列方程解決平面圖形問題

1、無 列方程解列方程解平面圖形問題平面圖形問題 一、引入。一、引入。 同學(xué)們，下面這道平面圖形問題你會解答嗎？ 已知圖 1 中平行四邊形的面積是 48 平方厘米，求陰影三角形面積是多少平方厘米？ 1學(xué)生嘗試解答。 學(xué)生可能出現(xiàn)如下兩種解法： 根據(jù)平行四邊形的面積是 48 平方厘米、 高是 6 厘米， 可以求出平行四邊形的底；三角形的高和平行四邊形相同，底比平行四邊形少 5 厘米，所以求出平行四邊形的底，就能求三角形的面積。 48 6=8（厘米） （8- 5）6 2=9（平方厘米） 這個三角形只給出了高，它的面積不能直接計算出來，可先把平行四邊形分割成三部分（如圖 2） ，因?yàn)閮蛇叺膬蓚€三角形面積

2、是相等的，中間的長方形面積又可求，所以陰影三角形面積等于（48-5 6） 2=9（平方厘米） 2引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法解決問題。 第一種方法通過逆向思考，先求出平行四邊形的底，再求出三角形的面積；第二種方法利用圖形的特征，對圖形進(jìn)行巧妙地分割。解決這個問題還可以用代數(shù)方法，設(shè)三角形的底為 a，根據(jù)平行四邊形面積為 48，高為 6，可列出方程： （5+a） 6=48 解方程，求得 a=3 所以三角形面積為 3 6 2=9（平方厘米） 這是一道比較簡單的問題，用上述三種方法都能解決。如果是比較復(fù)雜的問題，用算術(shù)方法解決會非常困難，而代數(shù)方法會越來越有優(yōu)勢。這一單元我們就一起來研究列方程解平面圖形問題。

3、 例例 1： 長方形： 長方形 ABFE的寬是的寬是 8 厘米， 如果長增加厘米， 如果長增加 4.5厘米， 得到新圖形厘米， 得到新圖形 ABCD的面積是的面積是 168 平方厘米。如下圖，求原長方形的面積。平方厘米。如下圖，求原長方形的面積。 由于新圖形的寬與原長方形相同，學(xué)生會逆向思考，求出新長方形的長，用算術(shù)方法解決問題。 1688=21（厘米） （21-4.5）8=132（平方厘米） 根據(jù)題意，新長方形的長比原長方形的長多 4.5 厘米，我們可以利用這一關(guān)系設(shè)未知數(shù)，利用新長方形的面積是 168 平方厘米列方程。 解：設(shè)原長方形的長為 x 厘米，根據(jù)題意列方程得： （x4.5）8=1

4、68 x4.5=21 無 x=16.5 16.58=132（平方厘米） 答：原長方形的面積為 132 平方厘米。 由于長方形的長是未知的，用由于長方形的長是未知的，用算術(shù)方法算術(shù)方法解決問題需要逆向思考，根據(jù)面積解決問題需要逆向思考，根據(jù)面積求出邊長；而代數(shù)方法則是用字母表示未知數(shù)量，直接應(yīng)用面積的計算方法列求出邊長；而代數(shù)方法則是用字母表示未知數(shù)量，直接應(yīng)用面積的計算方法列出方程。在解決復(fù)雜問題時，出方程。在解決復(fù)雜問題時，用代數(shù)的方法用代數(shù)的方法，正向思考會更簡單。，正向思考會更簡單。 例例 2：在長方形：在長方形 ABCD 中，放入中，放入 6 個形狀、大小相同的個形狀、大小相同的小長方

5、形（如圖） ，小長方形（如圖） ，求小長方形的寬。求小長方形的寬。 題目中大、小長方形長與寬的關(guān)系比較隱蔽，我們必須認(rèn)真觀察圖形，找到數(shù)量之間的關(guān)系。 請同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)小長方形的長、寬，大長方形長、寬與已知數(shù)據(jù)之間有哪些關(guān)系？ 通過觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：小長方形的長+3 個小長方形的寬=大長方形的長=14 厘米，小長方形的長+小長方形的寬=大長方形的寬，2 個小長方形的寬+6 厘米=大長方形的寬。 如果設(shè)小長方形的寬為 x 厘米， 根據(jù)上面的關(guān)系式你能找到相等的關(guān)系嗎？由小長方形的長+3 個小長方形的寬=大長方形的長=14 厘米可以表示出小長方形長為 143x 厘米，再根據(jù)小長方形的

