高等數(shù)學(xué)下復(fù)旦大學(xué)出版習(xí)題十一

1、習(xí)題十一1設(shè)L為xOy面內(nèi)直線x=a上的一段，證明：其中P(x,y)在L上連續(xù)證：設(shè)L是直線x=a上由(a,b1)到(a,b2)這一段，則L：，始點(diǎn)參數(shù)為t=b1，終點(diǎn)參數(shù)為t=b2故2設(shè)L為xOy面內(nèi)x軸上從點(diǎn)(a,0)到點(diǎn)(b,0)的一段直線，證明：，其中P(x,y)在L上連續(xù)證：L：，起點(diǎn)參數(shù)為x=a，終點(diǎn)參數(shù)為x=b故3計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：(1)，其中L是拋物線y=x2上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,4)的一段??；(2)其中L為圓周(x-a)2+y2=a2(a0)及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界(按逆時(shí)針方向繞行)；(3)，其中L為圓周x=Rcost，y=Rsint上對(duì)應(yīng)t從

2、0到的一段??；(4)，其中L為圓周x2+y2=a2(按逆時(shí)針方向繞行)；(5)，其中為曲線x=k，y=acos，z=asin上對(duì)應(yīng)從0到的一段??；(6)，其中是從點(diǎn)(3,2,1)到點(diǎn)(0,0,0)的一段直線；(7)，其中為有向閉拆線ABCA，這里A，B，C依次為點(diǎn)（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)，其中L是拋物線y=x2上從點(diǎn)(-1,1)到點(diǎn)(1,1)的段弧解：(1)L：y=x2，x從0變到2，(2)如圖11-1所示，L=L1+L2其中L1的參數(shù)方程為圖11-1L2的方程為y=0(0x2a)故(3)(4)圓周的參數(shù)方程為：x=acost，y=asint，t:02故(5)(6

3、)直線的參數(shù)方程是 t從10故(7)(如圖11-2所示)圖11-2，x從01，z從01，x從01故(8)4計(jì)算，其中L是(1)拋物線y2=x上從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的一段??；(2)從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的直線段；(3)先沿直線從(1,1)到點(diǎn)(1,2)，然后再沿直線到點(diǎn)(4,2)的折線；(4)曲線x=2t2+t+1,y=t2+1上從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的一段弧解：(1)L：，y：12，故(2)從(1,1)到(4,2)的直線段方程為x=3y-2，y：12故(3)設(shè)從點(diǎn)(1,1) 到點(diǎn)(1,2)的線段為L1，從點(diǎn)(1,2)到(4,2)的線段為L2，則L=L1+L2且L1：，y：1

4、2；L2：，x：14；故從而(4)易得起點(diǎn)(1,1)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1=0，終點(diǎn)(4,2)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t2=1，故5設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力作用，力的反方向指向原點(diǎn)，大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離成正比，若質(zhì)點(diǎn)由(a,0)沿橢圓移動(dòng)到B(0,b)，求力所做的功解：依題意知F=kxi+kyj，且L：，t：0(其中k為比例系數(shù))6計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：(1)，為x2+y2+z2=1與y=z相交的圓，方向按曲線依次經(jīng)過第、封限；(2)，為x2+y2+z2=1在第封限部分的邊界曲線，方向按曲線依次經(jīng)過xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分解:(1)：即其參數(shù)方程為：t：02故：(2)如圖11-3所示圖11-3=1+2+3

5、1： t：0，故又根據(jù)輪換對(duì)稱性知7應(yīng)用格林公式計(jì)算下列積分：(1)，其中L為三頂點(diǎn)分別為(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向邊界；(2)，其中L為正向星形線；(3)，其中L為拋物線2x=y2上由點(diǎn)(0,0)到(,1)的一段弧；(4)，L是圓周上由點(diǎn)(0,0)到(1,1)的一段??；(5)，其中m為常數(shù)，L為由點(diǎn)(a,0)到(0,0)經(jīng)過圓x2+y2=ax上半部分的路線（a為正數(shù)）圖11-4解：(1)L所圍區(qū)域D如圖11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，由格林公式得(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，則，從而，由格林公式得(3)

6、如圖11-5所示，記，圍成的區(qū)域?yàn)镈（其中=-L）圖11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：故(4)L、AB、BO及D如圖11-6所示圖11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)，即，于是從而(5)L，OA如圖11-7所示圖11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，由格林公式得：于是：8利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：(1)星形線x=acos3t，y=asin3t2ex2；(2)雙紐線r2=a22cos2；(3)圓x2+y2=2ax解：(1)(2)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系x=rcos，y=rsin得，從而x

7、dy-ydx=a2cos2d于是面積為：(3)圓x2+y2=2ax的參數(shù)方程為故9證明下列曲線積分與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值：(1)；(2)；(3)沿在右半平面的路徑；(4)沿不通過原點(diǎn)的路徑；證：(1)P=x-y，Q=y-x顯然P，Q在xOy面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，故積分與路徑無關(guān)取L為從(0,0)到(1,1)的直線段，則L的方程為：y=x，x：01于是(2) P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2顯然P，Q在xOy面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，有，所以積分與路徑無關(guān)取L為從(1,2)(1,4)(3,4)的折線，則(3)，P，Q在右半平面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，在右半平面內(nèi)恒有，故在右半平面內(nèi)積分與路徑

