求解數(shù)學遞推數(shù)列的通項公式的九種方法7

1、求遞推數(shù)列的通項公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值.自從二十世紀八十年代以來，這一直是全國高考和高中數(shù)學聯(lián)賽的熱點之一.一、作差求和法例1 在數(shù)列中，,，求通項公式.解：原遞推式可化為：則 ，逐項相加得：.故.二、作商求和法例2 設數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且（n=1,2,3），則它的通項公式是=（2000年高考15題）解：原遞推式可化為： =0 0， 則 ， 逐項相乘得：，即=.三、換元法例3 已知數(shù)列，其中，且當n3時，求通項公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設，原遞推式可化為： 是一個等比數(shù)列，公比為.故.故.由逐差法可得：. 例4已知數(shù)列，其中

2、，且當n3時，求通項公式。解 由得：，令，則上式為，因此是一個等差數(shù)列，公差為1.故.。由于又所以，即 四、積差相消法 例5（1993年全國數(shù)學聯(lián)賽題一試第五題）設正數(shù)列，滿足= 且，求的通項公式.解 將遞推式兩邊同除以整理得：設=，則=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐項相乘得：=，考慮到，故 . 五、取倒數(shù)法例6 已知數(shù)列中，其中，且當n2時，求通項公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即.六、取對數(shù)法例7 若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2

3、的等比數(shù)列， ，即.七、平方（開方）法例8 若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項公式是.解 將兩邊平方整理得。數(shù)列是以=4為首項，3為公差的等差數(shù)列。因為0，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9 若數(shù)列中，=1，是數(shù)列的前項之和，且（n），求數(shù)列的通項公式是.解 遞推式可變形為 （1）設（1）式可化為 （2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當n，。數(shù)列的通項公式是 。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為

4、=）的形式.例10 在數(shù)列中，求通項公式。解：原遞推式可化為： 比較系數(shù)得=-4，式即是：.則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項，公比是2. 即.3、型，可化為的形式。例11 在數(shù)列中，當， 求通項公式.解：式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個等比數(shù)列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12 在數(shù)列中，=6 求通項公式.解 式可化為： 比較系數(shù)可得：=-6， 式為是一個等比數(shù)列，首項，公比為.即 故.九、猜想法 運用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出，然后猜想出滿足遞推式的一個通項公式，最后用數(shù)學歸納法證明猜想是

5、正確的。例13 在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，為數(shù)列的前n項和，=+ ，求其通項公式。 高三數(shù)學復習：求數(shù)列通項公式的常用方法 在高考中數(shù)列部分的考查既是重點又是難點，不論是選擇題或填空題中對基礎知識的檢驗，還是壓軸題中與其他章節(jié)知識的綜合，抓住數(shù)列的通項公式通常是解題的關鍵。 求數(shù)列通項公式常用以下幾種方法： 一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項公式。 例：在數(shù)列an中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數(shù)列的通項公式an。 解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列an為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定

6、義判斷，是較簡單的基礎小題。 二、已知數(shù)列的前n項和，用公式 S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n2) 例：已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5 (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 解：an=Sn-Sn-1=2n-10，52k-108 k=8 選 (B) 此類題在解時要注意考慮n=1的情況。 三、已知an與Sn的關系時，通常用轉(zhuǎn)化的方法，先求出Sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。 例：已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列an的通項公式。 解：an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-

7、Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得-=-1(n2)，而-=-=-，- 是以-為首項，-1為公差的等差數(shù)列，-= -，Sn= -， 再用(二)的方法：當n2時，an=Sn-Sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以， - (n=1) - (n2) 四、用累加、累積的方法求通項公式 對于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。 例：設數(shù)列an是首項為1的正項數(shù)列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數(shù)列an的通項公式 解：(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0 又an是首項

8、為1的正項數(shù)列，an+1+an 0，-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，-=-,這n-1個式子，將其相乘得： -=-， 又a1=1，an=-(n2)，n=1也成立，an=-(nN*) 五、用構造數(shù)列方法求通項公式 題目中若給出的是遞推關系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有 an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或Sn)與n的關系，這是近一、二年來的高考熱點，因此既是重點也是難點。 例：已知數(shù)列an中，a12，an+1=(-1)(an+2)，n=1,2,3, (1)求an通項公式 (2)略 解：由an+1=(-1)(an+2)得到an+1- (-1)(an-) an-是首項為a1-，公比為-1的等比數(shù)列。 由a12得an-=(-1)n-1(2-) ，于是an=(-1)n-1(2-)+- 又例：在數(shù)列an中，a1=2，an+1=4an-3n+1(nN*)，證明數(shù)列an-n是等比數(shù)列。 證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數(shù)) 由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又a1-1=1， 所以數(shù)列an-n是首項為1，公比為4的等比數(shù)列。 若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出an-n的通項公式，再轉(zhuǎn)化到an的