微積分課件：6-2 偏導數(shù)

1、一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)三、小結(jié)三、小結(jié) 第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法),(00yxxz ，),(00yxxf ，),(00yxzx或或),(00yxfx. x0f(x,y)(a,b),f(ax,b)f(a,b)limx 例例: :若若在在處處的的偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在 則則xf (a,b) 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點內(nèi)任一點),(yx處對處對x的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)的函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(

2、yxfz 對對自變量自變量x的偏導數(shù)，的偏導數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量y的的偏偏導導數(shù)數(shù)，記記作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 1 1 求求 223yxyxz 在在點點)2 , 1(處處的

3、的偏偏導導數(shù)數(shù)解解法法1: xz;32yx yz.23yx )2, 1(xz,82312 )2, 1(yz.72213 解法解法2:2:)2, 1(xz 462 xx1)62( xx81 xz231yy 2)23( yy72 yz)2, 1(yz xxx2f(x,y)x(y1)arcsinf (x,1)yf(x,1)xf (x,1) 1例例 ：設設，求求解解：3( , , )(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)yzxyzf x y zxfff 例例 ：，求求 ( ,1,1), (1, ,1)1, (1,1, )1,f xxfyfz 解解0)1 , 1 , 1(, 0)1 , 1 ,

4、1(, 1)1 , 1 , 1( zyxfff0), 1 , 1 (, 0) 1 , 1 (, 1) 1 , 1 ,( zfyfxfzyx22 4x 2yzz4z(3xy ),xy 例例 ：求求)yx3ln()y2x4(22ez 解：解：32)24()3ln(2)3(22222422yxyyxyxyxyzyx 22(42 )ln(3)22(42 )ln(3)xyxyxzexyxyx 36)24()3ln(4)3(22222422yxxyxyxyxyx 冪指冪指函數(shù)求導函數(shù)求導偏導數(shù)記號是一個例例5:5:已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程求證求證: :1 pTTVVpTRVp 證證:,

5、VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp說明說明:( (R R為常數(shù)為常數(shù)) ,) , Vp2VTR TVpR pTRVVpTR 1不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號,說明：說明：在分界點處的偏導數(shù)要用定義求在分界點處的偏導數(shù)要用定義求(與與一元函數(shù)相同一元函數(shù)相同)；222222xyxy0 xy6f(x,y)000 xy0 例例 ：討討論論在在（， ）點點的的偏偏導導數(shù)數(shù)與與連連續(xù)續(xù)性性之之間間關關系系。222222xyxy0 xy6f(x,y)000 xy0 例例 ：討討論論在在（， ）點點的的偏偏導導數(shù)數(shù)與與連連續(xù)續(xù)性性之之間間關關系系。 xfxffxx)0 , 0()0

6、 ,(lim)0 , 0(0解：解：）偏導數(shù)存在）偏導數(shù)存在，在（在（ 00)y, x( f0 x00lim0 x yfyffyy)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00y00lim0y 不連續(xù)不連續(xù)在在不存在，不存在，)0 , 0()y, x( fyxxylim22)0,0()y ,x( 、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，4、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設設yxfzyxfyxM 如圖如圖 偏偏導

7、導數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線xTM0對對x軸軸的的斜斜率率. 偏偏導導數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線yTM0對對y軸軸的的斜斜率率.幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為

8、高階偏導數(shù)偏導數(shù).二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 的兩個二階混合偏導數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)xyz 2及及yxz 2在區(qū)域在區(qū)域 D D 內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這

9、兩個二階混合偏導數(shù)必相等兩個二階混合偏導數(shù)必相等問題：問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 7 7 驗證函數(shù)驗證函數(shù)22ln),(yxyxu 滿足拉普拉滿足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 2 yyzx e(x1)arctan(1,0)x例例：求求在在點

10、點的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù)2yztxzue dt 例例：求求的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù)。練練 習習 題題0000 x0f(x2 x,y )f(xx,y )1.f(x,y),limx 設設具具有有偏偏導導數(shù)數(shù) 求求23yyx()xyx (1,2)y (1,2)xyy2.f(x,y)xy(x1)arccos,f (1,y)2x3.ze,z,z4.zxln xy ,z 設設求求設設求求求求偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導純偏導混合偏導混合偏導（相等的條件）（相等的條件）三、小結(jié)三、小結(jié)若

11、函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點在 點),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導數(shù)必定存在？的偏導數(shù)必定存在？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,一一、 填填空空題題: :1 1、 設設yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設設 xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _

12、_. .3 3、 設設,zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設設,arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習習 題題 5 5、設、設zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導數(shù)求下列函數(shù)的偏導數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan(

13、 . .三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點在點(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設設xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設五、設)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 驗證驗證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. .七、設七、設 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;練習題答案練習題答案 2 2、zzyxyxz