2020屆江蘇省海安中學(xué)高三上學(xué)期階段測試三數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、1011頁1第海安中學(xué) 2020 屆高三階段測試三數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 設(shè)全集 U =1 , 2, 3, 4, 5，若 euA 二1 , 2, 4，則集合 A= _ .解：全集 U=1 , 2, 3, 4, 5,若 QJA =1, 2, 4,則集合 A =3 , 5.故答案為：3 , 5.2._ 已知復(fù)數(shù) z 滿足（z-2）i =1 i（i 為虛數(shù)單位），則 z 的模為_.解：；復(fù)數(shù) z 滿足（z-2）i =1 i（i 為虛數(shù)單位），z = 2, =2（）（12i-i=21i =3 -i , . |z|廠=1

2、0 ,故答案為：,10 .23.已知一組數(shù)據(jù) 色耳忌,山的平均數(shù)為 a，極差為d，方差為 S，則數(shù)據(jù) 2a1+1, 2a2+1, 2 比+1,2a.+1的方差為_ .解：數(shù)據(jù)口】ra2r舊3町的平均數(shù)為口，數(shù)據(jù)2町+12站2+12旳+12如+1的平均數(shù)是2站+1;數(shù)據(jù)叭a21心r町的方差為二數(shù)據(jù)加| +1加加3+1加卄1的方差是S2X22=4S2,故答案為：4S24.如圖是一個算法的偽代碼，其輸出的結(jié)果為go+IFar i From1To10Step1;*:KE）4:ForI頁2第* _曰也3解：模擬執(zhí)行偽代碼，可得:s =0111（1 _丄）（丄 _）1 漢 2 2310 漢 1122 3故

3、答案為:1 1 1（1TT11弔1011頁3第5.從 0、 2 中選一個數(shù)字.從 1、 3、5 中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中無重復(fù)的個數(shù)為 _ .解：從 0、2 中選一個數(shù)字 0,則 0 不只能排在百位，從 1、3、5 中選兩個數(shù)字之一排在百位，共有A2A2=12種；從 0、2 中選一個數(shù)字 2,從 1、3、5 中選兩個數(shù)字全排列，共有C：A3=18種；故共有12 18 =30種.故答案為：30.方程為解：因為(C)2=1- (b)2=10，所以b=3，所以漸近線方程為 y = 3x . a aa故答案為：y = 3x .7將函數(shù) f(x)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù) y=4s

4、in(2x)的圖象，貝 U f ()的值為634解：由將函數(shù) f(x)的圖象向右平移 二個單位后得到函數(shù) y=4sin(2x_=)的圖象，63可得把函數(shù) y =4sin(2 x _二)的圖象向左平移 丄個單位后得函數(shù) f (x)的圖象，36故 f(x)=4sin(2x) =4sin 2x，貝 U f(-) =4sin4，3342故答案為：4.&設(shè)定義在R上的奇函數(shù) f(x)在區(qū)間0，；)上是單調(diào)減函數(shù)，且f(x2-3x) f(2)0,則實數(shù) x 的取值范圍是_.解：根據(jù)題意，f(x)是在R上的奇函數(shù) f(x)，且在區(qū)間0， :：)上是單調(diào)減函數(shù)，則其在區(qū)間(-：,0)上遞減，則函數(shù) f(x)在

5、R上為減函數(shù)，2 2 2 2f (x -3x) f(2)0=f(x 3x) f(2) =f (x 3x) f(2)= x - 3x AADDiBCD AiiCiDi四棱錐 A -AEFD的體積 VAEFD=9 13.已知向量 a , b , c 滿足 a bc，且 a 與 b 的夾角的正切為11，b 與 c 的夾角的正切為一，|b卜2，23sin B 1解：連接DE，頁7第可得 sin B5,5同理可得 sinCI0,10由正弦定理可得2|c|=aL,sin 135 V5樂570即有冷=匕，面二蘭,55則,和九,|跡 45 二亡5 2j.5525x14.已知 f(x) =m(x -2m)(x