8、無關(guān)取L為從(1,1)到(1,2)的直線段，則(4) ，且在除原點(diǎn)外恒成立，故曲線積分在不含原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，取L為從(1,0)(6,0)(6,8)的折線，則10驗(yàn)證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個(gè)xOy面內(nèi)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求這樣的一個(gè)函數(shù)u(x,y)：(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy；(2)2xydx+x2dy；(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy；(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy解：證：(1)P=x+2y，Q=2x+y，所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某個(gè)定義在整

9、個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分(2)P=2xy,Q=x2, ，故2xydx+x2dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分(3)P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)函數(shù)u(x,y)的全微分，(4)P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny，有，故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的函數(shù)u(x,y)的全微分，11證明：在整個(gè)xOy平面內(nèi)除y的負(fù)半軸及原點(diǎn)外的開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)的

10、全微分，并求出這樣的一個(gè)二元函數(shù)證：，顯然G是單連通的，P和Q在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且，(x,y)G因此在開區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y)的全微分由知12設(shè)在半平面x0中有力構(gòu)成力場(chǎng)，其中k為常數(shù)，證明：在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所做的功與所取的路徑無關(guān)證：場(chǎng)力沿路徑L所作的功為其中，則P、Q在單連通區(qū)域x0內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且因此以上積分與路徑無關(guān)，即力場(chǎng)中場(chǎng)力所做的功與路徑無關(guān)13當(dāng)為xOy面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)，曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？解：因?yàn)椋簔=0，在xOy面上的投影區(qū)域就是故當(dāng)取的是上側(cè)時(shí)為正號(hào)，取的是下側(cè)時(shí)為負(fù)號(hào)14計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：(1)，其中是球面x2+y2+z

11、2=R2的下半部分的下側(cè)；(2)，其中是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第封限內(nèi)的部分的前側(cè)；(3)，其中f(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，是平面x-y+z=1在第封限部分的上側(cè)；(4)，其中是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)；(5)，其中為曲面與平面z=h(h0)所圍成的立體的整個(gè)邊界曲面，取外側(cè)為正向；(6)，其中為x=y=z=0，x=y=z=a所圍成的正方體表面，取外側(cè)為正向；解：(1)：，下側(cè)，在xOy面上的投影區(qū)域Dxy為：x2+y2R2(2)如圖11-8所示，在xOy面的投影為一段弧，圖11-8故，在yOz面上的投影Dyz=(

12、y,z)|0y1，0z3，此時(shí)可表示為：，(y,z)Dyz，故在xOz面上的投影為Dxz=(x,z)|0x1，0z3，此時(shí)可表示為：，(x,z)Dxz，故因此：(3)如圖11-9所示，平面x-y+z=1上側(cè)的法向量為n=1,-1,1，n的方向余弦為，圖11-9由兩類曲面積分之間的聯(lián)系可得：(4)如圖11-10所示：圖11-10=1+2+3+4其方程分別為1：z=0，2：x=0，3：y=0，4：x+y+z=1，故由積分變?cè)妮啌Q對(duì)稱性可知因此(5)記所圍成的立體為，由高斯公式有：(6)記所圍的立方體為，P=y(x-z)，Q=x2，R=y2+xz由高斯公式有15.設(shè)某流體的流速V=(k,y,0)，

13、求單位時(shí)間內(nèi)從球面x2+y2+z2=4的內(nèi)部流過球面的流量.解：設(shè)球體為，球面為，則流量（由高斯公式）16利用高斯公式，計(jì)算下列曲面積分：(1)，其中為平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所圍成的立體的表面的外側(cè)；(2)，其中為球面x2+y2+z2=a2的外側(cè)；(3)，其中為上半球體x2+y2a2，的表面外側(cè)；(4)，其中是界于z=0和z=3之間的圓柱體x2+y2=9的整個(gè)表面的外側(cè)；解：(1)由高斯公式(2)由高斯公式：(3)由高斯公式得(4)由高斯公式得：17.利用斯托克斯公式，計(jì)算下列曲線積分：(1)，其中為圓周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若從x軸的正向看去，這

14、圓周是取逆時(shí)針的方向；(2)，其中是用平面截立方體：0x1，0y1，0z1的表面所得的截痕，若從Ox軸的正向看去，取逆時(shí)針方向；(3)，其中是圓周x2+y2=2z，z=2，若從z軸正向看去，這圓周是取逆時(shí)針方向；(4)，其中是圓周x2+y2+z2=9，z=0，若從z軸正向看去，這圓周是取逆時(shí)針方向解：(1)取為平面x+y+z=0被所圍成部分的上側(cè)，的面積為a2（大圓面積），的單位法向量為由斯托克斯公式(2)記為為平面被所圍成部分的上側(cè)，可求得的面積為（是一個(gè)邊長為的正六邊形）；的單位法向量為由斯托克斯公式(3)?。簔=2，Dxy：x2+y24的上側(cè)，由斯托克斯公式得：(4)圓周x2+y2+z2=9，z=0實(shí)際就是xOy面上的圓x2+y2=9，z=0，?。簔=0，Dxy：x2+y29由斯托克斯公式得：18把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長的曲線積分，其中L為：(1)在xOy面內(nèi)沿直線從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)；(2)沿拋物線y=x2從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)；(3)沿上半圓周x2+y2=2x從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)解：(1)L的方向余弦，故(2)曲線y=x2上點(diǎn)(x,y)處的切向量T=1,2x其方向余弦為，故(3)上半圓周上任一點(diǎn)處的切向量為其方向余弦為，故19設(shè)為曲線x=t，y=t2，z=t3上相應(yīng)于t從0變到1的曲線弧，把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成