數(shù)字濾波器設(shè)計方法的選擇及s平面到z平面映射(離散化)方法的比較

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上文獻(xiàn)綜述題 目 數(shù)字濾波器設(shè)計方法的選擇及 S-Z離散化方法的比較 學(xué)生姓名 專業(yè)班級 電子信息工程 學(xué) 號 院 （系） 指導(dǎo)教師 完成時間 專心-專注-專業(yè)數(shù)字濾波器設(shè)計方法的選擇及S-Z離散化方法的比較1 引言在畢業(yè)論文的設(shè)計過程中，針對我的課題研究，我發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段好多學(xué)生在數(shù)字信號處理方面，關(guān)于濾波器設(shè)計方法的選擇和離散化方法存在訓(xùn)多不理解，為此，在主要參考了數(shù)字信號處理教程（第二版）、數(shù)字信號處理教程MATLAB釋義與實現(xiàn)（第2版）和數(shù)字濾波器設(shè)計及工程應(yīng)用后，針對這一問題，我進(jìn)行了一下總結(jié)，寫出該文獻(xiàn)綜述，希望對學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理的學(xué)生們有所幫助。該綜述主要講

2、述了常見模擬原型濾波器的設(shè)計、模擬域和數(shù)字域的映射方法和模擬域和數(shù)字域的頻帶變換法，著重對濾波器設(shè)計方法的選擇作了分析，并且比較了模擬域和數(shù)字域的映射方法即S-Z離散化。2 正文濾波器可廣義的理解為一個信號選擇系統(tǒng)，它讓某些信號成分通過又阻止或衰減另一些成分。在更多的情況下，濾波器可理解為選頻系統(tǒng)，如低通、高通、帶通、帶阻。當(dāng)然我們無法做到理想情況下的低通、高通、帶通、帶阻，這樣對于設(shè)計濾波器我們邊有一個設(shè)計目標(biāo)或者說設(shè)計指標(biāo)。以低通濾波器為例，數(shù)字濾波器可以用差分方程、單位取樣響應(yīng)、以及系統(tǒng)函數(shù)等表示。2.1 數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)在進(jìn)行濾波器設(shè)計時，需要確定其性能指標(biāo)。以低通濾波器特性為例，

3、頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。在通帶內(nèi)： 在阻帶中： 其中為通帶截止頻率,為阻帶截止頻率，為通帶誤差,為阻帶誤差。圖2-1 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為。各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng)如圖2-2所示：圖2-2 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng)2.2 數(shù)字濾波器設(shè)計的基本步驟不論是IIR濾波器還是FIR濾波器的設(shè)計都包括三個步驟：(1) 按照實際任務(wù)的要求，確定濾波器的性能指標(biāo)。(2) 確定了技術(shù)指標(biāo)后，用一個因果、穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能指標(biāo)

4、。(3)性能分析和計算機(jī)仿真。通過以上三步，利用有限精度算法實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)這個描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗證設(shè)計結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求；或者利用計算機(jī)仿真實現(xiàn)設(shè)計的濾波器，再分析濾波結(jié)果來判斷。2.3 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理IIR數(shù)字濾波器設(shè)計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法。IIR數(shù)字濾波器可用一個n階差分方程： （2-1）或系統(tǒng)函數(shù)： （2-2）來表示。對照模擬濾波器的傳遞函數(shù)： （2-3） 可以看出，數(shù)字濾波器和模擬濾波器的設(shè)計思路相仿，其實質(zhì)也是尋找一組系數(shù)，去逼近所要求的頻率響應(yīng)，使其在性能上滿足預(yù)定的技術(shù)要求；不同的是模擬濾波器的設(shè)計是在平面上用數(shù)學(xué)逼近法

