數(shù)學(xué)建模(生產(chǎn)批量與單位成本的回歸模型)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 生產(chǎn)批量與單位成本的回歸模型 （第四次作業(yè)） 摘要此模型是一個(gè)線(xiàn)性回歸模型問(wèn)題，要想正確全面的描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。我們可以通過(guò)MATLAB工具描繪出問(wèn)題中給出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，然后用某些適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式去擬合這些散點(diǎn)，盡可能的讓它們都能夠出現(xiàn)在模擬的線(xiàn)條附近，通過(guò)這些函數(shù)關(guān)系式我們就可以建立起適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，有時(shí)一個(gè)散點(diǎn)圖我們可以用不同的函數(shù)關(guān)系式去擬合，從而建立起不同的數(shù)學(xué)模型，此時(shí)我們應(yīng)該對(duì)這些模型做對(duì)比，找出擬合度最好，并且能更好反映數(shù)據(jù)真實(shí)情況的模型。此題通過(guò)觀察散點(diǎn)，我們建立出以下三個(gè)模型： （x500）,( x500) （模型一）（模型二）（模型三

2、）建立這三個(gè)模型后，通過(guò)用MATLAB的regress命令分別求出它們的回歸系數(shù)，再繪出它們的殘差圖，將不滿(mǎn)足條件的異常點(diǎn)去掉，再重新進(jìn)行擬合，最后得到我們需要的數(shù)學(xué)模型。一個(gè)好的模型能讓我們正確掌握生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系，有利于生產(chǎn)廠商更好的掌握產(chǎn)品的生產(chǎn)信息，并通過(guò)此模型來(lái)作為生產(chǎn)成本和利潤(rùn)的預(yù)算。 一、問(wèn)題重述下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本（元）的數(shù)據(jù)，從散點(diǎn)圖可以明顯得發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在500以?xún)?nèi)時(shí)，單位成本對(duì)生產(chǎn)批量服從一種線(xiàn)性關(guān)系，生產(chǎn)批量超過(guò)500時(shí)就服從另一種線(xiàn)性關(guān)系。此時(shí)單位成本明顯下降。希望你構(gòu)造一個(gè)合適的回歸模型全面的描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。生產(chǎn)批量650

3、340400800300600720480440540750單位成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50關(guān)鍵字：生產(chǎn)批量 單位成本 線(xiàn)性關(guān)系二、提出假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明假設(shè)：1、 假設(shè)一切所給的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確有效2、 在一定范圍內(nèi)，單位成本與生產(chǎn)批量之間滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系3、 生產(chǎn)批量與單位成本不受較大外部因素的影響符號(hào)說(shuō)明：?jiǎn)挝怀杀緸閥(元)生產(chǎn)批量為x回歸系數(shù) ， ，隨機(jī)誤差三、模型分析次模型為生產(chǎn)批量與單位成本的一種線(xiàn)性回歸模型，我們可以通過(guò)分析所給數(shù)據(jù)模擬出它的線(xiàn)性回歸方程，且在這個(gè)方程允許的范圍內(nèi)產(chǎn)生一定的波動(dòng)，我們可以通過(guò)從一次線(xiàn)性和二次線(xiàn)性回歸曲

4、線(xiàn)去擬合這些所給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并預(yù)測(cè)較小范圍內(nèi)生產(chǎn)批量與單位成本的一個(gè)趨向。 四、 模型的建立、求解與驗(yàn)證假設(shè)一：生產(chǎn)批量與單位成本之間存在一次線(xiàn)性關(guān)系。我們令生產(chǎn)批量為x，單位成本為y元，當(dāng)x500時(shí)，y與x滿(mǎn)足一種線(xiàn)性關(guān)系，即 當(dāng)x500時(shí)，y與x滿(mǎn)足另一種線(xiàn)性關(guān)系，即 模型一：當(dāng)x500時(shí)，在MATLAB模擬得到下面模擬的一次線(xiàn)性圖：由MATLAB的regress命令得到下面數(shù)據(jù)：（詳見(jiàn)附表一）參數(shù)參數(shù)估計(jì)置信區(qū)間-0.0031-0.0056 -0.00065.58634.5743 6.5983 =0.8332 F=14.9868 P=0.0305做出該模型的殘差圖：可以看出上面第三個(gè)點(diǎn)位

5、異常點(diǎn)，去除第三個(gè)點(diǎn)畫(huà)出散點(diǎn)圖：由MATLAB得regress命令得到下列數(shù)據(jù)：（附表二）參數(shù)參數(shù)估計(jì)置信區(qū)間-0.0032-0.0044 -0.00205.57495.0902 6.0596 =0.9843 F=125.3521 P= 0.0079將上面的數(shù)據(jù)代入一次函數(shù)式 得到模擬出的一次線(xiàn)性關(guān)系式為：y=-0.0032x+5.5749（x500）當(dāng)x500時(shí)，在MATLAB擬合得到下列的散點(diǎn)圖：可以看出隨著生產(chǎn)批量的增加，單位成本在逐漸降低，而且兩者有很強(qiáng)的線(xiàn)性關(guān)系由MATLAB的regress命令得到下面數(shù)據(jù)：（詳見(jiàn)附表三）參數(shù)參數(shù)估計(jì)置信區(qū)間-0.0072-0.0096 -0.004