6、長+小長方形的寬=大長方形的寬，可以表示出大長方形的寬為 143xx=142x 厘米；根據(jù) 2 個小長方形的寬+6 厘米=大長方形的寬，大長方形的寬還可以表示為 2x6 厘米。利用寬相等可以列出方程。 解：設(shè)小長方形的寬為 x 厘米，根據(jù)題意列方程為： 142x=2x6 4x=8 x=2 答：小長方形的寬為 2 厘米。 題目給的條件比較少，同學(xué)們要注意從圖中挖掘隱蔽條件，從圖形中分析題目給的條件比較少，同學(xué)們要注意從圖中挖掘隱蔽條件，從圖形中分析出大長方形的寬可以用出大長方形的寬可以用 142x 和和 2x6 兩種方式表示，根據(jù)這一等量關(guān)系列方兩種方式表示，根據(jù)這一等量關(guān)系列方程解答。程解答。

7、 例例 3：如圖，將一個三角形紙片折疊一下（如下圖） ，原來三角形的面積是：如圖，將一個三角形紙片折疊一下（如下圖） ，原來三角形的面積是現(xiàn)在紙片蓋住面積的現(xiàn)在紙片蓋住面積的 1.5 倍。如果陰影部分的面積是倍。如果陰影部分的面積是 1 平方厘米，那么這個三角平方厘米，那么這個三角形的面積是多少平方厘米？形的面積是多少平方厘米？ 折疊后圖形中出現(xiàn)了重疊部分（四邊形 DEFG） ，所以圖形的面積變小了。觀察圖形，你能發(fā)現(xiàn)變化前、后圖形面積之間的關(guān)系嗎？ 無 三角形 ABC 面積=陰影面積+2 個重疊部分的面積， 折疊后圖形的面積=陰影面積+1 個重疊部分的面積。 解：設(shè)四邊形 DEFG 的面積為

8、 x 平方厘米。 Xx1=（x1）1.5 0.5x=0.5 X=1 三角形 ABC 的面積為：111=3（平方厘米） 答：三角形的面積為 3 平方厘米。 用代數(shù)方法解決問題，發(fā)現(xiàn)圖形面積之間的關(guān)系，用代數(shù)方法解決問題，發(fā)現(xiàn)圖形面積之間的關(guān)系，尋找到等量關(guān)系是解決尋找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。而這些關(guān)系往往隱藏在圖形之中，需要我們認(rèn)真觀察圖形，挖掘問題的關(guān)鍵。而這些關(guān)系往往隱藏在圖形之中，需要我們認(rèn)真觀察圖形，挖掘出隱蔽的數(shù)量關(guān)系。出隱蔽的數(shù)量關(guān)系。 例例 4：在直角三角形中截出一個面積最大的正方形（如圖：在直角三角形中截出一個面積最大的正方形（如圖 1） 。求這個正方） 。求這個正方形的面積

9、。 （單位：厘米）形的面積。 （單位：厘米） 直接觀察圖形，我們很難發(fā)現(xiàn)三角形與正方形之間的關(guān)系。在這種情況下，我們需要考慮添加輔助線，溝通圖形之間的聯(lián)系。 連接 BD 后， 就可以把大三角形分成兩部分， 即三角形 ABD 和三角形 BDC，這兩部分都與正方形有直接聯(lián)系，正方形的邊長是每個三角形的高，只要用字母表示正方形的邊長，就能表示出每個三角形的面積。 這樣題目的等量關(guān)系就顯現(xiàn)出來了：三角形 ABC 的面積等于三角形 ABD 與三角形 BCD 的面積和。 解：設(shè)正方形的邊長為 x 米。 3x27x2=372 x=2.1 2.12.1=4.41（平方厘米） 答：這個正方形的面積是 4.41

