:2: yxAA);cos(xxxtAx 39 5.3 5.3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振)cos(e00 tAxt稱為為衰減因子稱為為衰減因子t e1.1.欠阻尼欠阻尼（ 0 0）3.3.臨界阻尼（臨界阻尼（ =

28、 = 0 0 ）為非周期振動(dòng)。為非周期振動(dòng)。剛能作非周期振動(dòng)，剛能作非周期振動(dòng)， 且回到平衡位置的時(shí)間最短。（電表設(shè)計(jì)）且回到平衡位置的時(shí)間最短。（電表設(shè)計(jì)）音叉、鋼琴弦音叉、鋼琴弦- Q 103例例. 無線電震蕩回路無線電震蕩回路-Q 102激光器光學(xué)諧振腔激光器光學(xué)諧振腔- Q 107425.3.2 5.3.2 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振若系統(tǒng)受彈性力若系統(tǒng)受彈性力, ,阻力外阻力外, ,還受周期性策動(dòng)力還受周期性策動(dòng)力0cosFFt其穩(wěn)定振動(dòng)解為：其穩(wěn)定振動(dòng)解為： tAxcos202ddcosddxxmkxFttt ,2m ,20mk 0Fhm43穩(wěn)定振動(dòng)穩(wěn)定振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)二者的疊

29、加二者的疊加例如，例如，44此此穩(wěn)定穩(wěn)定解與簡(jiǎn)諧振動(dòng)很相似解與簡(jiǎn)諧振動(dòng)很相似, ,但很不一樣但很不一樣: : 是策動(dòng)力的角頻率是策動(dòng)力的角頻率 與系統(tǒng)本身的性質(zhì)無關(guān)與系統(tǒng)本身的性質(zhì)無關(guān) ,A是是 ,0h的函數(shù)的函數(shù) 與初始條件與初始條件 x0, v0無關(guān)無關(guān) 振幅振幅 A A為最大值為最大值, ,這稱為這稱為共振現(xiàn)象。共振現(xiàn)象。 220212222202tan4cos hAtAx式式中中 tAxcos注意：注意：在弱阻尼（在弱阻尼（ ）情況下）情況下, , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 0 穩(wěn)定振動(dòng)穩(wěn)定振動(dòng)45共振時(shí)共振時(shí), ,振動(dòng)系統(tǒng)能最大限度地從外界獲得能量。振動(dòng)系統(tǒng)能最大限度地從外界獲得能量。因?yàn)榇?/p>

30、時(shí)因?yàn)榇藭r(shí)2tan 即策動(dòng)力與速度同相即策動(dòng)力與速度同相, ,策動(dòng)力總是作正功策動(dòng)力總是作正功, ,系統(tǒng)就能最大限度從外界獲得能量系統(tǒng)就能最大限度從外界獲得能量, ,振幅振幅可達(dá)最大值可達(dá)最大值。2202tan tHF cos )cos()2cos(tAtAtxv d dd d有有46我國(guó)四川綦江我國(guó)四川綦江彩虹橋彩虹橋的斷裂。的斷裂。 橋質(zhì)量太差橋質(zhì)量太差, 齊步跑。齊步跑。共振現(xiàn)象有利有弊。共振現(xiàn)象有利有弊。1940年美國(guó)華盛頓州年美國(guó)華盛頓州的塔科曼大橋在大風(fēng)的塔科曼大橋在大風(fēng)中產(chǎn)生共振中產(chǎn)生共振斷塌斷塌例如：例如： 收音機(jī)收音機(jī) 樂器樂器 核磁共振等。核磁共振等。47我國(guó)古代對(duì)我國(guó)古代

