幾何直觀的課程背景及實踐策略探究

1、幾何直觀的課程背景及實踐策略探究 幾何直觀是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）(以下簡稱2011年版課標)的十個核心概念之一，也是新增加的核心詞匯。幾何直觀在內(nèi)容、意義和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究范疇。正如弗萊登塔爾所說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！北疚幕趲缀握n程要求試圖追溯幾何直觀的形成歷史，探討幾何直觀的內(nèi)涵及其與相關(guān)概念之間的聯(lián)系，闡釋幾何直觀的表現(xiàn)形式，挖掘培養(yǎng)幾何直觀能力的教育價值。  一、幾何直觀形成的歷史溯源  1952年，我國首次制訂的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大

2、綱提出，小學(xué)“算術(shù)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)和發(fā)展兒童的邏輯思維能力”，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該“發(fā)展學(xué)生生動的空間想象力，發(fā)展學(xué)生邏輯的思維力和判斷力”。1963年，根據(jù)華羅庚、關(guān)肇直等專家的意見，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力培養(yǎng)任務(wù)修改為培養(yǎng)“計算能力、邏輯推理能力和空間想象力”（即傳統(tǒng)的三大能力）。1988年，九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱將能力培養(yǎng)任務(wù)改為“培養(yǎng)運算能力、發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念”。2001年頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）提出“豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”。2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標準指出：“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。人

3、們通常采用直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求。”2011年版課標把幾何直觀作為十個核心概念之一，并明確指出幾何直觀的含義，闡明其教育價值。由我國幾何課程基本要求可以看出，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，幾何直觀的建立和發(fā)展是一個歷史演變過程。  二、幾何直觀與相關(guān)概念辨析  1.直觀與幾何直觀  數(shù)學(xué)家克萊因認為，“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀

4、上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”；西方哲學(xué)家通常認為，“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認識”；心理學(xué)家認為，“直觀是從感覺到的具體對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力”。蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)。徐利治先生認為，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。從數(shù)學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)等視角可以看出，直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。由此可見，直

5、觀是一種感知，是形象思維和抽象思維的中介，是客觀世界不同事物的居間聯(lián)系環(huán)節(jié)。  2011年版課標指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！睋Q句話說，幾何直觀就是借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進行直接感知、整體把握的能力。  2.空間觀念與幾何直觀  從研究對象來分析，空間觀念不僅涉及“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”，而且涉及“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，描述圖形的運動和變化，依

6、據(jù)語言的描述畫出圖形等”，而幾何直觀是憑借圖形對幾乎所有的數(shù)學(xué)研究對象進行思考的能力。可見，幾何直觀與空間觀念有重疊又各有側(cè)重。從思維角度來看，幾何直觀具有思維的跳躍性，而空間觀念具有思維的連貫性。從能力分析角度看，空間觀念傾向于即使脫離了背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力，幾何直觀更強調(diào)借助一定的直觀背景條件進行整體把握的能力。  3.幾何直覺與幾何直觀  直觀與直覺非常相似。所謂直覺，辭海的解釋是“一般指不經(jīng)過邏輯推理認識真理的能力”，而中國大百科全書的解釋是“一種不經(jīng)過分析、推理的認識過程而直接快速地進行判斷的認識能力。直覺是不經(jīng)過邏輯的、有意識的推理而識別或了解事

7、物的能力”。從哲學(xué)認識論的視角看，直覺可以分為經(jīng)驗直覺、知性直覺和理性直覺。幾何直覺無須推理就能直接對事物及其關(guān)系作出迅速的識別和理解，屬于學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)對象的感性認識，有很大程度上的猜測成分和朦朧的整體把握，不僅有“經(jīng)驗直覺”的成分，而且有“知性直覺”和“理性直覺”的成分。幾何直觀是學(xué)習(xí)者建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，對于數(shù)學(xué)對象的幾何屬性（或與幾何屬性密切相關(guān)的一些屬性）的整體把握和直接判斷的能力，既有相對豐富的經(jīng)驗積累，也有經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的理性概括和升華，幾何直觀的“整體把握”往往帶有明顯的邏輯成分。  4.空間想象能力與幾何直觀能力  傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教

8、學(xué)中，空間想象力指的是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象的能力。麥吉認為，空間想象力包括“在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)形象刺激物的能力”。朱文芳認為“空間想象能力是完成空間認知任務(wù)的橋梁，空間思維能力起著決定性的核心作用”。心理學(xué)家通常認為，想象以表象為基本材料，但不是表象的簡單再現(xiàn)，是指“在頭腦中對已有表象進行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。因此，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關(guān)系的能力。幾何直觀是在有背景的條件下進行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，再想象圖形。  三、幾何直觀的表現(xiàn)形式  康德認為，直觀分為

9、經(jīng)驗直觀和純粹直觀?？追舱?、史寧中認為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何直觀具體表現(xiàn)為四種形式，即實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀。  筆者認為，幾何直觀具有創(chuàng)造性和工具性，其目的是利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。因此，從數(shù)學(xué)功能看，幾何直觀可以分為實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示。  實物直觀演示是指借助與研究對象有一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，進行簡捷、形象的思考和判斷。實物直觀演示既可以是實際存在物，如球體、柱體、錐體、長方形、平行四邊形、梯形、圓、橢圓等；也可以借助計算機、七巧板、木棒等輔助的實物直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作等活動，感受和探索圖形的特征，積

