數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法的選擇及s平面到z平面映射(離散化)方法的比較

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上文獻(xiàn)綜述題 目 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法的選擇及 S-Z離散化方法的比較 學(xué)生姓名 專業(yè)班級(jí) 電子信息工程 學(xué) 號(hào) 院 （系） 指導(dǎo)教師 完成時(shí)間 專心-專注-專業(yè)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法的選擇及S-Z離散化方法的比較1 引言在畢業(yè)論文的設(shè)計(jì)過程中，針對(duì)我的課題研究，我發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段好多學(xué)生在數(shù)字信號(hào)處理方面，關(guān)于濾波器設(shè)計(jì)方法的選擇和離散化方法存在訓(xùn)多不理解，為此，在主要參考了數(shù)字信號(hào)處理教程（第二版）、數(shù)字信號(hào)處理教程MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)（第2版）和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用后，針對(duì)這一問題，我進(jìn)行了一下總結(jié)，寫出該文獻(xiàn)綜述，希望對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理的學(xué)生們有所幫助。該綜述主要講

2、述了常見模擬原型濾波器的設(shè)計(jì)、模擬域和數(shù)字域的映射方法和模擬域和數(shù)字域的頻帶變換法，著重對(duì)濾波器設(shè)計(jì)方法的選擇作了分析，并且比較了模擬域和數(shù)字域的映射方法即S-Z離散化。2 正文濾波器可廣義的理解為一個(gè)信號(hào)選擇系統(tǒng)，它讓某些信號(hào)成分通過又阻止或衰減另一些成分。在更多的情況下，濾波器可理解為選頻系統(tǒng)，如低通、高通、帶通、帶阻。當(dāng)然我們無法做到理想情況下的低通、高通、帶通、帶阻，這樣對(duì)于設(shè)計(jì)濾波器我們邊有一個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)或者說設(shè)計(jì)指標(biāo)。以低通濾波器為例，數(shù)字濾波器可以用差分方程、單位取樣響應(yīng)、以及系統(tǒng)函數(shù)等表示。2.1 數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)在進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。以低通濾波器特性為例，

3、頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍。在通帶內(nèi)： 在阻帶中： 其中為通帶截止頻率,為阻帶截止頻率，為通帶誤差,為阻帶誤差。圖2-1 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為。各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng)如圖2-2所示：圖2-2 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng)2.2 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本步驟不論是IIR濾波器還是FIR濾波器的設(shè)計(jì)都包括三個(gè)步驟：(1) 按照實(shí)際任務(wù)的要求，確定濾波器的性能指標(biāo)。(2) 確定了技術(shù)指標(biāo)后，用一個(gè)因果、穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能指標(biāo)

4、。(3)性能分析和計(jì)算機(jī)仿真。通過以上三步，利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)這個(gè)描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求；或者利用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的濾波器，再分析濾波結(jié)果來判斷。2.3 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。IIR數(shù)字濾波器可用一個(gè)n階差分方程： （2-1）或系統(tǒng)函數(shù)： （2-2）來表示。對(duì)照模擬濾波器的傳遞函數(shù)： （2-3） 可以看出，數(shù)字濾波器和模擬濾波器的設(shè)計(jì)思路相仿，其實(shí)質(zhì)也是尋找一組系數(shù)，去逼近所要求的頻率響應(yīng)，使其在性能上滿足預(yù)定的技術(shù)要求；不同的是模擬濾波器的設(shè)計(jì)是在平面上用數(shù)學(xué)逼近法

5、去尋找近似的所需特性，而數(shù)字濾波器則是在平面尋找合適的。數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，即利用映射將模擬濾波器離散化。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟是：(1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器；(3)在按一定規(guī)則將轉(zhuǎn)換為。若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟：（4）將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟(2)設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器，再由沖擊響應(yīng)不變法或雙線性變換將轉(zhuǎn)換為所需的。其步驟框圖如圖（2-3）： 圖2-3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟2.3