31、對(duì)“共振共振”早有認(rèn)識(shí)。早有認(rèn)識(shí)。公元五世紀(jì)公元五世紀(jì)天中記天中記： 玻璃球泡因玻璃球泡因聲共振而破裂聲共振而破裂張華曰：此盤與宮中鐘相諧，張華曰：此盤與宮中鐘相諧， 蜀人有銅盤，早、晚鳴蜀人有銅盤，早、晚鳴 如人扣。如人扣。問張華。問張華?？筛淖兤浔『??？筛淖兤浔『?。故聲相應(yīng)，故聲相應(yīng)，485.4 5.4 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波1.1. 振動(dòng)在空間的傳播過程叫做波動(dòng)。振動(dòng)在空間的傳播過程叫做波動(dòng)。2. 常見的波有兩大類常見的波有兩大類:近代物理發(fā)現(xiàn)，在微觀領(lǐng)域中還有近代物理發(fā)現(xiàn)，在微觀領(lǐng)域中還有物質(zhì)波。物質(zhì)波。3. 各種波的本質(zhì)不同各種波的本質(zhì)不同, , 但其基本傳播規(guī)律有許多相同之處。但其基

32、本傳播規(guī)律有許多相同之處。 (1) 機(jī)械波機(jī)械波 (機(jī)械振動(dòng)的傳播機(jī)械振動(dòng)的傳播)(2)(2)電磁波（交變電場(chǎng)、磁場(chǎng)的傳播）電磁波（交變電場(chǎng)、磁場(chǎng)的傳播）下面以機(jī)械波為例來介紹波的一些物理概念，討論下面以機(jī)械波為例來介紹波的一些物理概念，討論波動(dòng)的現(xiàn)象和規(guī)律。波動(dòng)的現(xiàn)象和規(guī)律。49 波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質(zhì)點(diǎn)本身的傳播。質(zhì)點(diǎn)本身的傳播。 根據(jù)介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向與波的傳播方向間的關(guān)根據(jù)介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向與波的傳播方向間的關(guān)系，可以將機(jī)械波分為兩類：系，可以將機(jī)械波分為兩類：橫波橫波和和縱波縱波。2. 2. 波的分類波的分類 1. 1.

33、 產(chǎn)生機(jī)械產(chǎn)生機(jī)械波的產(chǎn)生波的產(chǎn)生產(chǎn)生波的條件產(chǎn)生波的條件存在存在彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)和和波源波源波源處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)通過彈性介質(zhì)中的彈性力，波源處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)通過彈性介質(zhì)中的彈性力，將振動(dòng)傳播開去，從而形成機(jī)械波。將振動(dòng)傳播開去，從而形成機(jī)械波。5.4.1 5.4.1 機(jī)械波的產(chǎn)生與描述機(jī)械波的產(chǎn)生與描述501 1）橫波）橫波 各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直的波。的傳播方向垂直的波。傳播方向傳播方向如繩波、如繩波、電磁波電磁波為橫波。為橫波。播放動(dòng)畫播放動(dòng)畫t= T/2 t= 3T/4 t = Tt = T/40481620 12 t = 051 各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)

34、方向與波的傳播方向平行的波。方向平行的波。傳播方向傳播方向播放動(dòng)畫播放動(dòng)畫縱波是靠介質(zhì)疏密部變化傳播的。縱波是靠介質(zhì)疏密部變化傳播的。如聲波，彈簧波為縱波。如聲波，彈簧波為縱波。 任一波例如，水波、地表波，都能分解為橫波任一波例如，水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進(jìn)行研究。與縱波來進(jìn)行研究。2 2）縱波）縱波 橫波和縱波只有振動(dòng)方向不同，波動(dòng)本質(zhì)是相同的，橫波和縱波只有振動(dòng)方向不同，波動(dòng)本質(zhì)是相同的，下面以橫波為例來討論。下面以橫波為例來討論。521、 波的傳播不是介質(zhì)質(zhì)元的傳播（質(zhì)元波的傳播不是介質(zhì)質(zhì)元的傳播（質(zhì)元只在各自只在各自的平衡位置附近振動(dòng)），傳播出去的僅是質(zhì)點(diǎn)的振的平衡位置附近

