構(gòu)造三垂直模型求解構(gòu)成已知角的直線解析式

1、構(gòu)造“三垂直”模型，求解“構(gòu)成已知角度的直線”解析式【例1】如圖1，在坐標(biāo)系中，A（0，4），B（-2，0），OCAB于點(diǎn)C，求OC的表達(dá)式?！窘馕觥浚ǚ椒ㄒ唬┲本€AB的斜率為2，故直線OC的斜率為-1/2，所以O(shè)C解析式為：y=-x/2；（方法二）過(guò)點(diǎn)C作CDy軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BECD，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（如圖1-1）。則BCEDCOACOABOBCO，BCCO=BECD=BOAO=12，設(shè)C（m，2m+4），則：2(m+2) (0-m)=12，解得：m= -8/5，C（-8/5，4/5），OC解析式：y=(4/5)/(-8/5)x=-x/2。方法二構(gòu)建了“三垂直”模型，利用比例

2、關(guān)系解得點(diǎn)C坐標(biāo)，再用“兩點(diǎn)式”求解直線解析式，在此題中顯得繁雜，但是揭開了解決此類問(wèn)題的“通用方法”?！纠?】如圖2，在坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（0，-3），直線BC交x軸于點(diǎn)C，ABC=45 º，求BC的函數(shù)表達(dá)式。【思路】利用ABC=45º構(gòu)建等腰直角三角形，再構(gòu)建“三垂直模型”求出直角頂點(diǎn)坐標(biāo)?！窘馕觥窟^(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)D作DEx軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BFED，交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（如圖2-1）。則ABD為等腰直角三角形，AEDBDF，DE=BF，AE=DF；設(shè)D（x，y），則：0-y=x，   x+1=y+3，解此方

3、程組，得：x=1，y=-1，D（1，-1），直線BC解析式：y=(-1+3)/(1-0)x-3，化簡(jiǎn)得：y=2x-3.【練習(xí)1】如圖L1，在坐標(biāo)系中，A（-1，2），B（5，-1），直線ACAB與x軸交于點(diǎn)C，求直線AC的解析式?！咎崾尽坑谩靶甭史ā?。【練習(xí)2】如圖L2，A（0，1），B（3，0），直線BC交y軸于點(diǎn)C，ABC=45 º，求BC的函數(shù)表達(dá)式?！咎崾尽咳鐖DL2-1，構(gòu)建“三垂直模型”，求出點(diǎn)D坐標(biāo)?！纠?】如圖3，A（-2，-4），B（4，0），直線BC交y軸于點(diǎn)C，ABC=60º，求BC的函數(shù)表達(dá)式?！舅悸贰坷锰厥饨菢?gòu)建直角三角形，再利用三邊關(guān)系

4、構(gòu)建“三垂直模型”?！窘馕觥窟^(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEx軸，過(guò)點(diǎn)A作AEDE于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BFED，交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（如圖3-1）。ABC=60º，ADDB=31，易知ADEBDF，EDFB=AEDF=31；設(shè)D（x，y），則：（x+2）y=31， （y+4）(4-x)=31，解得：x=5/2-3，y=33/2-1；D（5/2-3，33/2-1），BC解析式：y=(33/2-1)/( 5/2-3-4)(x-4)，化簡(jiǎn)得：【練習(xí)3】如圖L3，A（0，1），B（3，0），直線BC交y軸于點(diǎn)C，ABC=30º，求BC的函數(shù)表達(dá)式。【提示】如圖L3-1，構(gòu)建

5、“三垂直模型”，求出點(diǎn)D坐標(biāo)。 【例4】如圖4，A（0，-4），B（4，0），直線y=-3x和直線AB交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且OCP=3OAB，（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BP的函數(shù)表達(dá)式。【思路】易知OAB=45º，所以O(shè)CP=135º，OCP的鄰補(bǔ)角為45º。構(gòu)建“三垂直模型”求解點(diǎn)P坐標(biāo)。【解析】（1）略。C（1，-3）；（2）過(guò)點(diǎn)P作PECP，交OC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EFy軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CGy軸于點(diǎn)G（如圖4-1）。OAB=45º，OCP=135º，PCE=PEC=45º；易知PEFPCG，G（0，-3）

6、設(shè)P（0，p），E（e，-3e），則p+3e=1，-3-p=e，解得：p= -5，BP解析式：y=5x/4-5。【備注】也可以如圖4-2那樣構(gòu)造“三垂直”，求得P坐標(biāo)。【例5】（綜合運(yùn)用，2018天津中考第25題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，0）。已知拋物線y=x²+mx-2m(m是常數(shù))，頂點(diǎn)為P。（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng)AOP=45º時(shí)，求拋物線的解析式；（3）無(wú)論m取何值，該拋物線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H。當(dāng)AHP=45º時(shí)，求拋物線的解析式?！窘馕觥浚?）略。解析式：y=x²+x-2，P（-1/2

7、，9/4）；（2）P（-m/2，-（m²+8m）/4），P在x軸下方，-（m²+8m）/40，m0或m-8；AOP=45º，OP解析式：y= -x，-（m²+8m）/4=m/2，解得m= -10，或m=0（舍去）。拋物線解析式：y=x²-10x+20；（3）易知H（2，4）。當(dāng)點(diǎn)P在AH下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作ABHP于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BCx軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)H作HDCB，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（如圖5-1）。則ABH為等腰直角三角形，ABCBHD，HD=BC，AC=BD；設(shè)B（x，y），則D（x，4），C（x，0），故：x-1=4-y，x-2=y，解得：x=7

8、/2，y=3/2，B（7/2，3/2），直線BH解析式為：y=(4-3/2)/(2-7/2)(x-2)+4，化簡(jiǎn)得：y= -5x/3+22/3，P在直線HB上，-（m²+8m）/4=(-m/2)·(-5/3)+22/3，化簡(jiǎn)得：3m²+34m+88=0，解得：m=-22/3(m=-4舍去)；此時(shí)拋物線解析式為：y=x²-22x/3+44/3；當(dāng)點(diǎn)P在AH上方時(shí)，由知：斜率為3/5，故解析式為：y=(3/5）(x-2)+4，化簡(jiǎn)得：y= 3x/5+14/5，P在直線HB上，-（m²+8m）/4=(-m/2)·(3/5)+14/5，化簡(jiǎn)得：3m²+34m+88=0，解得：m= -14/5(m=-4舍去)；此時(shí)拋物線解析式為：y=x²-14x/5+28/5；綜上所述，當(dāng)AHP=45º時(shí)，拋物線的解析式為：y=x²-22x/3+44/3；或y=x²-14x/5+28/5。 【練習(xí)4】如圖L4，A（0，6），B（6，0），直線y=3x+3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，且APC=CDB。（1）求DCP的度數(shù)；（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)