求一階微分方程積分因子的一些方法

1、求一階微分方程積分因子的一些方法付開祥 指導(dǎo)老師：李拓（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅張掖 734000）摘 要 本文給出了求一階微分方程積分因子的一些方法，從而解決了求某些一階微分方程通解的問題對(duì)一些特殊類型的方程分別給出了求積分因子的特殊方法，并給出實(shí)例說明用積分法求解微分方程的具體方法關(guān)鍵詞 恰當(dāng)方程；積分因子；分組組合法；比較系數(shù)法；待定系數(shù)法中圖分類號(hào) H007.1For first order differential equation of integral factor some methodsAbstract: This article gives a new defin

2、ition of complex integrating factor about first order ordinary differential equation and a new existence theorem of a type of integral factor and calculation formual, and the resuct in this paper amplifies the conclusions in the relevant referenceKey words:Properly equation；Integral factor；Group gro

3、up legal；More coefficient method；Undetermined coefficient method1 引言 對(duì)于一個(gè)恰當(dāng)微分方程可以通過積分的方法求出它的通解，而一個(gè)非恰當(dāng)微分方程是不能通過積分求解的，因此能否將一個(gè)非恰當(dāng)常微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)恰當(dāng)微分方程就有很大意義1,2,3 給出了積分因子的定義和求法定義1 我們可以將一階方程寫成微分方程的形式 (1)如果方程(1)左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即則稱該方程為恰當(dāng)微分方程定義2 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，則稱為方程的積分因子引理 方程(1)有只與x有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為引理

4、 方程(1)有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為本文將給出求一階微分方程積分因子的另外一些方法，從而使解決求某些非恰當(dāng)微分方程通解的問題簡單化 2 主要結(jié)論及其證明定理 若方程性有兩個(gè)積分因子和 ，且不恒等于常數(shù)，則該方程的通解為= （c任意常數(shù)） 證明 是方程的積分因子，故可求得可微函數(shù)，使得則 是方程的解根據(jù)結(jié)論，我們得到這里是的可微函數(shù)由上式可得，即 由于我們已經(jīng)知道 是方程的解故也是方程的解變形上式后，這就證明了 是方程通解定理 方程 具有形如 的積分因子的充要條件是 證明 必要性 若方程有形如的積分因子，則是恰當(dāng)微分方程從而令，則 ,所以 變形為即因此 充分性 顯然成立所

5、以，當(dāng)時(shí)，可以求出，所以方程具有形為的積分因子的充要條件為定理 方程 具有形如 的積分因子的充要條件是 證明 令，則，方程 具有的積分因子的充要條件是即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，可以求出的表達(dá)式所以，方程具有形為的積分因子的充要條件為3 應(yīng)用舉例例 求方程的解.解 由于，則，因此該方程不是恰當(dāng)微分方程因?yàn)?，所以方程有形如的積分因子將乘方程兩邊，得到即因而，通解為 ,（c任意常數(shù)）例 求方程的解解 這里，方程是非恰當(dāng)?shù)囊驗(yàn)?，所以方程有積分因子,以乘方程兩邊得到,因此方程的通解為例 求方程的解解 這里， ， ，因此方程是非恰當(dāng)?shù)囊驗(yàn)?，所以方程有積分因子 ,以乘方程兩邊得，即 ，于是方程的通解為致謝 感謝李老師的悉心指導(dǎo)和幫助！ 參 考 文 獻(xiàn)1 葉產(chǎn)謙常微分方程講義M第二版北京：高等教育出版社，19882 王柔壞,伍桌群常微分方程講義M北京：人民教育出版社，19793 李瑞遐應(yīng)用微分方程M上海：華東理工大學(xué)出版社，20054 王高雄常