35、振動(dòng)），傳播出去的僅是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)（亦稱位相）。動(dòng)狀態(tài)（亦稱位相）。2 2 、“上游上游”的質(zhì)元依次帶動(dòng)的質(zhì)元依次帶動(dòng)“下游下游”的質(zhì)元振動(dòng)，的質(zhì)元振動(dòng)，某時(shí)刻質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻于某時(shí)刻質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)將在較晚時(shí)刻于“下游下游”某處某處出現(xiàn)。波動(dòng)中各質(zhì)元的振動(dòng)是受迫振動(dòng)，它們的振動(dòng)出現(xiàn)。波動(dòng)中各質(zhì)元的振動(dòng)是受迫振動(dòng)，它們的振動(dòng)頻率與波源的振動(dòng)頻率相同，與介質(zhì)無關(guān)。頻率與波源的振動(dòng)頻率相同，與介質(zhì)無關(guān)。3、同相位點(diǎn)同相位點(diǎn)-質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同。質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)相同。注意：注意：振動(dòng)是描寫一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)振動(dòng)是描寫一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)波動(dòng)是描寫一系列質(zhì)點(diǎn)作振動(dòng)波動(dòng)是描寫一系列質(zhì)點(diǎn)作振動(dòng)4 4、振動(dòng)與波動(dòng)

36、的區(qū)別、振動(dòng)與波動(dòng)的區(qū)別53橫軸橫軸x表示波的傳播方向，表示波的傳播方向，1 1）波形圖）波形圖yoxu坐標(biāo)坐標(biāo)x表示質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，表示質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，縱軸縱軸y表示質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向，表示質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向，坐標(biāo)坐標(biāo)y表示質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移。表示質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移。表示某一選定時(shí)刻波中各質(zhì)點(diǎn)位置的圖。表示某一選定時(shí)刻波中各質(zhì)點(diǎn)位置的圖。x y平面上一條曲線就表示某一時(shí)刻的波形圖。平面上一條曲線就表示某一時(shí)刻的波形圖。說明：說明：在橫波中波形圖與實(shí)際的波形是相同的，但在在橫波中波形圖與實(shí)際的波形是相同的，但在縱波中，由于波形圖表示的是各質(zhì)點(diǎn)位移的分布情況，縱波中，由于波形圖表示的是各質(zhì)點(diǎn)位移

37、的分布情況，而區(qū)別于質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際位置分布。而區(qū)別于質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際位置分布。3. 3. 波的幾何描述波的幾何描述 544.4.描述波特性的幾個(gè)物理量描述波特性的幾個(gè)物理量 1 1）周期）周期 T T ：傳播一個(gè)完整的波形傳播一個(gè)完整的波形所用的時(shí)間。所用的時(shí)間?；蛞粋€(gè)完整的波通過或一個(gè)完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間（與質(zhì)（與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)周期相同）點(diǎn)振動(dòng)周期相同）2 2）頻率）頻率 ：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)傳播完整波形的個(gè)數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)傳播完整波形的個(gè)數(shù)。（與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率相同）（與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率相同）3 3）波長(zhǎng)）波長(zhǎng) ：兩相鄰兩相鄰波峰波峰或或波谷波谷或或相位相同點(diǎn)間相位相同點(diǎn)間的的距離，

38、距離，或振動(dòng)在一個(gè)周期或振動(dòng)在一個(gè)周期中傳播的距離。中傳播的距離。yoxu注意注意：周期、頻率與介質(zhì)無關(guān)，與波源的相同。波在周期、頻率與介質(zhì)無關(guān)，與波源的相同。波在不同介質(zhì)中頻率不變。不同介質(zhì)中頻率不變。 554 4）波速）波速 u u波在介質(zhì)中的傳播速度。波在介質(zhì)中的傳播速度。單位時(shí)間某單位時(shí)間某種一定的振動(dòng)狀態(tài)種一定的振動(dòng)狀態(tài)(或振動(dòng)相位或振動(dòng)相位)所傳播的距離稱為所傳播的距離稱為波速波速u ，也稱之相速，也稱之相速 。 機(jī)械波的波速?zèng)Q定于介質(zhì)的慣性和彈性，因此，機(jī)械波的波速?zèng)Q定于介質(zhì)的慣性和彈性，因此，不同頻率的同一類波在同一介質(zhì)中波速相同。不同頻率的同一類波在同一介質(zhì)中波速相同。在各向

