利用最小二乘法求解擬合曲線

1、無實驗實驗三三 函數(shù)逼近函數(shù)逼近一、一、實驗?zāi)繕?biāo)實驗?zāi)繕?biāo)1. 掌握數(shù)據(jù)多項式擬合的最小二乘法。2. 會求函數(shù)的插值三角多項式。二、二、實驗問題實驗問題（1）由實驗得到下列數(shù)據(jù)jx0.00.10.20.30.50.81.0jy1.00.410.500.610.912.022.46試對這組數(shù)據(jù)進行曲線擬合。（2）求函數(shù) 2cosf xxx在區(qū)間, 上的插值三角多項式。三、三、實驗要求實驗要求1. 利用最小二乘法求問題（1）所給數(shù)據(jù)的 3 次、4 次擬合多項式，畫出擬合曲線。2. 求函數(shù) 2cosf xxx在區(qū)間, 上的 16 次插值三角多項式，并畫出插值多項式的圖形，與 f x的圖形比較。3. 對

2、函數(shù) 2cosf xxx，在區(qū)間, 上的取若干點，將函數(shù)值作為數(shù)據(jù)進行適當(dāng)次數(shù)的最小二乘多項式擬合，并計算誤差，與上題中的 16 次插值三角多項式的結(jié)果進行比較。無數(shù)值分析實驗報告數(shù)值分析實驗報告【實驗課題】【實驗課題】利用最小二乘法求上述問題所給數(shù)據(jù)的 2 次，3 次、4 次擬合多項式，畫出擬合曲線【實驗?zāi)繕?biāo)】【實驗?zāi)繕?biāo)】（1）加深對用最小二乘法求擬合多項式的理解（2）學(xué)會編寫最小二乘法的數(shù)值計算的程序；【理論概述與算法描述】【理論概述與算法描述】在 函 數(shù) 的 最 佳 平 方 逼 近 中( ) , f xC a b, 如 果( )f x只 在 一 組 離 散 點 集 ,0,1, ix im

3、上給出， 這就是科學(xué)實驗中經(jīng)常見到的實驗數(shù)據(jù)( ,),0,1, iix yim的曲 線 擬 合 ， 這 里( ),0,1,iiyf xim， 要 求 一 個 函 數(shù)*()ySx與 所 給 數(shù) 據(jù)( ,),0,1, iix yim擬合，若記誤差*()(0,1,)iiiSxy im,01,Tm ,設(shè)01( ),( ),( )nxxx是 , C a b上的線性無關(guān)函數(shù)族，在01( ),( ),( )nspanxxx中找一個函數(shù)*( )Sx，使誤差平方和|2222*2( )000|( ) ( )minmmmiiiiiS xiiiSxyS xy這里0011|( )( )( )( )()nnS xaxax

4、ax nm這就是一般的最小二乘逼近，用幾何語言說，就稱為曲線擬合的最小二乘法。通常在最小二乘法中考慮加權(quán)平方和有0(,)( )( )( )mjkijkixxx ，0( ,)( ) ( )( ),0,1,mkiikkifx f xxdkn上式可改寫為無0(,),0,1,mkjjkjadkn 。這個線性方程組稱為法方程，可將其寫成矩陣形式,Gad其中0,10,1(,) ,(,)TTnnaa aadd dd00010100101111(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,),(,)nnnnG 求出0,1,na aa則擬合函數(shù)*2012( )nnSxaa xa xa xa=inv(G

5、)*d【實驗問題】【實驗問題】由實驗得到下列數(shù)據(jù)jx0.00.10.20.30.50.81.0jy1.00.410.500.610.912.022.46試對這組數(shù)據(jù)進行曲線擬合。利用最小二乘法求所給數(shù)據(jù)的 2 次、3 次、4 次擬合多項式，畫出擬合曲線。【實驗過程與結(jié)果】【實驗過程與結(jié)果】編寫程序后運行，編寫程序后運行，n=2.3.4 分別計算，得出結(jié)果和圖像分別計算，得出結(jié)果和圖像【結(jié)果分析、討論與結(jié)論】【結(jié)果分析、討論與結(jié)論】(1)n=2時x=0.00.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0無y=1.00.410.500.610.912.022.46n=2p=leastsq(x,y,n

6、)I=lsp(p,t)回車得到結(jié)果p =0.7356-1.24003.1316所以擬合多項式為I =t*(18733*t)/5982 - 74179/59820) +73337/99700(2)n=3時x=0.00.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0y=1.00.410.500.610.912.022.46n=3Apleastsq(x,y,n)I=lsp(p,t)回車得到結(jié)果0.9266-4.659112.8147-6.6221所以擬合多項式為I=0.9266-4.6591t+3 12.8147t2+ -6.6221t3;(3)n=4時x=0.00.1 0.2 0.3 0.5 0.8

7、1.0y=1.00.410.500.610.912.022.46n=4p=leastsg(x,y,n)I=lsq(p,t)回車得到結(jié)果A=0.9427-5.298716.2747無-12.33482.8853附程序1.Mainx=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0y=1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46syms tn=2p=leastsq(x,y,n)c=lsp(p,t)plot(x,y,*)2.function p=leastsq(x,y,n)m=length(x);G=zeros(n+1,n+1);b=zeros(n+1,1);for i=0:nfor j=0:nG(i+1,j+1)=(x.i)*(x.j);enden