一元二次方程知識點總結與例題解析

1、一元二次方程一） 一元二次方程的定義是一元二次方程的一般式，只含有一個末知數(shù)、且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。這三個方程都是一元二次方程。求根公式為二）。a是二次項系數(shù)；b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項，注意的是系數(shù)連同符號的概念。這些系數(shù)與一元次方程的根之間有什么樣的關系呢？1、當0時方程有2個不相等的實數(shù)根；2、當0時方程有兩個相等的實數(shù)根；3、當 0時方程無實數(shù)根.4、當0時方程有兩個實數(shù)根（方程有實數(shù)根）;5、ac0)0有兩個不相等的實數(shù)根C0兩根同號b0有兩個負根不相等b0有兩個正根不相等C0負根絕對值較大(正根絕對值較小)b0一根為0另一個根為負根b0有兩個相等的負根b0

2、有兩個相等的正根b =0有兩個相等的根都為0注：凡是題中出現(xiàn)了x1.x20 即a、c異號方程必有解。例題 m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根；無實數(shù)根；有兩個不相等的實數(shù)根；有一根為0；兩根同號；有一個正根一個負根；兩根互為倒數(shù)。例題 已知方程的兩根一個大于1，另一個根小于1，求m的值的范圍。例題已知方程ax2+bx+c 0 (a0)的實數(shù)根為m、n求下列對稱式子的值；。例題已知實數(shù)a、b滿足,且求的值。例題已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，（1）求k的取值范圍。（2）化簡例題 設a、b是方程的兩個實數(shù)根，求的值。根據(jù)題意得a+b=-1，ab=-2009，a2+2a+b=a2+a+a+b=

3、a2+a-1，又a是x2+x-2009=0的根，a2+a-2009=0，a2+a=2009，a2+2a+b=2009-1=2008六）解一元二次方程中的應用直接開平方法：用簡明圖表可表示為：直接開平方法：形如（mx+n）2=p (m0,p0)兩個一元一次方程。配方法：用簡明圖表可表示為：配方法：一元二次方程 形如（mx+n）2=p (m0,p0)的方程因式分解法：用簡明圖表可表示為： 因式分解法：一元二次方程兩個一元一次方程公式法：x1，x2一元二次方程應用題部分一、列方程解應用題的一般步驟是1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關系?2.設:設未知數(shù),語句要完整,有單位(同一

4、)的要注明單位；3.列:列代數(shù)式,列方程；4.解:解所列的方程；5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意；6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活.注：列方程解應用題的關鍵是: 找出等量關系；所謂的列方程其實質(zhì)上就是把要求的數(shù)用一個末知的數(shù)（字母）表示，根據(jù)題目中提供的條件列出兩個代數(shù)式，這兩個代數(shù)式表示同一個量（這兩個代數(shù)式中至少有一個代數(shù)式中要含有末知數(shù)），用等于號把這兩個代數(shù)式連接起來就得到了方程式。二、一元二次方程，其應用題的范圍也比較廣泛，歸納起來可大致有以下幾種類型：求互相聯(lián)系的兩數(shù)(數(shù)與數(shù)字方面的應用題)：例：兩個相鄰偶數(shù)的積是168，求這兩個偶數(shù)。解：設其中一數(shù)為x

5、，另一數(shù)為x+2，依題意得：x（x+2）168x2+2x-168=0（x-12）（x+14）0x1=12，x2 =14當x12時，另一數(shù)為14；當x-14時，另一數(shù)為-12.答：這兩個偶數(shù)分別為12、14或-14、-12.四）銀行利率應用題（含利滾利問題）：年利息本金年利率（年利率為a%）存一年的本息和：本金（1+年利率） ，即本金（1+ a%）存兩年的本息和：本金（1+年利率）2， 即本金（1+a%）2存三年的本息和：本金（1+年利率）3， 即本金（1+a%）3存n年的本息和：本金（1+年利率）n， 即本金（1+a%）n例：我村2006年的人均收入為1200元，2008年的人均收入為1452