39、同性均勻固體中在各向同性均勻固體中橫波橫波縱波縱波/Gu/EuG 切變彈性模量切變彈性模量，E 楊氏模量，楊氏模量， 密度。密度。液體中液體中 縱波縱波/KuK 容變彈性模量。容變彈性模量。yoxu,1T5）T T、 、 、 u u 的關(guān)系的關(guān)系Tu56若波源若波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng), 在波傳到的區(qū)域在波傳到的區(qū)域, 媒質(zhì)中的質(zhì)媒質(zhì)中的質(zhì)元均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為簡(jiǎn)諧波元均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為簡(jiǎn)諧波。 人們用波函數(shù)描述波，人們用波函數(shù)描述波，波函數(shù)應(yīng)能描述波在空間任一波函數(shù)應(yīng)能描述波在空間任一點(diǎn)、點(diǎn)、 任一時(shí)刻的位移。任一時(shí)刻的位移。5.4.2 5.4.2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)( ,

40、)yf x t這個(gè)函數(shù)表達(dá)式也叫做波動(dòng)方程。這個(gè)函數(shù)表達(dá)式也叫做波動(dòng)方程。在波函數(shù)中，若在波函數(shù)中，若x固定了，得到什么方程？固定了，得到什么方程？哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程？哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程？振動(dòng)方程振動(dòng)方程在在x位置上的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程位置上的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程571）右行波的波函數(shù)）右行波的波函數(shù)已知已知O點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：)cos(0tAyXypuOxuxt/ P點(diǎn)的振動(dòng)比點(diǎn)的振動(dòng)比O O點(diǎn)點(diǎn)落后一段落后一段時(shí)間時(shí)間 t , ,相位落后相位落后 ，uxt 平面簡(jiǎn)諧波沿平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，波速為軸正向傳播，波速為u。P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的位移等于的位移等于O O點(diǎn)在點(diǎn)在

41、時(shí)的位移。時(shí)的位移。)(uxt P點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：cos0uxtA)(cos0uxtAy1. 1. 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)580cosuxtAy右行波的波函數(shù)右行波的波函數(shù)則波函數(shù)為：則波函數(shù)為：00cos()xxyAtu若告知的是位于若告知的是位于X X0 0處的振動(dòng)方程處的振動(dòng)方程00cos()xyAt并且向右傳播，并且向右傳播，下述幾式等價(jià)：下述幾式等價(jià)：2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)xut(2cosA) t , x(y0T/2Tu/259)(cos),(0uxtAtxyXypuOx即即p點(diǎn)的相位超前于點(diǎn)的相位超前于O點(diǎn)相

42、位：點(diǎn)相位：xux2 p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)傳到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)傳到 O 點(diǎn)需用時(shí)間：點(diǎn)需用時(shí)間： uxt p點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)振動(dòng)方程，也方程，也就是左行波的波函數(shù)：就是左行波的波函數(shù)：2）左行波的波函數(shù)）左行波的波函數(shù)已知已知O點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：)cos(0tAy604）若告知的是某平面簡(jiǎn)諧波在）若告知的是某平面簡(jiǎn)諧波在t=tt=t0 0時(shí)刻的波形圖，時(shí)刻的波形圖， 設(shè)原點(diǎn)設(shè)原點(diǎn)O O在該時(shí)刻的位相可由圖求出為在該時(shí)刻的位相可由圖求出為 0 0，則原點(diǎn)則原點(diǎn)O O的振動(dòng)方程為：的振動(dòng)方程為：),(0txfy oyxu)(cos00ttAy波函數(shù)為：波函數(shù)為：00cos()xyAttu此時(shí)波動(dòng)向此時(shí)波動(dòng)向O點(diǎn)左