6、m 3) ,g(x)=2 - 2，若同時滿足條件：1-x：=R， f (x)：0 或 g(x)：0 ；2x (：，-4)， f(x)g(x)：:0 .則 m 的取值范圍是_.解：對于：g(x) =2x一2，當(dāng)x：:1 時，g(x) : 0 ,又一 一x三R, f (x)：0 或 g(x) : 0.f (x) =m(x -2m)(x m 3) :0 在xT 時恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x 軸交點都在(1,0)的左面m : 0則-m-3：1I2m：1一 4 :m：0即成立的范圍為-4 -m：0又一 x (-匚：，-4) , f (x)g(x) : 0 x此時g(x) =

7、2 -2：0恒成立-f (x) =m(2m)(x m 3) 0 在 x，(-：,Y)有成立的可能，則只要-4比洛,(i) 當(dāng)-1：m：0 時，較小的根為-m-3 , 如-3：Y 不成立，x2中的較小的根大即可,故答案為：4.5頁8第(ii)當(dāng) m=-1 時，兩個根同為 -2 虧-4，不成立，(iii)當(dāng)-4: m 時，較小的根為 2m , 2m”-4 即 m“-2 成立.頁9第綜上可得成立時-4 : m”2.,向量 m =(ta nA ta nB,si n 2C)和向量 n =(1,cos AcosB)是共線向量.(1) 求角C；(2) 求ABC的邊長 c .解：(1) 丁m/n, . (ta

8、n A tan B)cos AcosB =sin2C，即sin AcosB cosAsinB=sin2C,sin (A B)二 s in2C ,.sinC =2sinCcosC+ I1t sinC丄0, . cosC =2Tc (0,二)31C 二_3(2)由 ACSAB -CB) =18 得:3 2S二如航三業(yè)址子9 3,a =6 2, c?b2abcosC =54,- c=3616.（本小題滿分 14 分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，且 AB ,BC=1,E,F分別為AB,PC中點.（1）求證：EF/平面PAD;故答案為：（-4,二）.90 分請在答題卡指定區(qū)域程或演算步驟內(nèi)作答

9、.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過15.（本小題滿分 14 分）r t *2ACb；AB BC) =AC =18,已知JABC的面積為 9 3，且頁10第（2）若平面PAC_平面ABCD，求證：平面PAC_平面PDE.頁11第證明：（1）方法一：取線段PD的中點M，連接FM,AM因為F為PC的中點，所以FM /CD，且 FM 二丄 CD 2因為四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，所以EA/CD，且 EA =CD 2所以FM /EA，且FM二EA所以四邊形AEFM為平行四邊形.所以EF / /AM又AM平面PAD,EF平面PAD，所以EF /平面PAD方法二： 連接CE并延長交DA的延長線于N，

10、連接PN 因為四邊形ABCD為矩形， 所以AD / /BC, 所以BCE =/ANE,CBE =/NAE又AE =EB，所以CEB二：NEA.所以CE =NE 又F為PC的中點，所以EF/NP（5 分） 又NP平面PAD,EF平面PAD，所以EF /平面PAD方法三：取CD的中點 Q，連接 FQ , EQ 在矩形ABCD中，E為AB的中點，所以 AE =DQ，且 AE/DQ所以四邊形 AEQD 為平行四邊形，所以 EQ/AD 又AD二平面PAD, EQ 平面PAD，所以 EQ / /平面PAD因為 Q ,F分別為CD,CP的中點，所以 FQ/PD 又PD二平面PAD, FQ 平面PAD，所以

11、FQ /平面PAD又 FQ , EQ 平面 EQF , FQ|EQ =Q，所以平面 EQF /平面因為EF平面 EQF，所以EF /平面PAD（2）設(shè)AC,DE相交于GPADF頁12第在矩形ABCD中，因為 AB=J；2BC, E為AB的中點所以 DA = CD =、2 . AE DA又.DAE二/CDA，所以.QAEs. QDA，所以.ADE二/DCA.又.ADE . CDE =/ADC =90，所以.DCA . CDE =90.由DGC的內(nèi)角和為180，得.DGC =90即DE _ AC.因為平面PAC_平面ABCD因為DE二平面ABCD，所以DE_平面PAC，又DE二平面PDE，所以平面

