高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)求空間距離

1、 難點(diǎn)難點(diǎn) 28 關(guān)于關(guān)于求空間距離求空間距離 空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線(xiàn)、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離. 難點(diǎn)磁場(chǎng) ()如圖，已知 ABCD 是矩形，AB=a,AD=b,PA平面 ABCD，PA=2c,Q 是 PA 的中點(diǎn). 求：(1)Q 到 BD 的距離； (2)P 到平面 BQD 的距離. 案例探究 例 1把正方形 ABCD 沿對(duì)角線(xiàn) AC 折起成直二面角，點(diǎn) E、F 分別是 AD、BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的長(zhǎng)； (2)折起后EOF 的大小. 命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決立體幾何問(wèn)題

2、，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公式. 錯(cuò)解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系.其中必須保證 x軸、y 軸、z 軸兩兩互相垂直. 技巧與方法：建系方式有多種，其中以 O 點(diǎn)為原點(diǎn)，以O(shè)B、OC、OD的方向分別為 x 軸、y 軸、z 軸的正方向最為簡(jiǎn)單. 解： 如圖， 以 O 點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,設(shè)正方形 ABCD 邊長(zhǎng)為 a,則 A(0，22a,0),B(22a,0,0),C(0, 22a,0),D(0,0, 22a),E(0,42a, a),F(42a, 42a,0) 21|,cos,2| ,2|8042)42)(42(420)0 ,42,42(),42,42

3、, 0()2(23,43)420()4242()042(| ) 1 (22222OFOEOFOEOFOEaOFaOEaaaaaOFOEaaOFaaOEaEFaaaaaEF EOF=120 例 2正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1，求異面直線(xiàn) A1C1與 AB1間的距離. 命題意圖：本題主要考查異面直線(xiàn)間距離的求法，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：求異面直線(xiàn)的距離，可求兩異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)，或轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)面距離，或面面距離，亦可由最值法求得. 錯(cuò)解分析：本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為 O1B 是 A1C 與 AB1的距離，這主要是對(duì)異面直線(xiàn)定義不熟悉，異面直線(xiàn)的距離是與兩條異面直線(xiàn)垂直相交的直線(xiàn)上垂足間的距離.

4、技巧與方法：求異面直線(xiàn)的距離，有時(shí)較難作出它們的公垂線(xiàn)，故通常采用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)面距、面面距、或由最值法求得. 解法一：如圖，連結(jié) AC1，在正方體 AC1中，A1C1AC,A1C1平面 AB1C，A1C1與平面 AB1C 間的距離等于異面直線(xiàn) A1C1與 AB1間的距離. 連結(jié) B1D1、BD，設(shè) B1D1A1C1=O1,BDAC=O ACBD，ACDD1，AC平面 BB1D1D 平面 AB1C平面 BB1D1D，連結(jié) B1O，則平面 AB1C平面 BB1D1D=B1O 作 O1GB1O 于 G，則 O1G平面 AB1C O1G 為直線(xiàn) A1C1與平面 AB1C 間的距離，即為異面直線(xiàn)

5、 A1C1與 AB1間的距離. 在 RtOO1B1中，O1B1=22，OO1=1，OB1=21121BOOO= 26 O1G=331111OBBOOO，即異面直線(xiàn) A1C1與 AB1間距離為33. 解法二：如圖，在 A1C 上任取一點(diǎn) M，作 MNAB1于 N，作 MRA1B1于 R，連結(jié) RN， 平面 A1B1C1D1平面 A1ABB1，MR平面 A1ABB1，MRAB1 AB1RN，設(shè) A1R=x,則 RB1=1x C1A1B1=AB1A1=45， MR=x,RN=NB1=)1 (22x 31)31(23)1 (2122222xxxRNMRMN(0 x1) 當(dāng) x=31時(shí)，MN 有最小值3

6、3即異面直線(xiàn) A1C1與 AB1距離為33. 錦囊妙記 空間中的距離主要指以下七種： (1)兩點(diǎn)之間的距離. (2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離. (3)點(diǎn)到平面的距離. (4)兩條平行線(xiàn)間的距離. (5)兩條異面直線(xiàn)間的距離. (6)平面的平行直線(xiàn)與平面之間的距離. (7)兩個(gè)平行平面之間的距離. 七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，平行線(xiàn)面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離. 在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線(xiàn)間的距離是難點(diǎn). 求點(diǎn)到平面的距離：(1)直接法

7、，即直接由點(diǎn)作垂線(xiàn)，求垂線(xiàn)段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離.(3)體積法. 求異面直線(xiàn)的距離：(1)定義法，即求公垂線(xiàn)段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)化成求直線(xiàn)與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線(xiàn)的距離是分別在兩條異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離中最小的. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.()正方形 ABCD 邊長(zhǎng)為 2，E、F 分別是 AB 和 CD 的中點(diǎn)，將正方形沿 EF折成直二面角(如圖)，M 為矩形 AEFD 內(nèi)一點(diǎn)，如果MBE=MBC，MB 和平面 BCF 所成角的正切值為21，那么點(diǎn) M 到直線(xiàn) EF 的距離為( ) 21 D. 23C. B.1 22A. 2.()三棱柱 AB

