畢業(yè)論文泰勒展開(kāi)式及其應(yīng)用偉

1、泰勒公式及其應(yīng)用摘 要 文章主要對(duì)泰勒公式在近似計(jì)算、求極限、證明不等式、外推、求曲線的漸近線方程和判斷級(jí)數(shù)收斂性，對(duì)函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷、廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用關(guān)于界的估計(jì)、和泰勒公式展開(kāi)的唯一性問(wèn)題做了簡(jiǎn)單系統(tǒng)的介紹和分析，從而體現(xiàn)泰勒公式式在微分學(xué)中占有很重要的地位.關(guān)鍵詞泰勒公式; 佩亞諾余項(xiàng); 拉格朗日余項(xiàng); 不等式; 根的唯一存在性; 極值; 近似計(jì)算.一引言 近代微積分的蓬勃發(fā)展，促使幾乎所有的數(shù)學(xué)大師都致力于相關(guān)問(wèn)題的研究，特別是泰勒，笛卡爾，費(fèi)馬，巴羅，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒在微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)

2、成無(wú)窮級(jí)數(shù)而定義出來(lái)的.泰勒將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)得到泰勒公式，對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個(gè)次多項(xiàng)式稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有即稱為泰勒公式.我們都知道，泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可缺少的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓。在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，利用它可以將非線性問(wèn)題化為線性問(wèn)題，并能滿足很高的精確度要求，在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用. 泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著重要作用,它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近

3、似計(jì)算、不等式證明等方面. 這篇主要在于探索泰勒公式及其應(yīng)用的新方法，借助泰勒公式的廣泛應(yīng)用，將泰勒公式的知識(shí)應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題的各個(gè)方面和領(lǐng)域中去，得出泰勒公式在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用和解求方法的簡(jiǎn)便性.二預(yù)備知識(shí)2.1泰勒公式的定義定義2.1若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 （1）其中 上述公式稱為在點(diǎn)處帶有佩亞諾余項(xiàng)的的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式.定義2.2若函數(shù)在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則, （2）這里為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式.常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式：.，定理

4、2.1(介值定理) 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若為介于 與之間的任何實(shí)數(shù),則至少存在一點(diǎn),使得.2.2泰勒公式的意義泰勒公式的意義是，用一個(gè)次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù).而多項(xiàng)式具有形式簡(jiǎn)單，易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn).泰勒公式由的次泰勒多項(xiàng)式和余項(xiàng)組成，我們來(lái)詳細(xì)討論它們.當(dāng)=1時(shí)，有 ，是的曲線在點(diǎn)處的切線（方程），稱為曲線在點(diǎn)的一次密切，顯然，切線與曲線的差異是較大的，只是曲線的近似.當(dāng)=2時(shí)，有，是曲線在點(diǎn)的“二次切線”，也稱曲線在點(diǎn)的二次密切.可以看出，二次切線與曲線的接近程度比切線要好.當(dāng)次數(shù)越來(lái)越高時(shí)，接近程度越來(lái)越密切，近似程度也越來(lái)越高.2.3泰勒公式余項(xiàng)的類型泰勒公式的余項(xiàng)分為兩類，一類佩

5、亞諾型余項(xiàng)，一類是拉格朗日型余項(xiàng)，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.佩亞諾型余項(xiàng)是定性的余項(xiàng)，僅表示余項(xiàng)是比（當(dāng)時(shí)）高階的無(wú)窮小.如，表示當(dāng)時(shí)，用近似，誤差（余項(xiàng)）是比高階的無(wú)窮小.拉格朗日型余項(xiàng)是定量的余項(xiàng)（也可以寫成）.定量的余項(xiàng)一般用于函數(shù)值的計(jì)算與函數(shù)形態(tài)的研究.三泰勒公式的應(yīng)用3.1 .利用泰勒公式求極限簡(jiǎn)化極限運(yùn)算,就可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng),使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限.例1. 求極限. 分析 ： 此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和,分別用泰勒展開(kāi)式代替,則可簡(jiǎn)化此比式.解：由,=于是，3. 2 利用泰勒公式證明不等式當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)

6、式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡(jiǎn)捷.例1.當(dāng)時(shí),證明.證明取,則帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當(dāng)時(shí),.例2. 設(shè)在二次可導(dǎo)，而且，試求存在，使.證： 由于在的最小值不等于在區(qū)間端點(diǎn)的值，故在內(nèi)存在，使，由費(fèi)馬定理知，.又，（介于與之間）由于，不令和，有，所以，當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)與中必有一個(gè)大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判斷廣義積分的斂散性當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí),就可以利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則.在判定廣義積斂散性時(shí), 通常選取廣義積分進(jìn)行比較, 在此通過(guò)研究無(wú)窮小量的階來(lái)有效地選中的值