5、去尋找近似的所需特性，而數(shù)字濾波器則是在平面尋找合適的。數(shù)字濾波器設(shè)計的關(guān)鍵是將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，即利用映射將模擬濾波器離散化。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟是：(1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器；(3)在按一定規(guī)則將轉(zhuǎn)換為。若所設(shè)計的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟：（4）將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟(2)設(shè)計出模擬低通濾波器，再由沖擊響應(yīng)不變法或雙線性變換將轉(zhuǎn)換為所需的。其步驟框圖如圖（2-3）： 圖2-3 數(shù)字濾波器設(shè)計步驟2.3

6、.1 巴特沃斯模擬低通濾波器 巴特沃斯濾波器（Butterworth）的逼近又稱最平幅度逼近，其特點是具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨的單調(diào)遞增，幅頻特性單調(diào)遞減。其幅度平方函數(shù)為： (2-4)為正整數(shù)，代表濾波器的階次，如圖2-4所示：圖2-4 巴特沃斯濾波器振幅平方特性 圖2-4中，增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。不管為多少，所有的特性曲線都通過點，或說衰減，這就是不變性。幅度平方函數(shù)的極點分布： （2-5） 可見，Butterworth濾波器的幅度平方函數(shù)有個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在的圓周上。 低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是由平面左半部分的極點(，)組成的，它們分別為： （2-6）

7、系統(tǒng)函數(shù)為： (2-7)令，得到歸一化方程，去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為： (2-8)2.3.2 切比雪夫模擬低通濾波器針對巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性隨的增加而單調(diào)下降，當(dāng)較小時，阻帶幅頻特性下降較慢，要想使其幅頻特性接近理想低通濾波器，就必須增加濾波器的階數(shù)，這就將導(dǎo)致模擬濾波器使用的原件增多，線路趨于復(fù)雜，切比雪夫（chebyshev）濾波器的阻帶衰減特性則有所改善。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，需要的階次很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的。切比雪夫濾波器的在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特

8、沃茲濾波器要小。 切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)為： (2-9)切比雪夫濾波器的幅度響應(yīng)為： （2-10）當(dāng) ，為偶數(shù)時，；為奇數(shù)時，。 圖2-5 切比雪夫濾波器的振幅平方特性設(shè)計切比雪夫模擬低通濾波器，一般是給定通帶截止頻率，阻帶起始截止頻率，通帶最大衰減（分貝），阻帶最小衰減（分貝），求。設(shè)計過程為： 1、求。 2、求濾波器階數(shù)。 3、求濾波器系統(tǒng)函數(shù)。由于已經(jīng)知道、，故可求出。2.3.3 離散化方法的離散化方法即模擬域和數(shù)字域的映射方法有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等，本節(jié)是在已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的條件下，介紹由變換成相應(yīng)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的兩種方法。1、沖激不變響應(yīng)

9、法沖激不變響應(yīng)法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)。將模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)加以等間隔抽樣，使正好等于的抽樣值，即 （2-11）其中是抽樣周期。令是的拉普拉斯變換，為的變換，利用抽樣序列的變換與模擬信號的拉普拉斯變換關(guān)系，得： （2-13）則可看出，沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的平面變換成數(shù)字濾波器的平面，這個從到的變換正是拉普拉斯變換。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 （2-14）但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。 優(yōu)缺點：沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)

10、完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系。但是，因為有頻率響應(yīng)混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器。2、雙線性變換法沖激響應(yīng)不變法和階躍響應(yīng)不變法從平面到平面的多值映射關(guān)系，造成了混頻響應(yīng)的混疊失真，為了克服這一缺點，我們采用雙線性變換法。雙線性變換法為了克服多值映射這一缺點，首先把整個平面壓縮變換到某一中介的平面的一條橫帶(寬度為,即從到),然后再利用的關(guān)系把平面上的這條橫帶變換到整個平面，這樣就使平面與平面是一一對應(yīng)關(guān)系, 消除了多值變換性, 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。將平面整個軸壓縮變換到平面軸上的到一段，解析到整個平面和平面，再將平