10、平方厘米。 直接觀察圖形，我們只知道正方形在三角形之內(nèi)，他們之間的關(guān)系卻很難直接觀察圖形，我們只知道正方形在三角形之內(nèi)，他們之間的關(guān)系卻很難發(fā)現(xiàn)。發(fā)現(xiàn)。添加輔助線后，添加輔助線后，正方形與三角形之間就有了直接聯(lián)系，正方形與三角形之間就有了直接聯(lián)系，等量關(guān)系等量關(guān)系也顯現(xiàn)也顯現(xiàn)出來。出來。用代數(shù)方法解用代數(shù)方法解決比較復(fù)雜的平面圖形問題，添加輔助線是我們經(jīng)常采用決比較復(fù)雜的平面圖形問題，添加輔助線是我們經(jīng)常采用的方法。的方法。 例例 5：如下圖：如下圖，梯形，梯形 ABCD 的面積是的面積是 45 平方厘米，下底平方厘米，下底 AB 長長 10 厘米，高厘米，高EF 長長 6 厘米， 三角形厘米

11、， 三角形 DOC 的面積為的面積為 5 平方厘米， 求三角形平方厘米， 求三角形 ABO 的面積的面積是多少是多少平方厘米？平方厘米？ 通過分析，學(xué)生可能會用算術(shù)方法解決問題。 要想求出三角形 ABO 的面積，需要求出高 OF，因?yàn)橐阎菪蔚母?EF 為 6無 厘米，所以只要求出三角形 DOC 的高 OE 即可。三角形 DOC 的面積已知，求它的高，需先求出 DC 的長度，而 DC 的長度可由梯形的面積公式求出。 4526=15（厘米） 52（15-10）=2（厘米） 10（6-2）2=20（平方厘米） 如果設(shè)梯形的上底 DC 長 x 厘米，你會列方程解決問題嗎？ 解：設(shè) DC 邊長 x 厘

12、米 （x+10） 6 2=45 解方程得 x=5 根據(jù)三角形 DOC 面積為 5 平方厘米，由三角形面積公式可以求出 OE 的長： 525=2（厘米） 所以 OF=62=4（厘米） 三角形 ABO 面積=10 4 2=20（平方厘米） 如果設(shè)三角形 ABO 的面積為 x 平方厘米，你會列方程解決問題嗎？ 整體觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，三角形 ABC 與三角形 ABD 是等高同底的三角形，它們的面積必相等。在這兩個三角形中，顯然三角形 ABO“重疊”一次，如果加上已知的三角形 DOC 的面積， 正好是梯形 ABCD 的面積又多了一個三角形 ABO的面積。所以： 三角形 ABO 面積+梯形 ABCD 面積

13、=三角形 ABD 面積三角形 ABC 面積三角形 DOC 面積 解：設(shè)三角形 ABO 的面積為 x 平方厘米。 X+45=10622+5 X=20 所以，三角形 ABO 的面積為 20 平方厘米。 本題用算術(shù)方法解答，需要逆向思考，兩次運(yùn)用面積公式計算邊的長度，本題用算術(shù)方法解答，需要逆向思考，兩次運(yùn)用面積公式計算邊的長度，用代數(shù)方法解答就可以回避逆向思考帶來的麻煩。我們介紹了兩種代數(shù)方法，用代數(shù)方法解答就可以回避逆向思考帶來的麻煩。我們介紹了兩種代數(shù)方法，第二種方法更簡單，第二種方法更簡單，需要我們有整體觀察發(fā)現(xiàn)圖形面積之間關(guān)系的能力。需要我們有整體觀察發(fā)現(xiàn)圖形面積之間關(guān)系的能力。 例例 6

14、 6： 如下圖， 在三角形： 如下圖， 在三角形 ABCABC 中中,D,D 為為 BCBC 邊中點(diǎn)邊中點(diǎn),BF= ,BF= 1 13 3 AB,AB,已知四邊形已知四邊形 BDEFBDEF的面積是的面積是 35cm35cm2 2。求三角形。求三角形 ABCABC 的面積。的面積。 通過以前的學(xué)習(xí)，我們知道如果兩個三角形的底、高有關(guān)系，它們的面積之間就有關(guān)系。為了便于比較圖形面積之間的關(guān)系，我們連接 BE。通過觀察比較，你能發(fā)現(xiàn)哪些三角形面積之間的關(guān)系？ 因?yàn)?D 是 BC 的中點(diǎn)，所以三角形 BDE的面積=三角形 CDE 的面積， 三角形 BDA 的無 面積=三角形 CDA 的面積；因?yàn)?F