12、PAC_平面PDE17.(本小題滿分 14 分)如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q 為海中一個小島，A為海岸線OM上的一個碼頭.已知tan. MON=-3，OA =6km，Q 到海岸線OM，ON的距離分別為3km，6衛(wèi) km 現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭， 5使得在水上旅游直線AB經(jīng)過小島 Q .(1) 求水上旅游線AB的長;(2)若小島正北方向距離小島6km處的海中有一個圓形強(qiáng)水波P， 從水波生成th時的半徑為 r=3、_at(a 為大于零的常數(shù))強(qiáng)水波開始生成時，一游輪以182km/h 的速度自碼頭A開往碼頭B，問實數(shù) a 在什則由題設(shè)得： A(6,0)，直線ON的方程為 y=-3x，Q(

13、，3)(x00).由|3x0_3癥，及 X00 得 X0*，Q(3,3)105軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示.頁13第.直線 AQ 的方程為 y - -(x 6)，即 x y 6 =0 ,由y3X得八山 込 + y _6 =0 J =9.AB =(匕二6廠92=9- 2, 即水上旅游線AB的長為 9. 2km .(2)設(shè)試驗產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P,由題意可得 P(3,9)，生成 t 小時時，游輪在線段AB上的點C處，則 1AC=18 2t，0 剟比，C(6 -18t,18t).2強(qiáng)水波不會波及游輪的航行即PC2r2對 t：訂 0,恒成立.PC2=(18t -3)2(1 & -9)2r2=9at,10 1

14、0 1旳48令 gt 帀48% ,g(t) =72t104824 5 -48，當(dāng)且僅當(dāng) t 二 t當(dāng)t =0時，上式恒成立,(1T當(dāng) t 式 0 時，即岸|0,-時,I 2 一-6(0,1時等號成立,所以，在 0：a：24.5 48時 r：PC恒成亦即強(qiáng)水波不會波及游輪的航行.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓E:篤* =1(a b 0)過點(1,，其左、右焦點分別為、F2,離心率為(1)求橢圓E的方程;(2)若 A、B分別為橢圓E的左、右頂點,(i)求證：OLOM 為定值；動點M滿足MB _ AB，且MA交橢圓E于點P.(ii)設(shè)PB與Q，問：直線 MQ 是否過定點，并說明理由.18.(

15、本小題滿分 16 分)頁14第解得 a =2 , b = 2 ,2 2即有橢圓方程為y1;42(2) (i)證明：由 A(_2,0) , B(2,0) ,MB_AB, 設(shè) M (2, yo) , P(x , Vi),可得 MA : y聖,2yo. yoVI二二 為242yo8(ii)直線 MQ 過定點 0(0,0).由PB與以PM為直徑的圓的另一交點為 Q ,可得 MQ _ PB，即有 kMQ02則直線 MQ : y _y0 =四& -2),2yo故直線 MQ 過定點 0(0,0).19.(本小題滿分 16 分)k + a a *已知數(shù)列a.滿足：印=a?= a3= k (常數(shù) k 0) ,

16、a. i(n-3,n N ).數(shù)列bn滿足：anbn丄吐(n N*).an 1()求 D , b2, b3, b4的值；(2)求出數(shù)列bn的通項公式；解：(1)由題意可得13_+_22rzr 222且 a b = c ,代入橢圓方程可得,2(1 旦)x282yo由_2“4(yo-8)yo28，可得 Xi2匹 x14=0,222( yo2-8)yo288yo貝 U OPOM4( yo2-8).8yo2 2yo8yo8_y0=4 為定值;yi8yoyo28理由如下：由題意可得 k”H_2(y。28)2(yo28)2yo，頁15第(3)問：數(shù)列%的每一項能否均為整數(shù)？若能，求出k的所有可能值；若不能