6、.1 巴特沃斯模擬低通濾波器 巴特沃斯濾波器（Butterworth）的逼近又稱最平幅度逼近，其特點(diǎn)是具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨的單調(diào)遞增，幅頻特性單調(diào)遞減。其幅度平方函數(shù)為： (2-4)為正整數(shù)，代表濾波器的階次，如圖2-4所示：圖2-4 巴特沃斯濾波器振幅平方特性 圖2-4中，增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。不管為多少，所有的特性曲線都通過點(diǎn)，或說衰減，這就是不變性。幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布： （2-5） 可見，Butterworth濾波器的幅度平方函數(shù)有個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在的圓周上。 低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是由平面左半部分的極點(diǎn)(，)組成的，它們分別為： （2-6）

7、系統(tǒng)函數(shù)為： (2-7)令，得到歸一化方程，去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為： (2-8)2.3.2 切比雪夫模擬低通濾波器針對(duì)巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性隨的增加而單調(diào)下降，當(dāng)較小時(shí)，阻帶幅頻特性下降較慢，要想使其幅頻特性接近理想低通濾波器，就必須增加濾波器的階數(shù)，這就將導(dǎo)致模擬濾波器使用的原件增多，線路趨于復(fù)雜，切比雪夫（chebyshev）濾波器的阻帶衰減特性則有所改善。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，需要的階次很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的。切比雪夫?yàn)V波器的在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特

8、沃茲濾波器要小。 切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)為： (2-9)切比雪夫?yàn)V波器的幅度響應(yīng)為： （2-10）當(dāng) ，為偶數(shù)時(shí)，；為奇數(shù)時(shí)，。 圖2-5 切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性設(shè)計(jì)切比雪夫模擬低通濾波器，一般是給定通帶截止頻率，阻帶起始截止頻率，通帶最大衰減（分貝），阻帶最小衰減（分貝），求。設(shè)計(jì)過程為： 1、求。 2、求濾波器階數(shù)。 3、求濾波器系統(tǒng)函數(shù)。由于已經(jīng)知道、，故可求出。2.3.3 離散化方法的離散化方法即模擬域和數(shù)字域的映射方法有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等，本節(jié)是在已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的條件下，介紹由變換成相應(yīng)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的兩種方法。1、沖激不變響應(yīng)

9、法沖激不變響應(yīng)法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)。將模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)加以等間隔抽樣，使正好等于的抽樣值，即 （2-11）其中是抽樣周期。令是的拉普拉斯變換，為的變換，利用抽樣序列的變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換關(guān)系，得： （2-13）則可看出，沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的平面變換成數(shù)字濾波器的平面，這個(gè)從到的變換正是拉普拉斯變換。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 （2-14）但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。 優(yōu)缺點(diǎn)：沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)

10、完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系。但是，因?yàn)橛蓄l率響應(yīng)混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器。2、雙線性變換法沖激響應(yīng)不變法和階躍響應(yīng)不變法從平面到平面的多值映射關(guān)系，造成了混頻響應(yīng)的混疊失真，為了克服這一缺點(diǎn)，我們采用雙線性變換法。雙線性變換法為了克服多值映射這一缺點(diǎn)，首先把整個(gè)平面壓縮變換到某一中介的平面的一條橫帶(寬度為,即從到),然后再利用的關(guān)系把平面上的這條橫帶變換到整個(gè)平面，這樣就使平面與平面是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 消除了多值變換性, 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。將平面整個(gè)軸壓縮變換到平面軸上的到一段，解析到整個(gè)平面和平面，再將平

11、面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面，從而得到平面和平面的單值映射關(guān)系為： （2-15） （2-16）這就是平面與平面間的單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。雙線性變換的最大優(yōu)點(diǎn)就是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。但是，它又產(chǎn)生了新的問題，除了在零頻率附近，角頻率和數(shù)字頻率的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系外，當(dāng)增加時(shí)，變換關(guān)系就是非線性的了，也就是角頻率和數(shù)字頻率之間存在著嚴(yán)重的非線性關(guān)系。2.4 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理IIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，缺點(diǎn)是相位是非線性的， FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可方便地實(shí)現(xiàn)線性相位。設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)為有限長(zhǎng)的,系統(tǒng)函數(shù)為： (2-17)在有限