43、右兩邊傳播，則波函數(shù)為：點(diǎn)左右兩邊傳播，則波函數(shù)為：3）O O點(diǎn)為波源時(shí)的波函數(shù)點(diǎn)為波源時(shí)的波函數(shù))|(cos),(0uxtAtxy)cos(0tAy波源的振動(dòng)方程為：波源的振動(dòng)方程為：611）振動(dòng)方程與波函數(shù)的區(qū)別）振動(dòng)方程與波函數(shù)的區(qū)別波函數(shù)是波程波函數(shù)是波程 x 和時(shí)間和時(shí)間 t 的的函數(shù)，描寫某一時(shí)刻任意位函數(shù)，描寫某一時(shí)刻任意位置處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移。置處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移。)(tfx),(txfy振動(dòng)方程是時(shí)間振動(dòng)方程是時(shí)間 t 的函數(shù)的函數(shù)oxtoyxuxtAycos)cos(tAx2）當(dāng)）當(dāng)dx（常數(shù)）時(shí)，（常數(shù)）時(shí)，)(tfy為距離原點(diǎn)為為距離原點(diǎn)為 d 處一點(diǎn)的振動(dòng)方程。處一點(diǎn)的振動(dòng)方

44、程。3）當(dāng)）當(dāng)ct（常數(shù)）時(shí)，（常數(shù)）時(shí)，)(xfy為某一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移，波形的為某一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移，波形的“拍照拍照”2. 2. 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義624）注意相速度（即波速）與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度的區(qū)別）注意相速度（即波速）與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度的區(qū)別 機(jī)械波的相速度由介質(zhì)本身的性質(zhì)決定，與波的機(jī)械波的相速度由介質(zhì)本身的性質(zhì)決定，與波的頻率、振幅無關(guān)；而質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度和振動(dòng)的頻率及頻率、振幅無關(guān)；而質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度和振動(dòng)的頻率及所研究的質(zhì)點(diǎn)的位置均有關(guān)。所研究的質(zhì)點(diǎn)的位置均有關(guān)。1、寫出某個(gè)已知點(diǎn)的振動(dòng)方程；、寫出某個(gè)已知點(diǎn)的振動(dòng)方程；2、以剛得到的已知點(diǎn)的振動(dòng)方程為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)、以剛

45、得到的已知點(diǎn)的振動(dòng)方程為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)波速的方向和大小寫出任一個(gè)點(diǎn)的振動(dòng)方程，即得波速的方向和大小寫出任一個(gè)點(diǎn)的振動(dòng)方程，即得到波動(dòng)方程。到波動(dòng)方程。 關(guān)于波動(dòng)方程的題型主要有兩種：（關(guān)于波動(dòng)方程的題型主要有兩種：（1 1）已知波函）已知波函數(shù)求各物理量；（數(shù)求各物理量；（2）已知各物理量求波函數(shù)。已知各物理量求波函數(shù)。波動(dòng)方程的求解步驟波動(dòng)方程的求解步驟0cosyAtt)cos(0tAy63（1）求）求u u、 、 ；（；（2）畫出）畫出 t =0和 t =T /8 時(shí)刻的波時(shí)刻的波形圖；（形圖；（3）距原點(diǎn)）距原點(diǎn) o 為為 100m 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式與振動(dòng)速度表達(dá)式。與

46、振動(dòng)速度表達(dá)式。 )SI( /)/xt(cos.)t ,x(y4200250210 250200Hzm解：解：0( , )cos2 ()xy x tAt 由由得：得：（1）由波函數(shù)可知，波沿著）由波函數(shù)可知，波沿著x負(fù)方向傳播負(fù)方向傳播45 10/um s 例例1: 一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為：一平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為：2(0,0)0.1cos42yA(2)t=0 時(shí)時(shí)64oyAy1 . 0m2001 . 0O)m(xA22)m(yux處比處比O處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相超前處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相超前波形向左傳播波形向左傳播m258/的距離的距離/8tT)m(x)m(yAOu65（3）100m處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)