17、，請說明理由.解：(1)由已知可知： a4=k 1 , ak 2, a6k 4 -.k把數(shù)列an的項代入 bn二別 壬，求得 bb2 , b2二 b4二空1;an4!kk * anan 1*(2)由an1-二(rr3,n N )，可知：a.Qn/=k - a.an.則：an 2an丄=kan 1an有：anan 2a2 n，即:an +anla1a3小6n_b2n _3 _b1 -3=2 ,a2,4k +1(J)n.bna42k 1(3)假設(shè)存在正數(shù) k，使得數(shù)列an的每一項均為整數(shù),則由a2n 1=2a2n- a2n 1(2)可知：2k 1，a2n 1 _a2n由 a12= k：=Z ,a6

18、=k 4 Z，可知k =1, 2.k2k+1當(dāng)k -1時，竺丄=3為整數(shù)，利用 a1, a2, a3Z，結(jié)合式，可知%的每一項均為整數(shù);a2n 1=2a2 n_a2 n1當(dāng)k =2時，變?yōu)?，a2n 2=2a2n 1-a2n用數(shù)學(xué)歸納法證明a2n 1為偶數(shù)，a2n為整數(shù).n =1時，結(jié)論顯然成立，假設(shè)n二k時結(jié)論成立，這時 a?.為偶數(shù)，a?n為整數(shù),故 a2n 1=2a2n-a2n丄為偶數(shù),a2n 2為整數(shù)，.n k 1時，命題成立.故數(shù)列an是整數(shù)列.綜上所述，k 為 1, 2 時，數(shù)列an是整數(shù)列.20.(本小題滿分 16 分)設(shè)函數(shù) f (x) =(x -a)lnx -x a ,a：=

19、R.bn= bn Jan 2頁16第解：(1)當(dāng)a =0時，f (x) =xlnx - x , f (x)=1nx ,令 f (x) =0 , x=1，列表分析x(0,1)1(1,Sf (x)0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增故 f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,;) a(2) f(x)=(x_a)lnxx a， f (x) =1 nx，其中x 0，x1令 g(x) =xlnx _a ,分析 g(x)的零點情況.g (x) =1 nx 1，令 g (x) =0 , x =-，列表分析ex1(0,) e1 e(丄，gegr(x)0+g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增g(X)min ga，

20、e e而 f C)=1 n1-ae -1 -ae,f(e) =_2 ae3二-(2ae2)， f(e2)=2 -衛(wèi)(2e2- a)，e ee2 e21若 a, 1，貝 U f (x) =1 nx a0 ,ex故 f (x)在(e2,e2)內(nèi)沒有極值點；_!亠 1 2 1 12 2 222右a，貝 U f ( ) =ln ae：0 ,f (e) -(2 ae ) 0, f (e )(2e - a) 0 ,ee2e ee因此 f (x)在(e,e )有兩個零點，f(x)在(e,e )內(nèi)有兩個極值點；32 2當(dāng)a, 0)時，f(x)在(e,e )內(nèi)有一個極值點.e2(3)猜想:x (1,1 a) ,

21、 f(x)：a-1 恒成立.證明如下：1由(2)得 g(x)在(丄，：)上單調(diào)遞增，且g(1) =a：0, g(1 a(V a)ln(1 a)-a .e(1)若a =0,求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a：0，試判斷函數(shù) f (x)在區(qū)間(e,e2)內(nèi)的極值點的個數(shù)，并說明理由;(3)求證：對任意的正數(shù) a,都存在實數(shù) t,滿足：對任意的(t,t a), f(x)：a-1.頁17第3若一,a：0 ,則 f 山=1 n1-ae：0,f(ej二-(2 ae2),0, f(e2)= (2e2-a) 0 ,e2e ee2因此 f (x)在(e,e2)有一個零點，f(x)在(e,e2)內(nèi)有一個極值點