6、77.11585.4316 8.8000=0.9420 F=65.0153 P= 0.0013此時(shí)的殘差圖為：由殘差圖波動(dòng)可以看出都為符合條件的點(diǎn)。將上面的數(shù)據(jù)代入一次函數(shù)關(guān)系式得到模擬的一次函數(shù)為：y=-0.072x+7.1158（x500）模型二：綜合上面的分析，當(dāng)X在500以上或以下時(shí)，y與x存在不同的關(guān)系，引入一個(gè)虛擬變量G，我們可以另 結(jié)合模型一和二建立如下的回歸模型我們可以將上面的式子轉(zhuǎn)化為下面等效關(guān)系式：y=0 +1 X+2(12|X-500|)+12(X-500)G+ ，其中參數(shù) ， ，為回歸系數(shù)，影響y的其它因數(shù)都包含在隨機(jī)誤差e中。如果模型選擇合適，e應(yīng)大致負(fù)重均值為零的正

7、態(tài)分布。通過(guò)MATLAB的regress命令得到下列結(jié)果：（附表四）參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間6.16215.0368 7.2874-0.0047 -0.0074 -0.0020-0.0036 -0.0076 0.0003 =0.9763 F=164.7143 P=0下面為該模型的殘差圖：從該模型的殘差圖可以看出第6個(gè)點(diǎn)(540，3.10)不包含零點(diǎn)為異常點(diǎn)，它會(huì)對(duì)模型造成一定的影響，為了讓模型更加的完美，我們應(yīng)該去掉第六個(gè)點(diǎn)再重新計(jì)算。通過(guò)MATLAB的regress命令得到下列數(shù)據(jù)（附表五）：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間5.78144.8536 6.7093-0.0037 -0.0059 -0.00

8、14-0.0053 -0.0087 -0.0019 =0.9883 F=296.1706 P=0去掉第六個(gè)點(diǎn)以后擬合度比沒(méi)去掉時(shí)的擬合度大，所以去掉第六個(gè)點(diǎn)后能夠使模型更理想。此時(shí)的模擬函數(shù)關(guān)系式為：同時(shí)我們從上表可以看出當(dāng)生產(chǎn)批量小于500時(shí)，每增加一個(gè)單位批量，單位成本降低0.0037元：當(dāng)生產(chǎn)批量超過(guò)500時(shí)，沒(méi)增加一個(gè)單位批量，單位成本降低0.0037+0.0053=0.009元。假設(shè)二：生產(chǎn)批量與單位成本之間為二次線(xiàn)性關(guān)系：生產(chǎn)批量（百臺(tái)）6.53.448367.24.84.45.47.5單位成本（元）2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101

9、.50模型三：從上面的圖形中看出散點(diǎn)似乎也合適x的二次回歸模型，我們可以通過(guò)MATLAB模擬出下列二次曲線(xiàn)（附表六）從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著x的增加，y值有明顯的向下彎曲的趨勢(shì)，圖中的曲線(xiàn)是用二次函數(shù)模型 擬合的。其中參數(shù) ， ，為回歸系數(shù)，影響y的其它因數(shù)都包含在隨機(jī)誤差e中。如果模型選擇合適，e應(yīng)大致負(fù)重均值為零的正態(tài)分做出其殘差圖：由殘差圖可以看出所有點(diǎn)都包括0在內(nèi)，不存在異常點(diǎn)。由MATLAB中的regress命令得到下列數(shù)據(jù)（附表六）：參數(shù)參數(shù)估計(jì)置信區(qū)間-0.0574-0.1259 0.0110-0.0714-0.8315 0.68875.48623.5163 7.4561=0.9

10、7486 F= 155.1021 P=0將參數(shù)帶入二次項(xiàng)得到y(tǒng)=-0.0574-0.0714+5.4862所以該模型模擬的函數(shù)為y=-0.0574-0.0714+5.4862五、模型評(píng)價(jià)1模型一雖然擬合度都還可以，但因?yàn)閿?shù)據(jù)太少，且數(shù)據(jù)比較分散，個(gè)別數(shù)據(jù)的微小變動(dòng)都會(huì)對(duì)模型產(chǎn)生較大的影響，所以盡量少采用。2模型三和四數(shù)據(jù)和模型一相比，數(shù)據(jù)叫綜合，更能反映模型的實(shí)際情況，擬合度也比較高，P等于0，這兩個(gè)模型較好，可以考慮采用。3、對(duì)模型總體而言，數(shù)據(jù)不夠多，不能很好的反映出產(chǎn)品批量和單位價(jià)格的真實(shí)情況。4、該模型具有局限性，不能對(duì)生產(chǎn)批量低于300或超過(guò)800的單位價(jià)格進(jìn)行預(yù)算。 六、參考文獻(xiàn)數(shù)