47、表達(dá)式振動(dòng)速度表達(dá)式是振動(dòng)速度表達(dá)式是：)SI(4/5500sin50),100(ttv)SI(4/5500cos1 . 0),100(tty)SI( 4/)200/250(2cos1 . 0),(xttxy66例例2：如圖所示，平面簡(jiǎn)諧波向右移動(dòng)速度如圖所示，平面簡(jiǎn)諧波向右移動(dòng)速度 u = =0.08 m/s，求：，求：. .原點(diǎn)處的振動(dòng)方程；原點(diǎn)處的振動(dòng)方程；. .波函數(shù)；波函數(shù)；. . P 點(diǎn)的振動(dòng)方程；點(diǎn)的振動(dòng)方程；. . a、b 兩點(diǎn)振動(dòng)方向。兩點(diǎn)振動(dòng)方向。解：解：. .原點(diǎn)原點(diǎn)m4 . 02 . 02/5TusT/2)cos(tAy5/2oyxuabPm2 .0m04.0t = 0

48、 時(shí)時(shí)，o點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)向點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)向 y 軸負(fù)向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 2/原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：252cos04.0tyoy67. . oytuabPm2 .0m04.0P 點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程Pxm4 .0208.04 .052cos04.0ty2552cos04. 0t. . a、b 振動(dòng)方向，作出振動(dòng)方向，作出t 后的波形圖。后的波形圖。. .波函數(shù)波函數(shù)208.052cos04.0 xty252cos04.0ty68例例3：如圖如圖, ,是一平面簡(jiǎn)諧波在是一平面簡(jiǎn)諧波在t=2t=2秒時(shí)的波形圖，由秒時(shí)的波形圖，由圖中所給的數(shù)據(jù)求：圖中所給的數(shù)據(jù)求：（1 1）該波的周期；（）該

49、波的周期；（2 2）傳播）傳播介質(zhì)介質(zhì)O O點(diǎn)處的振動(dòng)方程；（點(diǎn)處的振動(dòng)方程；（3 3）該波的波動(dòng)方程。）該波的波動(dòng)方程。20.02cos (2)3yt解解：32oy3其振動(dòng)方程為：其振動(dòng)方程為：20.02cos (2)103xyt波動(dòng)方程：波動(dòng)方程：X=5(m)X=5(m)處，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，處，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，2 1 1）利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出）利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出O O點(diǎn)的位相為：點(diǎn)的位相為：o)(cmy)(mxsmu/101-2569o)(cmy)(mxsmu/101-25720.02cos(2)33yt（2 2）O O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：32)10(37cos02. 0 x

50、ty（3 3）波動(dòng)方程：）波動(dòng)方程：)(762sT232)1050(3770處的處的p點(diǎn)振動(dòng)曲線如圖。求：點(diǎn)振動(dòng)曲線如圖。求：O點(diǎn)（點(diǎn)（x=0)的振動(dòng)表達(dá)的振動(dòng)表達(dá)式和波函數(shù)。式和波函數(shù)。)m(y05. 0O1)(st解：解：設(shè)設(shè))tcos(A)t ,(y 1s/radT, sT,m.A 220500)0 , 1(, 0)0 , 1(vy2 )()2cos(05. 0), 1(mtty處質(zhì)點(diǎn)超前處質(zhì)點(diǎn)超前處質(zhì)點(diǎn)位相比處質(zhì)點(diǎn)位相比而而PO,muT)(61 23xx=-1的振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式表達(dá)式解法解法1：例例4: 一平面波沿一平面波沿x方向傳播，方向傳播，u=3m/s,若若x=1m71)m()t

51、(.)tcos(A)t ,(y65050320 )m()xt(cos.)t ,x(y)( 6530502 )m()tcos(.)t ,(y20501 由由)m()xt (cos.)m()uxt (cos.)t ,x( y 65305021050 有：有：)m()tcos(.)t ,(y 650500 解法解法2：72波動(dòng)的過程實(shí)際是能量傳遞的過程。由波動(dòng)引起的波動(dòng)的過程實(shí)際是能量傳遞的過程。由波動(dòng)引起的介質(zhì)的能量，稱為波的能量。介質(zhì)的能量，稱為波的能量。1. 1. 波動(dòng)的能量波動(dòng)的能量 彈性介質(zhì)中取一體積元彈性介質(zhì)中取一體積元 dV，波，波的傳播的傳播速度為速度為u，質(zhì)量，質(zhì)量 以一列簡(jiǎn)諧波在