22、；綜上所述，當(dāng)a (-:,丄時，f(x)在(e,e2)內(nèi)沒有極值點；e當(dāng)a(-1,-)時，f (x)在(e,)內(nèi)有兩個極值點；e e2頁18第1 1因為當(dāng)x 1時，Inx1(*)，所以 g(1 a) (1 a)(1) a = 0 -xa+1故 g(x)在(1,1 a)上存在唯一的零點，設(shè)為x0.由x(1,X。)X。(X0, 1+a)f (x)0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增知，x 壬(1,1+a) , f (x) ：max f (1), f1 )a.又 f (1 a) = In (1 川-a) -1，而x 1時，Inx : x -1(*),所以 f (1 a)：(a 1) _1 _1 二 a _1

23、 二 f ( 1).即 x 門(1,1 a), f (x) : a -1.所以對任意的正數(shù) a ,都存在實數(shù)t =1，使對任意的(t,t a)，使 f(x) :：:a -1 .補(bǔ)充證明(*):111x _1令 F(x)=lnx 1 , x-1 . F (x)-0 ,xxx2x2所以 F(x)在1 ,:：)上單調(diào)遞增.所以x .1時，F(xiàn)(x) F (1)=0,即 inx .1 -丄.x補(bǔ)充證明(*)1令 G(x) =1 nx -x 1 , xT . G (x)1, 0 ,x所以 G(x)在1，:：)上單調(diào)遞減.所以x時,G(x) : G (1) = 0 ,即Inx：: x-1 .頁19第海安中學(xué)

24、 2020 屆高三階段測試三數(shù)學(xué)附加題21.選做題，本題包括三小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)區(qū)域作答a b1=十一十,+A.已知二階矩陣A =，矩陣A屬于特征值i1 的一個特征向量為印=，屬于特征值 2=4 的一cd-13個特征向量為 a1=.求矩陣A.2解：由特征值、特征向量定義可知，= M：-1 ,即a b 11=-11，得a比1H_c d.卜 1.|L1_-1c - d =13a 2b =12同理可得解得a =2,b =3,c =2,d =1.3c+2d=8，因此矩陣A =2 3.2 1B .在極坐標(biāo)系中，已知 A（ 1， ） , B（ 9, ），線段AB的垂直平分線I與極軸交于點C，求

25、I的極33坐標(biāo)方程及ABC的面積.解：由題意，線段AB的中點坐標(biāo)為（5,）,3設(shè)點 P （,為為直線I上任意一點，在直角三角形OMP中，cos（r 一一）=5 ,3所以，I的極坐標(biāo)方程為 cos（d 一一）=5 ,3令 V -0,得 T =10，即 C（10,0） . （8 分）1皐l所以，ABC的面積為：一（9-1） 10 sin-=20.3 .23頁20第22.已知實數(shù) a, b 滿足 |a b|, 2，求證：|a2 2a -b22b |, 4（|a| 2）.證明：由 |b|a| 剟 |a b| 2，可得 |b|, |a| 2 ,頁21第|a22a _b22b |#(a b)(a _b)

26、2(a b)|彳 a b|ja -b 2|, 2|a -b 2 |,要證|a22a -b22b|, 4(|a| 2), 即證 |a _b 2|, 2(|a| 2), 由于 |b 2|, |a| |b| 2,即證 |a|b| 2, 2(|a| 2),即為|b|, |a| 2，顯然成立.故原不等式成立.23如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知棱AB,AD,AP兩兩垂直，長度分別為 1, 2, 2.若 DC 啟,且向量 PC 與 BD 夾角的余弦值為 二5.15(1)求實數(shù)的值；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.解：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,AP為 x ,y, z 軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系;+ T則：A(0 , 0, 0) , B(1 , 0, 0) , D(0 , 2, 0) , P(0 , 0, 2) ; DC AB , 可得 C( , 2, 0).(1)PC =( , 2, -2) , BD =(-1 , 2, 0)，向量 PC 與 BD 夾角的余弦值為 .15 可得：-春，解得=10(舍去)或，=2.1528L 14實數(shù)的值為 2.;TIT