11、學(xué)模型第三版（高等教育出版社）數(shù)學(xué)模型（浙江大學(xué)出版社）MATLAB教程(高等學(xué)校通用教材)附表一： x=300 340 400 440 480; y=4.65 4.45 4.52 4.20 4.04; X=ones(5) x; r,rint,b,bint,size=regress(y ,X)Warning: X is rank deficient to within machine precision. In regress at 80r = 0 5.5863 0 0 0 -0.0031rint = 0 0 4.5743 6.5983 0 0 0 0 0 0 -0.0056 -0.0006b

12、 = -0.0070 -0.0831 0.1728 -0.0233 -0.0594bint = -0.2951 0.2811 -0.4061 0.2399 0.0553 0.2902 -0.3981 0.3514 -0.3285 0.2097size = 0.8332 14.9868 0.0305 0.0136 rcoplot(b,bint)附表二： x=300 340 440 480; y=4.65 4.45 4.20 4.04; X=ones(4), x; r,rint,b,bint,size=regress(y ,X)Warning: X is rank deficient to wit

13、hin machine precision. In regress at 80r = 0 5.5749 0 0 -0.0032rint = 0 0 5.0902 6.0596 0 0 0 0 -0.0044 -0.0020b = 0.0289 -0.0440 0.0240 -0.0089bint = -0.0598 0.1175 -0.1090 0.0210 -0.1474 0.1954 -0.1566 0.1389size = 0.9843 125.3521 0.0079 0.0017 plot(x,y,r*),xlabel(x)附表三： x=540 600 650 720 750 800;

14、 y=3.10 2.96 2.48 2.18 1.50 1.38; X=ones(6) x; r,rint,b,bint,size=regress(y ,X)Warning: X is rank deficient to within machine precision. In regress at 80r = 0 7.1158 0 0 0 0 -0.0072rint = 0 0 5.4316 8.8000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0096 -0.0047b = -0.1460 0.1439 0.0222 0.2239 -0.2411 -0.0028bint = -0.4874

15、0.1953 -0.3272 0.6151 -0.5398 0.5843 -0.1991 0.6469 -0.6015 0.1192 -0.4494 0.4437size = 0.9420 65.0153 0.0013 0.0377 rcoplot(b,bint)附表四： x=300 340 400 440 480 540 600 650 720 750 800; y=4.65 4.45 4.52 4.20 4.04 3.10 2.96 2.48 2.18 1.50 1.38; X=ones(11,1),x,0.5*abs(x-500)+0.5*(x-500); b,bint,r,rint,s

16、ize=regress(y,X)b = 6.1621 -0.0047 -0.0036bint = 5.0368 7.2874 -0.0074 -0.0020 -0.0076 0.0003r = -0.0929 -0.1036 0.2502 0.1194 0.1487 -0.3624 -0.0010 -0.0632 0.2218 -0.2074 0.0904rint = -0.4303 0.2446 -0.5203 0.3130 -0.1702 0.6706 -0.3377 0.5766 -0.2663 0.5637 -0.6734 -0.0515 -0.4762 0.4742 -0.5419

17、0.4156 -0.1979 0.6416 -0.6112 0.1964 -0.2925 0.4733size =0.9763 164.7143 0.0000 0.0443rcoplot(r,rint)附表五： x=300 340 400 440 480 600 650 720 750 800; y=4.65 4.45 4.52 4.20 4.04 2.96 2.48 2.18 1.50 1.38; X=ones(10,1),x,0.5*abs(x-500)+0.5*(x-500); b,bint,r,rint,size=regress(y,X)b = 5.7814 -0.0037 -0.00

18、53bint = 4.8536 6.7093 -0.0059 -0.0014 -0.0087 -0.0019r = -0.0361 -0.0901 0.1990 0.0251 0.0111 -0.0968 -0.1273 0.2020 -0.2082 0.1213rint = -0.2979 0.2258 -0.4094 0.2293 -0.1110 0.5091 -0.3272 0.3773 -0.3002 0.3224 -0.4422 0.2486 -0.4757 0.2211 -0.0988 0.5029 -0.4871 0.0706 -0.1574 0.4000size = 0.9883 296.1706 0.0000 0.0249附表六： x=3 3.4 4 4.4 4.8 5.4 6 6.5 7.2 7.5 8; y=4.65 4.45 4.52 4.20 4.04 3.10 2.96 2.48 2.18 1.50 1.38; p = polyfit(x,y,2); Sy=sumsqr(y-mean(y)/10; Se=sumsqr(y-yy)/10; Rs=1-Se/Sy; scatter(x,