7、，從而簡(jiǎn)單地判定的斂散性（注意到：如果得收斂，則得收斂）.例 1. 研究廣義積分的斂散性. 解 ： ， 因此，即是的階，而收斂，故收斂，從而.例2討論級(jí)數(shù)的斂散性.注意到,若將其泰勒展開(kāi)為的冪的形式,開(kāi)二次方后恰與相呼應(yīng),會(huì)使判斂易進(jìn)行.解：因?yàn)?所以,所以，故該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).又因?yàn)?所以.因?yàn)槭諗?所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂.3.4 利用泰勒公式判斷函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)例 1. 設(shè)內(nèi)是凹向的.：， 可得所以 可得 由任意性可得在足夠小的區(qū)間上是凹向的再有c，d的任意性得在內(nèi)任意小的區(qū)間內(nèi)都是凹向的，所以在區(qū)間是凹向的.利用泰勒公式對(duì)極值的判定可相似的推出函數(shù)拐點(diǎn)的判定即: 若在某個(gè)

8、內(nèi)階可導(dǎo)，且滿足，且若（1）為奇數(shù)，則為拐點(diǎn)；（2）為偶數(shù)，則不是拐點(diǎn).證明：寫出在處的泰勒公式,因?yàn)?,則，同樣余項(xiàng)是的高階無(wú)窮小.所以的符號(hào)在的心領(lǐng)域內(nèi)與相同.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，顯然在的兩邊，符號(hào)相異，即的符號(hào)相異，所以為拐點(diǎn).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則的符號(hào)相同，所以不是拐點(diǎn).例2？解： ， ， ，因?yàn)椋?所以不是的拐點(diǎn).3.5 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,通過(guò)泰勒展開(kāi)式可以求得. 例1 求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解 ：由于,所以的拉格朗日余項(xiàng)為，顯見(jiàn) ,它對(duì)任何實(shí)數(shù)x，都有 ,因而，所以有.3.6 1）.利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一

9、些數(shù)值的近似計(jì)算,用麥克勞林展開(kāi)得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng).例 1. 計(jì)算lg11的值,準(zhǔn)確到 . 解: ,因?yàn)?,要使取，故 .例2 .估計(jì)下列近似公式的絕對(duì)誤差：解： 當(dāng)時(shí)，. 2）.泰勒公式在外推上的應(yīng)用 外推是一種通過(guò)將精度較低的近似值進(jìn)行適當(dāng)組合，產(chǎn)生精度較高的近似值的方法，它的基礎(chǔ)是泰勒公式，其原理可以簡(jiǎn)述如下.若對(duì)于某個(gè)值，按參數(shù)算出的近似值可以展開(kāi)成 （*）（這里先不管的具體形式），那么按參數(shù)算出的近似值就是 (*)和與準(zhǔn)確值的誤差都是階的. 現(xiàn)在，將后(*)式乘2減去（*）式，便得到也就是說(shuō)，對(duì)兩個(gè)階的近似值化了少量幾步四則運(yùn)算進(jìn)行組合之后，卻得到了具有階的近似值.

10、這樣的過(guò)程就稱為外推.若進(jìn)行了一次外推之后精度仍未達(dá)到要求，則可以從出發(fā)再次外推，得到階的近似值.這樣的過(guò)程可以進(jìn)行步，直到，滿足預(yù)先給定的精度.外推方法能以較小的待解獲得高精度的結(jié)果，因此是一種非常重要的近似計(jì)算技術(shù).例 1. 單位圓的內(nèi)接正邊形的面積可以表示為，這里,按照泰勒公式因此，其內(nèi)接正邊形的面積可以表示為，用它們作為的近似值，誤差都是量級(jí)的.現(xiàn)在將這兩個(gè)近似的程度不夠理想的值按以下方式組合：,那么通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以知道項(xiàng)被消掉了！也就是說(shuō)，用近似表示，其精度可以大大提高.3.7. 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值如果泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是,從而可反過(guò)來(lái)求高階導(dǎo)

11、數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).例 1. 設(shè) 求由得泰勒公式：可得 ， ， 所以 3.8. 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看做的函數(shù)（一般是的n次多項(xiàng)式）,記作,按泰勒公式在某處展開(kāi),用這一方法可求得一些行列式的值.例 1. 求n階行列式 D= （1）解： 記,按泰勒公式在處展開(kāi)： （2）易知 = （3）由（3）得,時(shí)都成立.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有.于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為,，把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有+，若, 有；若, 有.3.9 利用泰勒公式證明與某階導(dǎo)數(shù)的中間值例1.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)函數(shù)，證明在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使.證明：分別把在展開(kāi)成泰勒公式，由題設(shè)得：,之間，由連續(xù)函