15、 是13 點(diǎn)，所以三角形 AEF 的面積=2 倍三角形BEF 的面積。 連接 BE，設(shè)三角形 BDE 的面積為 a，設(shè)三角形 BFE 的面積為 b。 因?yàn)?BF= BF= 1 13 3 ABAB，所以 SAEF=2SBEF=2b 因?yàn)?D 為 BC 邊中點(diǎn)，所以 SBDE=SCDE=a SBDA=SCDA=a3b SBAE=SCAE （等量減等量差相等） 設(shè)三角形 ABC 的面積為 “1” 思路一：2b+3b=2（2a+b） 5b=4a+2b 3b=4a SABC=10a a= 110 b= 215 a+b= 730 35730 =150cm2 按照思路一也可以列出如下方程組 思路二： （2a

16、+b）3=（3b+a）2 按照思路二也可以列出如下方程組 答：三角形 ABC 的面積為 150 平方厘米。 在本題的分析中，通過添加輔助線，觀察、比較圖形的面積，我們發(fā)現(xiàn)了在本題的分析中，通過添加輔助線，觀察、比較圖形的面積，我們發(fā)現(xiàn)了很多面積之間的關(guān)系，用代數(shù)的方法能夠清楚地表示這些關(guān)系。在比較中我們很多面積之間的關(guān)系，用代數(shù)的方法能夠清楚地表示這些關(guān)系。在比較中我們主要應(yīng)用了兩個三角形高相同時，它主要應(yīng)用了兩個三角形高相同時，它們面積間的關(guān)系與底之間的關(guān)系相同。們面積間的關(guān)系與底之間的關(guān)系相同。 練習(xí)應(yīng)用。練習(xí)應(yīng)用。 1把一個正方形的兩組對邊分別減少 5 厘米和 8 厘米后，得到一個長方形

17、，已知長方形的面積比正方形的面積少 220 平方厘米（如下圖） 。求正方形的面積多少？ 2如下圖所示，有 9 張相同的小長方形卡片擺成一個大長方形.已知每個小無 長方形的周長為 18 厘米，短邊長為 4 厘米，求大長方形面積是多少平方厘米？ 3下圖中，梯形 ABCD 的面積為 24 平方厘米，AD=5 厘米，BC=7 厘米，求三角形 ABD 的面積是多少平方厘米？ 4 如圖， 直角三角形 ABC 內(nèi)有一個正方形 BDEF。 已知 AB=3 厘米， BC=4厘米，AC=5 厘米，EG 垂直于 AC，且 EG=0.3 厘米，求正方形 BDEF 的面積。 5六張大、小不同的正方形紙片 A、B、C、D

18、、E、F，拼成如右圖所示的圖形。已知正方形 F（陰影部分）面積是 256 平方厘米，正方形 A 的面積是多少平方厘米？ 6如下圖，正方形 ABCD 的面積是 1，BF=41AB，EC=31BC。求陰影部分的面積。 四、趣味驛站。四、趣味驛站。 完完美長方形美長方形 A B C D F E O 無 一個大長方形若能分割成若干個大小不同的小正方形， 則稱為完美長方形。一個大長方形若能分割成若干個大小不同的小正方形， 則稱為完美長方形。下面長方形是由下面長方形是由 9 9 個小正方形組成的完美長方形。已知正方形個小正方形組成的完美長方形。已知正方形 A A 和和 B B 的邊長分的邊長分別是別是 7 7 和和 4 4，你能算出這個完美長方形的面積嗎？，你能算出這個完美長方形的面積嗎？ 觀察圖形可以知道，完美長方形中相鄰正方形的邊長之間有著緊密的聯(lián)系，若能用兩種不同的形式表示同一個正方形的邊長，或表示出完美長方形的長或?qū)?，即可順利列方程求解?為了敘述方便,我們將圖中各個小正方形分別用字母表示(如下圖)。 設(shè)最小的正方形邊長為 X， 因?yàn)樾≌叫?A 的邊長為 7，小正方形 B 的邊長為 4，所以 小正方形 C 的邊長可以表示為 7X 小正方形 D 的邊長可以表示為 7XX=72X 小正方形 E 的邊長