12、平面內(nèi)有階極點(diǎn)，在原點(diǎn)處，有個(gè)零點(diǎn)位于有限平面的任何位置。如果FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)在對(duì)稱中心在處，則這種FIR濾波器就具有嚴(yán)格線性相位。2.4.1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法先給定所要求的理想濾波器頻率響應(yīng)，由的傅里葉反變換導(dǎo)出，理想濾波器的沖擊響應(yīng)是無限長(zhǎng)的非因果序列，而我們要設(shè)計(jì)的是有限長(zhǎng)的FIR濾波器，所以要用有限長(zhǎng)序列來逼近無限長(zhǎng)序列。窗函數(shù)就是矩形序列,加窗后根據(jù)頻域卷積定理可得： (4-13)通過頻域卷積過程的幅度函數(shù)的起伏現(xiàn)象,可知,加窗處理后，對(duì)理想矩形的頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響：(1)使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個(gè)過渡帶，其寬度等于窗的頻率響應(yīng)的主瓣寬度。(2)在截止頻率

13、的兩邊的地方即過渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩。(3)改變，只能改變窗譜的主瓣寬度，改變的坐標(biāo)比例以及改變的絕對(duì)值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例(此比例由窗函數(shù)的形狀決定)。2.4.2 頻率采樣法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)，把理想的用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長(zhǎng)的，來近似理想的，這樣得到的頻率響應(yīng)逼近于所要求的理想的頻率響應(yīng)。頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)加以等間隔抽樣得到，然后以此作為實(shí)際FIR濾波器的頻率特性的抽樣值。知道后，由DFT定義可唯一確定有限長(zhǎng)序列，利用這個(gè)頻域抽樣值同樣利用頻率內(nèi)插公式可得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，及頻率響應(yīng)： (2-18

14、)比較頻率抽樣的優(yōu)缺點(diǎn)：    優(yōu)點(diǎn)：可以在頻域直接設(shè)計(jì)，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計(jì)。    缺點(diǎn)：抽樣頻率只能等于的整數(shù)倍，或等于的整數(shù)倍加上，不能確保截止頻率的自由取值，要要實(shí)現(xiàn)自由選擇截止頻率，必須增加抽樣點(diǎn)數(shù)，但這又使計(jì)算量增大。 2.5 IIR濾波器設(shè)計(jì)與FIR濾波器設(shè)計(jì)的比較選擇哪一種濾波器決定于每種類型濾波器的優(yōu)點(diǎn)在設(shè)計(jì)中的重要性，現(xiàn)將兩種濾波器特點(diǎn)比較分析如下：(1) 選擇數(shù)字濾波器是首先考慮經(jīng)濟(jì)問題，通常將硬件的復(fù)雜性、芯片的面積或計(jì)算速度等作為衡量經(jīng)濟(jì)問題的因素。在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，由于IIR數(shù)字

15、濾波器存在輸出對(duì)輸入的反饋，因此可以用較少的階數(shù)來滿足要求，所用的存儲(chǔ)單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。 (2) 在很多情況下,FIR數(shù)字濾波器的線性相位與它的高階數(shù)帶來的額外成本相比是非常值得的。對(duì)于IIR濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴(yán)重。如果要使IIR濾波器獲得線性相位，又滿足幅度濾波器的技術(shù)要求，必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，這同樣將大大增加濾波器的階數(shù)。就這一點(diǎn)來看，F(xiàn)IR濾波器優(yōu)于IIR濾波器。 (3) FIR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，因而無論是理論上還是實(shí)際的有限精度運(yùn)算中他都是穩(wěn)定的，有限精度運(yùn)算誤差也較小。IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)必須在平面單位圓內(nèi)才能穩(wěn)定，對(duì)于這種