12、數(shù)的中值定理知，對(duì)任意的.3.10 . 利用泰勒公式解經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題 我們知道泰勒公式在解定積分中有著廣泛的應(yīng)用，而定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是不可缺的，在這里將以定積分為平臺(tái)，利用泰勒公式去解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，例1. 完全競(jìng)爭(zhēng)行業(yè)中某廠商的成本函數(shù)為STC=，假設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格為66元， 求：（1）由于競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)供求發(fā)生變化，由此決定新的價(jià)格為30元，在心的價(jià)格下，廠商是否會(huì)發(fā)生虧損，如果會(huì)，最小的虧損額是多少？解： （1）由于市場(chǎng)供求發(fā)生變化，新的價(jià)格為27元，廠商是否發(fā)生虧損仍需要根據(jù)P=MC所決定的均衡產(chǎn)量計(jì)算利潤(rùn)為正還是為負(fù)，不論利潤(rùn)最大還是虧損最小，均衡條件都是P=MC， 成本函數(shù)為STC=，令=由泰勒公

13、式我們知道，所以所以 STC=又因?yàn)?P=MC，即27=， 所以.因?yàn)?, （1） , （2）所以 ,故 是利潤(rùn)最大或者最小的產(chǎn)量.利潤(rùn) ，.可見(jiàn)， 當(dāng) 價(jià)格為27元時(shí)，當(dāng)廠商生產(chǎn)量為1時(shí)，其最大盈利額為19；當(dāng)廠商生產(chǎn)量為4時(shí)，其發(fā)生虧損，最小虧損額為17.3.11. 泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)我們?cè)跀?shù)學(xué)分析課文中學(xué)習(xí)知道了有些函數(shù)是有界的，有的有上節(jié)，而有的有下界，再結(jié)合泰勒公式的知識(shí)與泰勒公式的廣泛應(yīng)用，這里我們探討泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)，這里通過(guò)例題來(lái)分析界的估計(jì).例1 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，時(shí)，.試證：當(dāng)時(shí)，.證： ,所以, .3.12泰勒公式展開(kāi)的唯一性問(wèn)題 泰勒公式的展開(kāi)式有多種，常見(jiàn)的如帶

14、有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式，帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式，而最為常用的是麥克勞林展開(kāi)式，它是當(dāng)時(shí)的特殊的泰勒公式展開(kāi)式，現(xiàn)在我們來(lái)探討泰勒公式展開(kāi)式的唯一性.例1.設(shè)是連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，在處有展開(kāi)式： , （1）且余項(xiàng)滿足 , （2）則必有 , （3）其中 . 證： 根據(jù)泰勒公式，在處可以展開(kāi)成 , （4）讓（1）式與（4）式聯(lián)立可得,此式令取極限，得.兩邊消去首項(xiàng)，再同時(shí)除以，然后令取極限，又得.繼續(xù)這樣下去則順次可得式（3）.注1 該例具有重要理論意義，它表明：不論用何種途徑、何種方式得到形如（1）式的展開(kāi)式，只要余項(xiàng)滿足條件（2）式，則此展開(kāi)式的系數(shù)必是唯一確定的，它們是（3）式給出的泰勒

15、系數(shù).注2 該結(jié)論的情況自然也成立.由此可知，對(duì)于任何多項(xiàng)式而言，必有且.四結(jié)束語(yǔ)泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，它的理論方法已成為研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面的不可或缺的工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，它是微積分中值定理的推廣，也是應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的重要工具, 它的用途很廣泛.本論文詳細(xì)介紹泰勒公式及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的幾個(gè)應(yīng)用作論述.文章除了對(duì)泰勒公式在常用的近似計(jì)算、求極限、不等式的證明、外推和求曲線的漸近線方程上作解求證明外，特別地，泰勒公式還對(duì)函數(shù)凹凸性及其拐點(diǎn)判斷、廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用、界的估計(jì)和展開(kāi)的唯一性問(wèn)題等這幾個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用做詳細(xì)的介紹,使我們對(duì)泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識(shí),最后說(shuō)一點(diǎn)：只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn),并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧.參考文獻(xiàn)1陳紀(jì)修 於崇華 金路：數(shù)學(xué)分析M（上、下）北京：高等教育出版社,2004.5.2張自蘭 崔福蔭：高等數(shù)學(xué)證題方法M陜西：陜西科學(xué)出版社,1985.3王向東：數(shù)學(xué)分析的概念和方法M上海：上海科學(xué)技