8、CA1B1C1中， AA1=1， AB=4， BC=3， ABC=90,設(shè)平面 A1BC1與平面 ABC 的交線(xiàn)為 l，則 A1C1與 l 的距離為( ) A.10 B.11 二、填空題 3.()如左下圖，空間四點(diǎn) A、B、C、D 中，每?jī)牲c(diǎn)所連線(xiàn)段的長(zhǎng)都等于 a，動(dòng)點(diǎn) P 在線(xiàn)段 AB 上，動(dòng)點(diǎn) Q 在線(xiàn)段 CD 上，則 P 與 Q 的最短距離為_(kāi). 4.()如右上圖，ABCD 與 ABEF 均是正方形，如果二面角 EABC 的度數(shù)為 30，那么 EF 與平面 ABCD 的距離為_(kāi). 三、解答題 5.()在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖： (1)求證

9、：平面 A1BC1平面 ACD1； (2)求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離； (3)求點(diǎn) B1到平面 A1BC1的距離. 6.()已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，點(diǎn) E 在棱 D1D 上，截面 EACD1B 且面 EAC 與底面 ABCD 所成的角為 45,AB=a,求： (1)截面 EAC 的面積； (2)異面直線(xiàn) A1B1與 AC 之間的距離； (3)三棱錐 B1EAC 的體積. 7.()如圖，已知三棱柱 A1B1C1ABC 的底面是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，側(cè)棱 A1A 與 AB、AC 均成 45角，且 A1EB1B 于 E，A1FCC1于 F. (1)求點(diǎn) A 到平面 B1BCC1

10、的距離； (2)當(dāng) AA1多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn) A1到平面 ABC 與平面 B1BCC1的距離相等. 8.()如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=2,AB= 31AD=a, ADC=arccos552,PA面 ABCD 且 PA=a. (1)求異面直線(xiàn) AD 與 PC 間的距離； (2)在線(xiàn)段 AD 上是否存在一點(diǎn) F，使點(diǎn) A 到平面 PCF 的距離為36. 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) 解：(1)在矩形 ABCD 中，作 AEBD，E 為垂足 連結(jié) QE，QA平面 ABCD，由三垂線(xiàn)定理得 QEBE QE 的長(zhǎng)為 Q 到 BD 的距離 在矩形 ABCD 中，AB=a,AD=b, AE=22baab

11、在 RtQAE 中，QA=21PA=c QE=22222babac Q 到 BD 距離為22222babac. (2)解法一：平面 BQD 經(jīng)過(guò)線(xiàn)段 PA 的中點(diǎn)， P 到平面 BQD 的距離等于 A 到平面 BQD 的距離 在AQE 中，作 AHQE，H 為垂足 BDAE,BDQE,BD平面 AQE BDAH AH平面 BQE，即 AH 為 A 到平面 BQD 的距離. 在 RtAQE 中，AQ=c,AE=22baab AH=22222)(bacbaabc P 到平面 BD 的距離為22222)(bacbaabc 解法二：設(shè)點(diǎn) A 到平面 QBD 的距離為 h，由 VABQD=VQABD,得

12、31SBQDh=31SABDAQ h=22222)(bacbaabcSAQSBQDABD 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：過(guò)點(diǎn) M 作 MMEF,則 MM平面 BCF MBE=MBC BM為EBC 為角平分線(xiàn)， EBM=45,BM=2,從而 MN=22 答案：A 2.解析：交線(xiàn) l 過(guò) B 與 AC 平行，作 CDl 于 D，連 C1D，則 C1D 為 A1C1與 l 的距離，而 CD 等于 AC 上的高，即 CD=512,RtC1CD 中易求得 C1D=513=2.6 答案：C 二、3.解析：以 A、B、C、D 為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取 P、Q分別為 AB、CD 的中點(diǎn)，因?yàn)?/p>

13、 AQ=BQ=22a,PQAB,同理可得 PQCD，故線(xiàn)段 PQ 的 長(zhǎng)為 P、 Q 兩點(diǎn)間的最短距離， 在 RtAPQ 中， PQ=22)2()23(2222aaAPAQa 答案：22a 4.解析： 顯然FAD是二面角EABC的平面角， FAD=30,過(guò) F作 FG平面ABCD于 G，則 G 必在 AD 上，由 EF平面 ABCD. FG 為 EF 與平面 ABCD 的距離，即 FG=2a. 答案：2a 三、5.(1)證明：由于 BC1AD1，則 BC1平面 ACD1 同理，A1B平面 ACD1，則平面 A1BC1平面 ACD1 (2)解：設(shè)兩平行平面 A1BC1與 ACD1間的距離為 d，

