高中數(shù)學(xué)考前歸納總結(jié)直線圓錐曲線常見的幾種題型

1、直線圓錐曲線常見的幾種題型一、直線圓錐曲線問題的常規(guī)解題方法:1.設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=my+n 的區(qū)別） 2.設(shè)交點坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因為不去求出它,即“設(shè)而不求”） 3.聯(lián)立方程組； 4.消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單） 5.根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： “以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是否存在） “點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0； “等角、角平分、角互補問題” 斜率關(guān)系（或）； “共線問題” （如： 數(shù)的角

2、度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）； （如：A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等）； “點、線對稱問題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系； “弦長、面積問題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式 的 合理選擇）； 6.化簡與計算； 7.細(xì)節(jié)問題不忽略； 判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線、雙曲線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0.二、基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；例1.已知A、B、C是橢圓上的三點，其中點A的坐標(biāo)為 ，BC過橢圓m的中心，且（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點P，Q，設(shè)D為橢圓m與y 軸負(fù)半軸的交點，且.求實數(shù)

3、t的取值范圍 解（1）橢圓m：（2）由條件D（0，2） M（0，t）1°當(dāng)k=0時，顯然2<t<2 2°當(dāng)k0時，設(shè) 消y得 由>0 可得 設(shè)則 由 t>1 將代入得 1<t<4t的范圍是（1，4） 綜上t（2，4） 2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計算時自然會無解； 例2.已知圓：及定點，點是圓上的動點，點在 上，點在上，且滿足2，·（1）若，求點的軌跡的方程；（2）若動圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點，是否存在一組正實數(shù)， 使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實數(shù)；若不存在，說明理由 解：（1）點為的中點

4、， 又，或點與點重合 又 點的軌跡是以為焦點的橢圓， 且，的軌跡方程是 (2)解：不存在這樣一組正實數(shù)，下面證明： 由題意，若存在這樣的一組正實數(shù)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)之為，故直線的方程為：，設(shè)，中點，則，兩式相減得：注意到，且 ，則 ， 又點在直線上，代入式得：因為弦的中點在所給橢圓內(nèi)，故， 這與矛盾，所以所求這組正實數(shù)不存在 當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，則此時，代入式得， 這與是不同兩點矛盾綜上，所求的這組正實數(shù)不存在 3、證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無 關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。例3、已知橢圓兩焦點、在軸上，短

5、軸長為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點。（1）求P點坐標(biāo)；（2）求證直線AB的斜率為定值； 例3、解（1）。 ，設(shè) 則 點在曲線上，則 從而，得，則點的坐標(biāo)為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為， 則PB的直線方程為： 由 得 設(shè)則 同理可得，則 所以：AB的斜率為定值。4、處理定點問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求 出定點；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明，例4、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓

6、的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo) 解：（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)， 聯(lián)立， 得，又，因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，即，解得：，且均滿足， 當(dāng)時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；當(dāng)時，的方程為，直線過定點 所以，直線過定點，定點坐標(biāo)為 5、 求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、 三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等 式的方法等再解決；例5.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，是它的兩個頂點，直線DFByxAOE 與AB相交于點D，與橢圓相交于E

7、、F兩點 （1）若，求的值； （2）求四邊形面積的最大值 解：依題設(shè)得橢圓的方程為，DFByxAOE 直線的方程分別為， 2分 如圖，設(shè)，其中， 且滿足方程， 故 由知，得； 由在上知，得 所以，化簡得，解得或。6分 （）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點到的距離分別為 ， 又，所以四邊形的面積為 ， 當(dāng)，即當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為。 解法二：由題設(shè)， 設(shè)，由得， 故四邊形的面積為 ， 當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗； 例6.如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個不同點。 （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.解：（1）設(shè)橢圓方程為則