6、元，求人均收入的年平均增長率。解：設均收入的年平均增長率，則1200（1+x）2=1452解得：X1=0.1，X2=-2.1（不合題意，舍去）人均收入的年平均增長率為10%。五）銷售利潤方案類題（含薄利多銷問題及價格與銷量問題）六）函數(shù)與方程 七）信息題 八）背景題 九）古詩題 十）象棋比賽題十一）幾何類題：等積變形，動態(tài)幾何問題，梯子問題，航海問題，幾何與圖表信息，探索存在問題，平分幾何圖形的周長與面積積問題，利用圖形探索規(guī)律最常見的如：求直角三角形的邊。例：一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積是9cm，求較長的直角邊的長。解：設較短的直角邊的長為x厘米，較長的直角邊的長為（x3）厘米

7、，根據(jù)三角形的面積公式，得x（x+3）=9解得：X=3或X=-6（不合題意，舍去）故X=3，X+3=6所以較長的直角的邊長為6厘米。常見的還有就是：求矩形的邊：例：利用一面墻（墻的長度不限），用20m長的籬笆，怎樣圍成一個面積為50m2的矩形場地？解：設靠墻的一邊為x x（20-2x）=20解得：x=5設靠墻的兩邊為5m，另一邊為10m十二）賽制循環(huán)問題：單循環(huán)：設參加的球隊為x，則全部比賽共 x（x-1）場；雙循環(huán)：設參加的球隊為x，則全部比賽共x（x-1）場；【單循環(huán)比雙循環(huán)少了一半】例：參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人握手10次，有多少人參加聚會？解：設一共有x人x（x-1）=1

8、0解得：x=5 或x=-4（不合題意，舍去）一共有5人銷售利潤方案類題（1）經(jīng)濟類一1、某商店將進價為8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，現(xiàn)在采取提高商品售價減少銷售量的辦法增加利潤，如果這種商品每件的銷售價每提高0.5元其銷售量就減少10件，問應將每件售價定為多少元時，才能使每天利潤為640元？ 解：設每件售價x元，則每件利潤為x-8， 每天銷售量則為所以每天利潤為640元時， 則根據(jù)：（每天銷售量）（每件利潤）= 每天利潤 故有：則有x2-28x+192=0 即（x-12)（x-16)=0 所以x1=12或x2=16。 答：當每件售價為12元或16元時，每天利潤為640元。3、

9、蘇寧服裝商場將每件進價為30元的內(nèi)衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn)，每件內(nèi)衣漲價10元，其銷量就將減少10件，為了實現(xiàn)每月8700元銷售利潤，假如你是商場營銷部負責人，你將如何安排進貨？解：設漲價10x元,銷量將減少10x件:(300-10X)(50+10X-30)=87006000+3000X-200X-100X=8700X-28X+27=0(X-1)(X-27)=0X1=1,以每件50+101=60元售出，平均每月能售出300-101=290件,進貨290件,以每件60元售出.X2=27,以每件50+1027=320元售出，平均每月能售出300-1027=30件,

10、進貨30件,以每件320元售出.因為售出價320元太高,此解舍去.（此解舍去不是太有道理的）函數(shù)與方程1.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品質(zhì)量分為10個檔次.第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件，每件利潤10元。每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但每天產(chǎn)量減少4件.(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元（其中x為正整數(shù)，且1x10），求出y關于x的函數(shù)關系式；(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1080元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.解:1)生產(chǎn)數(shù)量為:76-4(X-1)利潤為:10+2(X1)則函數(shù)為:Y=764(X1)10+2(X1)整理為:Y=-8X2+128X+6402）當Y=1080時，

11、則有：1080=-8X2+128X+640 整理得：X2-16X+55=0解之得X1=5或X2=11(不合題舍) 固為第五檔.例1【實際背景】預警方案確定:設如果當月W6，則下個月要采取措施防止“豬賤傷農(nóng)”【數(shù)據(jù)收集】今年2月5月玉米、豬肉價格統(tǒng)計表月份2345玉米價格(元/500克)0.70.80.91豬肉價格(元/500克)7.5m6.256【問題解決】(1)若今年3月的豬肉價格比上月下降的百分數(shù)與5月的豬肉價格比上月下降的百分數(shù)相等，求3月的豬肉價格m；(2)若今年6月及以后月份，玉米價格增長的規(guī)律不變，而每月的豬肉價格按照5月的豬肉價格比上月下降的百分數(shù)繼續(xù)下降，請你預測7月時是否要采