10、累圖形與幾何的活動經(jīng)驗，建立初步的空間觀念。一旦借助實物直觀演示用圖形把一個問題描述清楚，就有可能使這個問題變得直觀、簡單。  圖形直觀操作是指對實物的動手操作或圖形運動操作進行幾何直觀探索。直觀操作分為兩類：一類是實物的動手操作，包括折紙、展開、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動，能幫學(xué)生積累豐富的幾何事實，獲得對簡單幾何體和平面圖形的直觀經(jīng)驗；另一類是圖形的運動操作（如平移、旋轉(zhuǎn)、反射等運動），如“點動成線”“線動成面”“面動成體”，半圓以直徑為軸旋轉(zhuǎn)可以形成球體，矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為圓柱體，直角三角形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)可以成為錐體等。借助圖形直觀操作可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、尋找解決

11、問題的思路。因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等具體的感知過程，培養(yǎng)他們借助圖形思考的能力。  圖形直觀表示是指借助明確的幾何圖形來描述和分析數(shù)學(xué)問題。圖形直觀表示是一種表征方式，是一種工具符號，主要分為兩類：一類是“形形表示”，如借助三視圖、網(wǎng)格、直角坐標系等圖形工具探索、描述和分析幾何問題；另一類“數(shù)形表示”，利用幾何圖形直觀探索、描述和分析幾何以外的其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題，如利用數(shù)軸研究數(shù)系、方程的根，利用直觀圖分析數(shù)據(jù)，構(gòu)造圖形研究代數(shù)式、函數(shù)，利用單位圓研究三角函數(shù)等。借助圖形直觀表示圖形可以幫助表述一些結(jié)果，可以幫助記憶一些結(jié)果。  四、幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值

12、  1.幾何直觀能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維  幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用。從創(chuàng)造力來看，直觀能引出數(shù)學(xué)發(fā)明，能決定理論的形式和研究方向；從數(shù)學(xué)證明上看，直觀常常提供證明的思路和技巧，有時嚴格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴格化和數(shù)學(xué)加工。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題變成幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?。在大多?shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的。如，利用平面圖形認識分數(shù)的乘法，借助韋恩圖計算“重疊應(yīng)用問題”等。所謂的“看”是一種直接判斷，是建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上的靈感和頓悟，是思維過程的高

13、度簡化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中保護學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)，培養(yǎng)和不斷提高學(xué)生的幾何直觀水平，就成為數(shù)學(xué)教育的一個重要的價值追求。  2.幾何直觀能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)  幾何直觀在數(shù)學(xué)中無處不在。數(shù)學(xué)家依賴直觀推動對數(shù)學(xué)的思考，加強對數(shù)學(xué)的理解。幾何直觀不僅是一切幾何學(xué)的基礎(chǔ)，而且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。正如美國數(shù)學(xué)家阿蒂亞所言：“在幾何中，視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)地位。所以，幾何首先用到的是最直接的形象思維，用形象思維洞察?！睅缀沃庇^能利用圖形生動形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映分析問題的思路，是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。例如，借助地圖理解比例，利用直觀圖理解正方

14、形邊長和面積的關(guān)系，借助數(shù)軸認識小數(shù)的意義，借助“線路圖”理解行程問題，借助網(wǎng)絡(luò)圖理解單元知識等。著名數(shù)學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說過：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)合成伴侶時，它們就相互吸收新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完美?！币虼?，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要挖掘教材資源，利用信息技術(shù)工具，展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界，設(shè)計“借助幾何直觀進行思考”的典型案例；要注意讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、圖形制作的過程，培養(yǎng)學(xué)生用幾何直觀描述、分析問題的意識，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力，文字語言、符號語言和圖形語言相互轉(zhuǎn)化的能力，為學(xué)生使用幾何直觀理解數(shù)學(xué)提供保障。  3.幾何直觀能

15、夠培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式  數(shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀形式直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體抽象具體”模式的特殊表現(xiàn)形式。幾何直觀具有原始的創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)經(jīng)過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返璞歸真，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證過程。正是形式化與直觀化之間的矛盾運動推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展以及科學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該借助幾何直觀、幾何解釋啟迪學(xué)生思路，利用直觀背景或者幾何直觀幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，為學(xué)生創(chuàng)造主動思考的機會。例如，借助數(shù)軸認識小數(shù)的意義，利用直觀圖理解異分母分數(shù)加減法先通分的必要性，能使學(xué)生借助直觀圖，從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，使學(xué)生從非形式化的、算法的直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀?？梢姡庇^本身不是目的，而是手段。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，用圖形說話、用圖形描述問題、用圖形討論問題等，就是為了形成生動表象并借以形成概念、發(fā)展規(guī)律，促進抽象思維的發(fā)展。 4.幾何直觀能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)美