楊輝三角60320

1、楊輝三角（1）內(nèi)容分析 本課的主要內(nèi)容是總結(jié)楊輝三角的三個(gè)基本性質(zhì)及研究發(fā)現(xiàn)楊輝三角橫行的若干規(guī)律。楊輝三角的三個(gè)基本性質(zhì)主要是二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)即組合數(shù)的性質(zhì)，它是研究楊輝三角其他規(guī)律的基礎(chǔ)。楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行各數(shù)之間的大小關(guān)系。組合關(guān)系以及不同橫行數(shù)字之間的聯(lián)系。研究性課題，主要是針對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入探討，或者從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行研究。目的在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。它要求教師給學(xué)生提供研究的問(wèn)題及背景，讓學(xué)生自主探究知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)。從問(wèn)題的提出、探索的過(guò)程及猜想的建立均主要由學(xué)生自主完成，教師不可代替，但作為組織者，

2、可提供必要指導(dǎo)。教師首先簡(jiǎn)介楊輝三角的相關(guān)歷史，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和創(chuàng)造欲望，然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)有關(guān)楊輝三角的基本知識(shí)（研究的基礎(chǔ)）及介紹發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律的主要方法（研究的策略），并類比數(shù)列的通項(xiàng)及求和，讓學(xué)生對(duì)n階楊輝三角進(jìn)行初步的研究嘗試活動(dòng)，讓學(xué)生充分展開(kāi)思維進(jìn)入研究狀態(tài)。以下主要分小組合作研究楊輝三角的橫行數(shù)字規(guī)律，重點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不必在課堂上證明。 1用電腦展示賈憲三角圖、朱泄杰的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖（附后），同時(shí)播放用古代民族樂(lè)器演奏的音樂(lè)。教師介紹楊輝三角的簡(jiǎn)史：北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在詳解九章算法（1961年）記載并

3、保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒（1303年）擴(kuò)充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在13歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”。 2用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發(fā)給學(xué)生。對(duì)照楊輝三角，回顧高二下學(xué)期學(xué)過(guò)的楊輝三角的構(gòu)造及基本性質(zhì)，并由學(xué)生敘述。1°與二項(xiàng)式定理的關(guān)系：楊輝三角的第n行就是二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)列。2°對(duì)稱性：楊輝三角中的數(shù)字左、右對(duì)稱，對(duì)稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”，即。3°結(jié)構(gòu)特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和，即。（二）分組研究楊

4、輝三角橫行規(guī)律（將全班學(xué)生按前后排四或五人一組分成若干研究小組）1介紹數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法：楊輝三角中蘊(yùn)涵了許多優(yōu)美的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學(xué)家如賈憲、楊輝、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過(guò)，并將研究結(jié)果應(yīng)用于其他工作。他們研究的方法可以歸納為：  15階楊輝三角2學(xué)生嘗試探索活動(dòng)。（1）n階楊輝三角中共有多少個(gè)數(shù)？（2）n階楊輝三角的通項(xiàng)公式是什么？即n階楊輝三角中的第k行第r個(gè)數(shù)是什么？（3）n階楊輝三角的第k行各數(shù)的和是多少？所有數(shù)的和是多少？學(xué)生獨(dú)立思考后，由學(xué)生發(fā)言，得出結(jié)論。n階楊輝三角中共有個(gè)數(shù)，第n+2行第3個(gè)數(shù)；通項(xiàng)公式為，。3按研究橫行數(shù)字規(guī)律的方向開(kāi)展研究工作，

5、工作的重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師巡視指導(dǎo)，必要時(shí)可參與某小組的討論活動(dòng)。最后由小組代表陳述研究結(jié)果及建立猜想的大致思路。（1）楊輝三角的第2k行中第k個(gè)數(shù)最大；即；第2k1行中第是k個(gè)數(shù)與第kl個(gè)數(shù)相等且最大，即；2k階楊輝三角中最大數(shù)為，2k1階楊輝三角中的最大數(shù)為。  （2）楊輝三角中第行的所有數(shù)都是奇數(shù)（kN*），即為奇數(shù)（m=0，1，）；第行的所有數(shù)（除兩端的1以外）都是偶數(shù)（kN*），即為偶數(shù)（r=1，2，）；其他行的所有數(shù)中，一定既有偶數(shù)又有除1以外的奇數(shù)。（3）第p（p為素?cái)?shù)）行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除，其逆命題也成立。即對(duì)任意r1，2，n-1，都有是素?cái)?shù)。（

6、4）將第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于。（5）第2n行的第n個(gè)數(shù)是第2n-1行的第n-1個(gè)數(shù)的2倍，即。如圖，每一幅小圖中的圓的個(gè)數(shù)及圓上的點(diǎn)、線段、三角形、四邊形、五邊形、六邊形的數(shù)目有一定的變化規(guī)律，研究楊輝三角，你能找出兩者間的關(guān)系嗎？  附（1）：證明：當(dāng)時(shí)，是奇數(shù)。證明：對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)m，都存在唯一的自然數(shù)與正奇數(shù)，使。設(shè)，。當(dāng)時(shí)，上式的分子、分母都是奇數(shù)，且分式值是正整數(shù)，是奇數(shù)。附（2）： 楊輝三角（2）內(nèi)容分析1從研究平行于楊輝三角形“兩腰”的斜邊上的數(shù)字規(guī)律的過(guò)程中，我們可以發(fā)現(xiàn)朱世杰恒等式：。這個(gè)規(guī)律其實(shí)是楊輝三角第三