12、取措施防止“豬賤傷農(nóng)”；(3)若今年6月及以后月份，每月玉米價格增長率是當月豬肉價格增長率的2倍，而每月的豬肉價格增長率都為a，則到7月時只用5.5元就可以買到500克豬肉和500克玉米請你預測8月時是否要采取措施防止“豬賤傷農(nóng)”解：（1）由題意， ， 解得： m=7.2（2）從2月5月玉米的價格變化知，后一個月總是比前一個月價格每500克增長0.1元（或：設ykx+b，將（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y(tǒng)=0.1x+0.5，把（4，0.9），（5，1）代入都符合，再得到（6，1.1）6月玉米的價格是：1.1元/500克;5月增長率：，6月豬肉的價格：6(1)=5.76元/500克.W

13、=5.246， 要采取措施（3）7月豬肉價格是：元/500克； 7月玉米價格是：元/500克；由題意，+=5.5，解得， 不合題意，舍去 7.59， ，不(或：不一定)需要采取措施幾何類題（1）等積變形例1將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設計方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設計方案2（如圖3）花園中每個角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.解：都能.（1）設小路寬為x，則1815，即x233x+

14、1800，解這個方程，得，即（舍去）；（2）設扇形半徑為r，則3.14r21815，即r257.32，所以r7.6.說明：等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.圖2圖4圖3（2）動態(tài)幾何問題例：如圖4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動.（1）如果P、Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存

15、在，說明理由.解：因為C90，所以AB10（cm）.（1）設xs后，可使PCQ的面積為8cm2，所以APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.則根據(jù)題意，得(6x)2x8.整理，得x26x+80，解這個方程，得x12，x24.所以P、Q同時出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的面積為8cm2.（2）設點P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得(6x)2x68.整理，得x26x+120.所以方程無實數(shù)解。由于此方程沒有實數(shù)根，所以不存在使PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻.說明：本題雖然是一道動態(tài)型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依據(jù)：路程速度時間；動態(tài)題的解題是思

16、想是化動態(tài)為靜態(tài)，在運動的某一時刻就是一個靜態(tài)時的狀態(tài)。（3）梯子問題例：一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米？解：依題意，梯子的頂端距墻角8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設梯子底端滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解這個方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動約1.14m.

17、（2）當梯子底端水平向外滑動1m時，設梯子頂端向下滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解這個方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動1m，則頂端下滑約0.86m.（3）設梯子頂端向下滑動xm時，底端向外也滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解這個方程，得x10（舍去），x22.所以梯子頂端向下滑動2m時，底端向外也滑動2m.圖5說明：求解時應注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構成直角三角形；在滑動的過程中梯子的長度沒有改變，也就是構成的直角

18、三角形的斜邊是一個常量10m。（4）、航海問題例：如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D恰好位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，則DFBC.因為ABBC，D為AC的中點，所以DFA

19、B100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設相遇時補給船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在RtDEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得3x21200x+1000000.解這個方程，得x1200118.4，x2200+（不合題意，舍去）.所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里.說明：求解這類幾何運動題題型時，一定要認真地分析題意，及時發(fā)現(xiàn)題目中的等量關系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運用勾股定理布列一元二次方程；或找出相似三角形，應用相似比構造出等量關系式；或找出線段之間

20、的倍數(shù)關系，從而找出等量關系式。探索存在問題例：將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.解（1）設剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20x）cm.則根據(jù)題意，得+17，整理得：解得x116，x24，當x16時，20x4；當x4時，20x16，答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨設剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20y）cm.則由題意得+12，整理，得y220y+1040，0所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說明本題的第（2）小問也可以運用求根公式中的b24ac來判定.若b24ac0，方程有兩個實數(shù)根，若b24ac0，方程沒有實數(shù)根，本題中的b24ac160即無解.一元二次方程練習題一、 填空1一元二次方程化為一般形式為：，二次項系數(shù)為：，一次項系數(shù)為：，常數(shù)項為：。2關于x的方程,當時為一元一次方程；當時為一元二次方程。3已知直角三角形三邊長為連續(xù)整數(shù)，則它的三邊長是。