52、密度為以一列簡(jiǎn)諧波在密度為 的介質(zhì)中傳播的介質(zhì)中傳播為例來討論為例來討論有關(guān)波動(dòng)的能量問題。有關(guān)波動(dòng)的能量問題。dVu設(shè)波函數(shù)設(shè)波函數(shù))/(cosuxtAydVdm1 1）波動(dòng)的動(dòng)能）波動(dòng)的動(dòng)能5.4.3 5.4.3 波的能量波的能量質(zhì)元振動(dòng)速度：質(zhì)元振動(dòng)速度：tyv)/(sinuxtA73動(dòng)能動(dòng)能2 21vdmdEk)/(sin)(21222uxtAdV由于介質(zhì)發(fā)生形變而具有勢(shì)能。由于介質(zhì)發(fā)生形變而具有勢(shì)能。勢(shì)能勢(shì)能)/(sin)(21222uxtAdVdEPEk、EP同時(shí)達(dá)到最大同時(shí)達(dá)到最大同時(shí)達(dá)到最小同時(shí)達(dá)到最小平衡位置處平衡位置處最大位移處最大位移處2 2）波動(dòng)的勢(shì)能）波動(dòng)的勢(shì)能可以證

53、明體元內(nèi)具有的勢(shì)能與動(dòng)能在任意時(shí)刻具有相可以證明體元內(nèi)具有的勢(shì)能與動(dòng)能在任意時(shí)刻具有相同數(shù)值：同數(shù)值：74)/(sin)(222uxtAdVPkdEdEdE在在 孤立振動(dòng)系統(tǒng)中，孤立振動(dòng)系統(tǒng)中，Ek、EP相互交換，系統(tǒng)總機(jī)相互交換，系統(tǒng)總機(jī)械能守恒。械能守恒。而對(duì)于波動(dòng)來說，由于媒質(zhì)中各部分由彈性力彼此而對(duì)于波動(dòng)來說，由于媒質(zhì)中各部分由彈性力彼此相聯(lián)，使得振動(dòng)在其中傳播。任一質(zhì)元總機(jī)械能隨相聯(lián)，使得振動(dòng)在其中傳播。任一質(zhì)元總機(jī)械能隨時(shí)間周期性的變化，時(shí)間周期性的變化，波動(dòng)能量中波動(dòng)能量中Ek、EP同時(shí)達(dá)到最同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)為零，總能量隨時(shí)間周期變化。系統(tǒng)總機(jī)大，同時(shí)為零，總能量隨時(shí)間周期變化

54、。系統(tǒng)總機(jī)械能不守恒。械能不守恒。波動(dòng)的能量與振動(dòng)能量的區(qū)別：波動(dòng)的能量與振動(dòng)能量的區(qū)別：3 3）波動(dòng)的能量）波動(dòng)的能量75)/(sin222uxtAdVdEw平均能量密度：平均能量密度：能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值dtuxtATwT)(sin12202 2221A能量密度隨時(shí)間周期性變化，其周期為波動(dòng)周期的能量密度隨時(shí)間周期性變化，其周期為波動(dòng)周期的一半。一半。 T平均能量密度與振幅平方、頻率平方和質(zhì)量密度均平均能量密度與振幅平方、頻率平方和質(zhì)量密度均成正比。成正比。2. 2. 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度能量密度：能量密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的總能量單位體積內(nèi)的總能量76單位單位:

55、 :W/m2uSuxuwSPI2221 uAI 單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向的單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能量單位面積的平均能量, ,稱為稱為平均能流密度平均能流密度, ,又稱為又稱為 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度 I 。單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一截面的能量單位時(shí)間內(nèi)垂直通過某一截面的能量稱為波通過該截稱為波通過該截面的能流。面的能流。EPuS wt 在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流PwSuP單位單位: :W，J/s77例題例題 一平面簡(jiǎn)諧波，波速為一平面簡(jiǎn)諧波，波速為 340ms1，頻率為，頻率為 300Hz在橫截面積在橫截面積為 3.00 1