11、面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面，從而得到平面和平面的單值映射關(guān)系為： （2-15） （2-16）這就是平面與平面間的單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。雙線性變換的最大優(yōu)點就是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。但是，它又產(chǎn)生了新的問題，除了在零頻率附近，角頻率和數(shù)字頻率的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系外，當(dāng)增加時，變換關(guān)系就是非線性的了，也就是角頻率和數(shù)字頻率之間存在著嚴(yán)重的非線性關(guān)系。2.4 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理IIR濾波器的優(yōu)點是可利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，缺點是相位是非線性的， FIR濾波器的優(yōu)點是可方便地實現(xiàn)線性相位。設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)為有限長的,系統(tǒng)函數(shù)為： (2-17)在有限

12、平面內(nèi)有階極點，在原點處，有個零點位于有限平面的任何位置。如果FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)在對稱中心在處，則這種FIR濾波器就具有嚴(yán)格線性相位。2.4.1 窗函數(shù)設(shè)計法先給定所要求的理想濾波器頻率響應(yīng)，由的傅里葉反變換導(dǎo)出，理想濾波器的沖擊響應(yīng)是無限長的非因果序列，而我們要設(shè)計的是有限長的FIR濾波器，所以要用有限長序列來逼近無限長序列。窗函數(shù)就是矩形序列,加窗后根據(jù)頻域卷積定理可得： (4-13)通過頻域卷積過程的幅度函數(shù)的起伏現(xiàn)象,可知,加窗處理后，對理想矩形的頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點影響：(1)使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成一個過渡帶，其寬度等于窗的頻率響應(yīng)的主瓣寬度。(2)在截止頻率

13、的兩邊的地方即過渡帶的兩邊，出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩。(3)改變，只能改變窗譜的主瓣寬度，改變的坐標(biāo)比例以及改變的絕對值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例(此比例由窗函數(shù)的形狀決定)。2.4.2 頻率采樣法窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的，來近似理想的，這樣得到的頻率響應(yīng)逼近于所要求的理想的頻率響應(yīng)。頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)加以等間隔抽樣得到，然后以此作為實際FIR濾波器的頻率特性的抽樣值。知道后，由DFT定義可唯一確定有限長序列，利用這個頻域抽樣值同樣利用頻率內(nèi)插公式可得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，及頻率響應(yīng)： (2-18

14、)比較頻率抽樣的優(yōu)缺點：    優(yōu)點：可以在頻域直接設(shè)計，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計。    缺點：抽樣頻率只能等于的整數(shù)倍，或等于的整數(shù)倍加上，不能確保截止頻率的自由取值，要要實現(xiàn)自由選擇截止頻率，必須增加抽樣點數(shù)，但這又使計算量增大。 2.5 IIR濾波器設(shè)計與FIR濾波器設(shè)計的比較選擇哪一種濾波器決定于每種類型濾波器的優(yōu)點在設(shè)計中的重要性，現(xiàn)將兩種濾波器特點比較分析如下：(1) 選擇數(shù)字濾波器是首先考慮經(jīng)濟(jì)問題，通常將硬件的復(fù)雜性、芯片的面積或計算速度等作為衡量經(jīng)濟(jì)問題的因素。在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，由于IIR數(shù)字

15、濾波器存在輸出對輸入的反饋，因此可以用較少的階數(shù)來滿足要求，所用的存儲單元少，運算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。 (2) 在很多情況下,FIR數(shù)字濾波器的線性相位與它的高階數(shù)帶來的額外成本相比是非常值得的。對于IIR濾波器，選擇性越好，其相位的非線性越嚴(yán)重。如果要使IIR濾波器獲得線性相位，又滿足幅度濾波器的技術(shù)要求，必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，這同樣將大大增加濾波器的階數(shù)。就這一點來看，F(xiàn)IR濾波器優(yōu)于IIR濾波器。 (3) FIR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，因而無論是理論上還是實際的有限精度運算中他都是穩(wěn)定的，有限精度運算誤差也較小。IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點必須在平面單位圓內(nèi)才能穩(wěn)定，對于這種