16、結(jié)構(gòu)，運(yùn)算中的舍入處理有時(shí)會(huì)引起寄生振蕩。 (4) 對(duì)于FIR濾波器，由于沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因此可以用快速傅里葉變換算法，這樣運(yùn)算速度可以快得多。IIR濾波器不能進(jìn)行這樣的運(yùn)算。 (5) 從設(shè)計(jì)上看，IIR濾波器可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的現(xiàn)成的閉合公式、數(shù)據(jù)和表格，可以用完整的設(shè)計(jì)公式來設(shè)計(jì)各種選頻濾波器。一旦選定了已知的一種逼近方法，就可以直接把技術(shù)指標(biāo)帶入一組設(shè)計(jì)方程計(jì)算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)(或極點(diǎn)和零點(diǎn))。FIR濾波器則一般沒有固定的設(shè)計(jì)公式。窗函數(shù)法只給出了窗函數(shù)的計(jì)算公式，但計(jì)算通帶和阻帶衰減仍無固定表達(dá)式。 (6) IIR濾波器主要是設(shè)計(jì)規(guī)格化、頻率特性為分段常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)低

17、通、高通、帶通和帶阻濾波器。FIR濾波器則靈活很多，可設(shè)計(jì)出理想正交變換器、理想微分器、線性調(diào)頻器等各種網(wǎng)絡(luò)，適應(yīng)性很廣。2.6 頻帶變換2.3.1 頻帶變換原理模擬頻帶變換是在模擬域進(jìn)行的頻帶變換，現(xiàn)就低通到高通的頻率變化為例來介紹。設(shè)低通濾波器和高通濾波器，通過和的對(duì)應(yīng)關(guān)系，推出其頻率變換。由于和都是頻率的偶函數(shù)，低通的從經(jīng)過、到0時(shí)，高通的則從0經(jīng)過、到，因此和之間的關(guān)系為： (2-19)式（2-19）即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通，高通則用下式轉(zhuǎn)換： （2-20）模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： （1）確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率，阻帶上限頻率，通帶最大衰減，阻帶最

18、小衰減。 （2）確定相應(yīng)的地圖濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：將高通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的便捷頻率。 （3）設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器。 （4）求模擬高通的。將轉(zhuǎn)換成歸一化高通，為去歸一化，將帶入中，得 （2-21）式（2-21）就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成模擬高通的轉(zhuǎn)換公式。2.3.2 頻帶變換方法以上各節(jié)都圍繞著歸一化低通濾波器進(jìn)行討論的，這樣限定的主要原因是：（1）歸一化低通濾波器是最容易實(shí)現(xiàn)的；（2）大多數(shù)帶通、帶阻、高通及其他頻帶的濾波器是很容易通過一個(gè)低通濾波器進(jìn)行某種適當(dāng)?shù)淖儞Q而得到，這個(gè)過程被稱為頻帶變換（或頻率變換）。 將的歸一化低通濾波器轉(zhuǎn)變成其他頻帶的濾波器的頻帶變換方法有兩種： 方法一：設(shè)計(jì)一個(gè)歸一化（）的模擬低通濾波器，在模擬域（域）進(jìn)行頻帶變換，使其成為另一個(gè)類型的模擬濾波器，再將它數(shù)字化成為所要求的數(shù)字濾波器。如圖2-6（a）：方法二：先將一個(gè)歸一化的模擬低通濾波器進(jìn)行數(shù)字化，然后用數(shù)字頻帶變換給出所要求的數(shù)字濾波器。如圖5-6（b）：圖2-6 （a）先模擬頻帶變換，再數(shù)字化；（b）先數(shù)字化，再進(jìn)行數(shù)字頻帶變換3 結(jié)論通過該綜述，希望對(duì)那些對(duì)濾波器設(shè)計(jì)不知道如何下手的同學(xué)和人們一些幫助，可以找到思路、找到方法，選擇合適的濾波器類型和模擬原型設(shè)計(jì)，并且在設(shè)計(jì)過程