7、條基本性質(zhì)的推廣形式。應(yīng)用朱世杰恒等式，可以求出的和式值。2研究經(jīng)過(guò)兩數(shù)，或的斜邊上的數(shù)字規(guī)律，可以得到著名的斐波那契數(shù)列。由斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得組合數(shù)的性質(zhì)：，。3將階楊輝三角形中去掉所有的偶數(shù)，剩下的圖形類似于分形幾何中的謝爾賓斯基三角形（如圖），這種三角形是研究自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象（海岸線性狀、大氣運(yùn)動(dòng)、海洋湍流、野生生物群體漲落，乃至股市升降等）的嶄新教學(xué)工具。  4教科書(shū)中的正六棱柱形木板滾球?qū)嶒?yàn)說(shuō)明楊輝三角與概率統(tǒng)計(jì)之間存在聯(lián)系。講授時(shí)，老師應(yīng)制作一個(gè)教具，并用16個(gè)小球。做實(shí)驗(yàn)若干次，然后引導(dǎo)學(xué)生挖掘?qū)嶒?yàn)結(jié)果與楊輝三角之間的關(guān)系，并用排列組合知識(shí)

8、與概率知識(shí)加以解釋。1用電腦展示8階楊輝三角圖，以備用上節(jié)課主要是研究楊輝三角橫行的數(shù)字規(guī)律，這節(jié)課首先來(lái)研究斜行的數(shù)字規(guī)律（如圖）。  2學(xué)生分小組研究，得出的結(jié)果可能是：（1）n階楊輝三角形的第k+1條斜邊上的數(shù)（從左到右，從上到下）組成的數(shù)列是：。（2）上述數(shù)列的和為：。3引導(dǎo)學(xué)生證明上述等式，并介紹有關(guān)朱世杰研究上述組合數(shù)恒等式的情況（1）證明過(guò)程： （2）朱世杰問(wèn)題（如象招數(shù)問(wèn)題）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉(zhuǎn)多一尺，今招十五日，問(wèn)招兵幾何？用數(shù)列語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是：第k日招兵，共招n日，一共招兵多少？問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求和： 。4引導(dǎo)學(xué)生觀察8階楊輝三角表。研究圖中

9、標(biāo)出的斜行各數(shù)之間的關(guān)系（1）將各斜邊的數(shù)字相加后按從上而下的順序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。（2）研究上述數(shù)列的規(guī)律后，可以猜測(cè)：無(wú)窮階楊輝三角類似的數(shù)列為：（3）引導(dǎo)學(xué)生將表示成組合數(shù)的和，并證明。，根據(jù)楊輝三角的基本性質(zhì)3可以推出。（4）指出上述數(shù)列是斐波那契數(shù)列，該數(shù)列有廣泛應(yīng)用。5觀察下圖15階楊輝三角中，各小正三角形內(nèi)的數(shù)有什么特點(diǎn)？并推廣到階楊輝三角中 （1）（自上而下）第k個(gè)正三角形內(nèi)的數(shù)都是偶數(shù)，即都是偶數(shù)（kN*）。（2）第k個(gè)正三角形兩腰外的第一條斜邊上的數(shù)都是奇數(shù)，即都是奇數(shù)（kN*）。這條性質(zhì)和上節(jié)課推出的性質(zhì)“第行上的所有數(shù)中既有偶數(shù)也

10、有非1的奇數(shù)”相吻合。（3）階楊輝三角中，偶數(shù)與奇數(shù)，哪個(gè)更多？階楊輝三角中，共有個(gè)奇數(shù)，共有個(gè)偶數(shù)（kN*），試比較與的大?。粽n外思考）。6演示實(shí)驗(yàn)教師或?qū)W生將16個(gè)均勻小球逐個(gè)平穩(wěn)地放入如圖的教具內(nèi)。統(tǒng)計(jì)最后各個(gè)矩形框內(nèi)的小球個(gè)數(shù)。連續(xù)做三次實(shí)驗(yàn)，分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果；并將結(jié)果推廣到有n+1層的教具，個(gè)小球的情形，并給出合理解析。（1）設(shè)小球從第一層落入第n層下面的第k個(gè)矩形框的通道條數(shù)為F（n，k），則根據(jù)教具的對(duì)稱性及小球的均勻性，可建立如下遞推模式：F（1，1）=1，F(xiàn)（n，k）=F（n，n-k+1），F(xiàn)（n+1，k）=F（n，k-1）+F（n，k），k=1，2，n+1，規(guī)定F（n，0）=F（n，n+1）=0（nN*）。    類比楊輝三角形的基本性質(zhì)：可猜測(cè)：。（可以用數(shù)列方法證明結(jié)論為真，留課后思考）故在理想狀態(tài)下，個(gè)小球從第一層落到第n層，從左到右各矩