16、結(jié)構(gòu)，運算中的舍入處理有時會引起寄生振蕩。 (4) 對于FIR濾波器，由于沖激響應(yīng)是有限長的，因此可以用快速傅里葉變換算法，這樣運算速度可以快得多。IIR濾波器不能進(jìn)行這樣的運算。 (5) 從設(shè)計上看，IIR濾波器可以利用模擬濾波器設(shè)計的現(xiàn)成的閉合公式、數(shù)據(jù)和表格，可以用完整的設(shè)計公式來設(shè)計各種選頻濾波器。一旦選定了已知的一種逼近方法，就可以直接把技術(shù)指標(biāo)帶入一組設(shè)計方程計算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)(或極點和零點)。FIR濾波器則一般沒有固定的設(shè)計公式。窗函數(shù)法只給出了窗函數(shù)的計算公式，但計算通帶和阻帶衰減仍無固定表達(dá)式。 (6) IIR濾波器主要是設(shè)計規(guī)格化、頻率特性為分段常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)低

17、通、高通、帶通和帶阻濾波器。FIR濾波器則靈活很多，可設(shè)計出理想正交變換器、理想微分器、線性調(diào)頻器等各種網(wǎng)絡(luò)，適應(yīng)性很廣。2.6 頻帶變換2.3.1 頻帶變換原理模擬頻帶變換是在模擬域進(jìn)行的頻帶變換，現(xiàn)就低通到高通的頻率變化為例來介紹。設(shè)低通濾波器和高通濾波器，通過和的對應(yīng)關(guān)系，推出其頻率變換。由于和都是頻率的偶函數(shù)，低通的從經(jīng)過、到0時，高通的則從0經(jīng)過、到，因此和之間的關(guān)系為： (2-19)式（2-19）即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通，高通則用下式轉(zhuǎn)換： （2-20）模擬高通濾波器的設(shè)計步驟如下： （1）確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率，阻帶上限頻率，通帶最大衰減，阻帶最

18、小衰減。 （2）確定相應(yīng)的地圖濾波器的設(shè)計指標(biāo)：將高通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的便捷頻率。 （3）設(shè)計歸一化低通濾波器。 （4）求模擬高通的。將轉(zhuǎn)換成歸一化高通，為去歸一化，將帶入中，得 （2-21）式（2-21）就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成模擬高通的轉(zhuǎn)換公式。2.3.2 頻帶變換方法以上各節(jié)都圍繞著歸一化低通濾波器進(jìn)行討論的，這樣限定的主要原因是：（1）歸一化低通濾波器是最容易實現(xiàn)的；（2）大多數(shù)帶通、帶阻、高通及其他頻帶的濾波器是很容易通過一個低通濾波器進(jìn)行某種適當(dāng)?shù)淖儞Q而得到，這個過程被稱為頻帶變換（或頻率變換）。 將的歸一化低通濾波器轉(zhuǎn)變成其他頻帶的濾波器的頻帶變換方法有兩種： 方法一：設(shè)計一個歸一化（）的模擬低通濾波器，在模擬域（域）進(jìn)行頻帶變換，使其成為另一個類型的模擬濾波器，再將它數(shù)字化成為所要求的數(shù)字濾波器。如圖2-6（a）：方法二：先將一個歸一化的模擬低通濾波器進(jìn)行數(shù)字化，然后用數(shù)字頻帶變換給出所要求的數(shù)字濾波器。如圖5-6（b）：圖2-6 （a）先模擬頻帶變換，再數(shù)字化；（b）先數(shù)字化，再進(jìn)行數(shù)字頻帶變換3 結(jié)論通過該綜述，希望對那些對濾波器設(shè)計不知道如何下手的同學(xué)和人們一些幫助，可以找到思路、找到方法，選擇合適的濾波器類型和模擬原型設(shè)計，并且在設(shè)計過程