14、則 d 等于 D1到平面 A1BC1的距離.易求 A1C1=5， A1B=25， BC1=13， 則 cosA1BC1=652,則 sinA1BC1=6561,則 S111CBA=61,由于111111DCABBCADVV，則31S11BCAd=)21(31111DCADBB1,代入求得 d=616112,即兩平行平面間的距離為616112. (3)解：由于線(xiàn)段 B1D1被平面 A1BC1所平分，則 B1、D1到平面 A1BC1的距離相等，則由(2)知點(diǎn) B1到平面 A1BC1的距離等于616112. 6.解：(1)連結(jié) DB 交 AC 于 O，連結(jié) EO， 底面 ABCD 是正方形 DOAC

15、，又 ED面 ABCD EOAC，即EOD=45 又 DO=22a，AC=2a，EO=45cosDO=a，SEAC=22a (2)A1A底面 ABCD，A1AAC，又 A1AA1B1 A1A 是異面直線(xiàn) A1B1與 AC 間的公垂線(xiàn) 又 EOBD1，O 為 BD 中點(diǎn)，D1B=2EO=2a D1D=2a，A1B1與 AC 距離為2a (3)連結(jié) B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q，推證出 B1D面 EAC B1Q 是三棱錐 B1EAC 的高，得 B1Q=23a 32422322311aaaVEACB 7.解：(1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1 BB1平面 A1EF 即面

16、A1EF面 BB1C1C 在 RtA1EB1中， A1B1E=45，A1B1=a A1E=22a,同理 A1F=22a,又 EF=a，A1E=22a 同理 A1F=22a,又 EF=a EA1F 為等腰直角三角形，EA1F=90 過(guò) A1作 A1NEF，則 N 為 EF 中點(diǎn)，且 A1N平面 BCC1B1 即 A1N 為點(diǎn) A1到平面 BCC1B1的距離 A1N=221a 又AA1面 BCC1B，A 到平面 BCC1B1的距離為2a a=2，所求距離為 2 (2)設(shè) BC、B1C1的中點(diǎn)分別為 D、D1，連結(jié) AD、DD1和 A1D1，則 DD1必過(guò)點(diǎn) N，易證ADD1A1為平行四邊形. B1

17、C1D1D,B1C1A1N B1C1平面 ADD1A1 BC平面 ADD1A1 得平面 ABC平面 ADD1A1，過(guò) A1作 A1M平面 ABC，交 AD 于 M， 若 A1M=A1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90 AMA1A1ND1,AA1=A1D1=3,即當(dāng) AA1=3時(shí)滿(mǎn)足條件. 8.解：(1)BCAD,BC面 PBC,AD面 PBC 從而 AD 與 PC 間的距離就是直線(xiàn) AD 與平面 PBC 間的距離. 過(guò) A 作 AEPB，又 AEBC AE平面 PBC，AE 為所求. 在等腰直角三角形 PAB 中，PA=AB=a AE=22a (2)作 CMAB，由已知 c

18、osADC=552 tanADC=21,即 CM=21DM ABCM 為正方形，AC=2a,PC=3a 過(guò) A 作 AHPC,在 RtPAC 中，得 AH=36 下面在 AD 上找一點(diǎn) F，使 PCCF 取 MD 中點(diǎn) F，ACM、FCM 均為等腰直角三角形 ACM+FCM=45+45=90 FCAC,即 FCPC在 AD 上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn) F. 學(xué)法指導(dǎo)立體幾何中的策略思想及方法 立體幾何中的策略思想及方法 近年來(lái)，高考對(duì)立體幾何的考查仍然注重于空間觀點(diǎn)的建立和空間想象能力的培養(yǎng).題目起點(diǎn)低，步步升高，給不同層次的學(xué)生有發(fā)揮能力的余地.大題綜合性強(qiáng)，有幾何組合體中深層次考查空間的線(xiàn)面關(guān)系.因此，高考復(fù)習(xí)應(yīng)在抓好基本概念、定理、表述語(yǔ)言的基礎(chǔ)上， 以總結(jié)空間線(xiàn)面關(guān)系在幾何體中的確定方法入手， 突出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，并積極探尋解答各類(lèi)立體幾何問(wèn)題的有效的策略思想及方法. 一、領(lǐng)悟解題的基本策略思想 高考改革穩(wěn)中有變.運(yùn)用基本數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化，類(lèi)比，函數(shù)觀點(diǎn)仍是考查中心，選擇好典型例題， 在基本數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下， 歸納一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學(xué)生歡迎的，學(xué)生通過(guò)熟練運(yùn)用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，解決一般基本數(shù)學(xué)問(wèn)題就會(huì)自然流暢. 二、探尋立體幾何圖形中的基面 立體幾何圖