56、02m2的管內(nèi)的空氣中傳播，若的管內(nèi)的空氣中傳播，若在在10秒內(nèi)通過截面的能量為秒內(nèi)通過截面的能量為 2.70 102J，求：，求：（1）通過截面的平均能流；）通過截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。解：解：t/EP)( 1S/PI )( 2 1310702 sJ. 21210009 msJ.uwI )( 3 3410562 mJ.u/Iw 5.5聲波聲波 超聲波超聲波 次聲波（略）次聲波（略）785.6.1 5.6.1 波的疊加原理波的疊加原理2波的傳播獨(dú)立性波的傳播獨(dú)立性 幾列波相遇之后，幾列波相遇之后， 仍然保持它們?nèi)匀?/p>

57、保持它們各自原有的特征（頻各自原有的特征（頻、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒有遇到過其他變，并按照原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒有遇到過其他波一樣波一樣.2波的疊加原理波的疊加原理在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和.5.6 波的疊加波的疊加795.6.2 5.6.2 惠更斯原理惠更斯原理1.1.波線、波面、波前波線、波面、波前波線波線（或波射線（或波射線)波的傳播方向稱之為波射線或波線。波的傳播方向稱之為波射線或波線。波面波面

58、（或相面、波陣面）（或相面、波陣面）某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面稱為波面某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面稱為波面。波前波前某時(shí)刻處在最前面的波面。某時(shí)刻處在最前面的波面。在各向同性均勻介質(zhì)在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂中，波線與波陣面垂直直.波面波線球面波球面波波線波面平面波平面波802. 2. 惠更斯原理惠更斯原理 常用惠更斯作圖法，它是基于惠更斯原理常用惠更斯作圖法，它是基于惠更斯原理 的一種方法。的一種方法?！懊劫|(zhì)中波傳到的各點(diǎn)媒質(zhì)中波傳到的各點(diǎn),都可看作開始發(fā)射都可看作開始發(fā)射子波子波(次級(jí)波次級(jí)波)的子波源的子波源(點(diǎn)波源點(diǎn)波源)，在以后的任一時(shí)刻在以后的任一時(shí)刻,

59、這些子波面的包絡(luò)面這些子波面的包絡(luò)面就是新的波前就是新的波前 ”。研究波的傳播方向：研究波的傳播方向：知道某時(shí)刻波前的位置，知道某時(shí)刻波前的位置， 能否知道下一時(shí)刻的波前位置？能否知道下一時(shí)刻的波前位置？若媒質(zhì)若媒質(zhì)均勻、各向同性均勻、各向同性 ,各子波都是各子波都是以波速以波速 u 向外擴(kuò)展的球面波向外擴(kuò)展的球面波。815.6.3 5.6.3 波的干涉波的干涉 穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質(zhì)中某些位置的振穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質(zhì)中某些位置的振幅幅始終最大始終最大，另一些位置振幅，另一些位置振幅始終最小始終最小，而其它位置，而其它位置振動(dòng)的強(qiáng)弱介乎二者之間，保持不變，振動(dòng)的強(qiáng)弱介乎二者之間，

60、保持不變，稱這種穩(wěn)定的稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為疊加圖樣為干涉干涉現(xiàn)象現(xiàn)象。 相干條件：相干條件：1r2r1S2Sp滿足相干條件的波源滿足相干條件的波源稱為稱為相干波源相干波源。 具有恒定的相位差具有恒定的相位差兩波源的波振幅相近或兩波源的波振幅相近或相等時(shí)干涉現(xiàn)象明顯。相等時(shí)干涉現(xiàn)象明顯。 兩波源具有相同的頻率兩波源具有相同的頻率 兩波源振動(dòng)方向相同兩波源振動(dòng)方向相同82干涉加強(qiáng)、減弱條件干涉加強(qiáng)、減弱條件設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源 和和 ，1S2S其振動(dòng)表達(dá)式為：其振動(dòng)表達(dá)式為：)cos(11010tAy)cos(22020tAy1r2rP1S2S兩列波傳播到兩列波傳播到 P