最短路徑模型

1、最短路徑模型旋轉(zhuǎn)最值類 基本模型圖:當(dāng)點P是O外一點，直線PO分別交O于點A、B兩點，則線段PA的長是點P到O的最短距離，線段PB的長是點P到O上的點的最長距離. 當(dāng)點P是O內(nèi)一點，直線PO分別交O于點A、B，則線段PA的長是點P到O上的點的最短距離，線段PB的是點P到O上的點的最長距離.總結(jié)：用旋轉(zhuǎn)思想解決線段最值問題的本質(zhì)是利用 三角形三邊關(guān)系 解決問題.特點：旋轉(zhuǎn)類最值一般涉及到平面上一定點到圓上一動點的最大值（或最小值），屬于單動點問題，有時動點的運動路徑圓（或圓?。┎⒉恢苯咏o出，此時需要根據(jù)條件把“隱圓”勾畫出來，具體來說“隱圓”一般有如下呈現(xiàn)方式： 定點定長 ； 定弦定角 .【典例

2、1】如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動點，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連結(jié)BD，則BD的最小值是（ ）A B.6 C. D.4 【典例2】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AEDF，連接CF交BD于點G，連結(jié)BE交AG于點H，若正方形的邊長是2，則線段DH長度的最小值是 . 【針對訓(xùn)練 】1. 如圖，在ABC中，ACB90°，AC2，BC1，點A，C分別在x軸，y軸上，當(dāng)點A在軸正半軸上運動時，點C隨之在軸上運動，在運動過程中，點B到原點O的最大距離為（ ）.A B C D3 2.如圖，在矩形ABCD中，AB4，

3、BC6，E是矩形內(nèi)部的一個動點，且AEBE，則線段CE的最小值為（ ）.A B. C. D.43. 如圖，在ABC中，AB10，AC8，BC6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P、Q分別是邊BC和半圓上的運點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是（ ）.A.6 B. C.9 D. 4.如圖，AC3，BC5，且BAC90°，D為AC上一動點，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點，連CE，則CE的最小值為（ ）.A. B. C.5 D.5如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是BC邊上的動點，BFAE交CD于點F，垂足為G，連結(jié)CG，則CG的最小值為（ ）A B C. D

4、. 6如圖，ABC、EFG是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FG相交于點M，當(dāng)EFG繞點D旋轉(zhuǎn)時，線段BM長的最小值是 A B C. D. 7如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，A60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到AMN，連結(jié)AC，則AC長度的最小值是 . 8如圖，ABC為等邊三角形，AB=2，若點P為ABC內(nèi)一動點，且滿足PAB=ACP，則線段PB長度的最小值為 9.如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點（點M不與B，C重合），CNDM，CN與AB交于點N，連接OM，ON，MN下列

5、五個結(jié)論：CNBDMC；CONDOM；OMNOAD；AN2+CM2=MN2；若AB=2，則SOMN的最小值是，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A2B3C4D510.如圖，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足PAB=PBC，則線段CP長的最小值為（）AB2CD11.二次函數(shù)，當(dāng)mxn且mn0時，y的最小值為2m，最大值為2n，則m+n的值為（）AB2CD12.如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結(jié)PA、PB則PAB面積的最大值是（）A8 B12 C D13.如圖，菱形ABCD的邊AB=8，B=60

6、6;，P是AB上一點，BP=3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點A當(dāng)CA的長度最小時，CQ的長為（）A5B7C8D14.將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖所示放置，點D在AB邊上，DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點，若CA=5，AB=6，AB=1：3，則MD+的最小值為 15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A的圓心A的坐標(biāo)為（1，0），半徑為1，點P為直線上的動點，過點P作A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是 16.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將AEF沿EF所

7、在直線翻折，得到AEF，則AC的長的最小值是 17.如圖所示，已知點C（1，0），直線y=x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，D，E分別是AB，OA上的動點，則CDE周長的最小值是 18.如圖，APB中，AB=2，APB=90°，在AB的同側(cè)作正ABD、正APE和正BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是 19.如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于點O，點E是上的一動點（不與A、B重合），點F是上的一點，連接OE、OF，分別與AB、BC交于點G，H，且EOF=90°，有以下結(jié)論：；OGH是等腰三角形；四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；GBH周長的最小值為其中正確的

8、是 （把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）20.如圖，等腰ABC中，CA=CB=4，ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ，給出下列結(jié)論：CD=CP=CQ；PCQ的大小不變；PCQ面積的最小值為；當(dāng)點D在AB的中點時，PDQ是等邊三角形，其中所有正確結(jié)論的序號是 21.如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是 22.如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2對折矩形紙片ABCD，使AD與B

9、C重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G有如下結(jié)論：ABN=60°；AM=1；QN=；BMG是等邊三角形；P為線段BM上一動點，H是BN的中點，則PN+PH的最小值是其中正確結(jié)論的序號是 23.如圖，AOB=30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分AOB，且OP=6，當(dāng)PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為 24.如圖，在O中，直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點N，連接AC，點E在AB上，且AE=CE（1）求證：AC2=AEAB；（2）過點B作O的切線交EC的延長線于點P，試判斷PB與PE是否相等，并說明理由；（3）設(shè)O半徑為4，點N為OC中點，點Q在O上，求線段PQ的最小值25.如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB（1）求證：EFAG；（2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EFAG是否成立（只寫結(jié)果，不需說明理由）？（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點，當(dāng)，求PAB周長的最小值26.在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上