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1、1.5 常微分方程1) 了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念2) 掌握變量等可分離的方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、全微分方程的解法3) 會用降階法求下列三種類型的高階方程:、4) 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)5) 掌握二階常微分齊次線性微分方程的解法。1.5.1 微分方程的基本概念1 微分方程的概念凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程,稱為微分方程。微分方程中所表現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),稱為微分方程的階。如方程: 是一階微分方程。又如方程: 是三階微分方程一般地,n階微分方程的形式是:其中F是個變量的函數(shù),是必須出現(xiàn)的,而等變量則可以不出現(xiàn)。2
2、微分方程的解 通解微分方程的解是一個函數(shù),把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。確切地說,對于階微分方程(1.5-1),設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階導(dǎo)數(shù),且在區(qū)間上滿足,則稱函數(shù)為微分方程(1.5-1)在區(qū)間上的解。如果二元代數(shù)方程所確定的隱函數(shù)是某微分方程的解,那么就稱為該微分方程的隱式解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)(這里所說的任意常數(shù)時(shí)互相獨(dú)立的)與微分方程的階數(shù)相同,這樣的解叫做微分方程的通解。如方程:是二階微分方程,而函數(shù)滿足該方程,即這函數(shù)是方程的解,又這函數(shù)中含有兩個獨(dú)立的任意常數(shù),故這函數(shù)是上述微分方程的通解。3 初始條件與特解能用來確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為
3、初始條件。通常一階微分方程的初始條件為:。二階微分方程的初始條件為:;。其中,、和都是給定的值。通解中的任意常數(shù)全部確定后,就得到一個確定的解,這種解稱為微分方程的特解。1.5.2 可分離變量的方程一階微分方程:,稱為可分離變量的方程。把式中的的函數(shù)和歸入方程的一端,的函數(shù)和歸入另一端,成為:。這一步驟稱為分離變量。分離變量后,兩端可分別積分:設(shè)的原函數(shù)依次為與,即得方程(1.5-2)的通解為:1.5.3 齊次微分方程方程 稱為齊次微分方程令,則,于是原方程化為:這是可分離變量的方程,可用分離變量法求的方程的通解。1.5.4 一階線性方程稱為一階線性方程。當(dāng)時(shí),該式稱為線性齊次方程;當(dāng)不恒等于
4、零時(shí),該式稱為線性非齊次方程。線性齊次方程是一個變量可分離的方程,經(jīng)分離變量并積分后,得通解: 或 非齊次方程的通解為:注:使用所謂的常數(shù)變易法來求解非齊次線性方程的通解。由線性齊次方程的通解,可假設(shè)非齊次線性方程的通解為:,代入后,可得:=由此:非齊次微分方程的通解為:1.5.5 全微分方程若方程的左端恰好是某個函數(shù)的全微分,則該方程稱為全微分方程,且。就是上述方程的通解,且滿足:在區(qū)域G內(nèi)恒成立時(shí),該方程就是全微分方程,其通解為:其中為內(nèi)適當(dāng)選定的點(diǎn)。1.5.6 幾種可降階的方程1 這類方程可直接積分,積分一次得即把原方程降低一階,積分次,即可得通解2 這是不顯含的二階方程,令,則,代入即
5、得:這樣就把二階方程降為一階方程,設(shè)求得此一階方程的通解為,則原方程的通解為:3 這是不顯含的二階方程,令,則:代入方程得:即把二階方程降為一階方程。設(shè)求得此一階方程的通解為,即,分離變量并積分得原方程的通解為:1.5.7 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理設(shè)有二階齊次線性方程:則有:l 性質(zhì)定理:如果與是上述方程的兩個解,那么就是上述方程的解,其中、是兩個任意常數(shù)。l 結(jié)構(gòu)定理:如果與是方程的兩個線性無關(guān)的特解,那么就是上述方程的特解,其中、是兩個任意常數(shù)。設(shè)有二階非齊次線性方程:則有:l 結(jié)構(gòu)定理:如果是上述方程的一個特解,是與上述方程對應(yīng)的齊次方程的通解,那么就是二階非齊次線性方程的通解。l 迭加原理:設(shè)方程的右端,而與分別是方程與的特解,那么就是原方程的特解。1.5.8 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式是:其中為常數(shù)。以代替上式中的(),得一代數(shù)方程:該方程稱為微分方程的特征方程,特征方程的根稱為特征根。按特征根的情況,可直接寫出上述方程的通解如下:l 特征方程有兩個不相等的實(shí)根:,該方程的通解為:l 特征方程有兩個相等的實(shí)
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